湖北省七市(州)2015届高三3月联合考试数学(理科word含答案)

试卷类型：A

湖北省七市（州）2015届高三3月联合考试

数学（理工类）

整理制作：青峰弦月工作室

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．若复数z满足iz24i，i为虚数单位，则在复平面内z对应的点的坐标是 A．（4，2） B．（4，-2） C．（2，4） D．（2，-4） 2．设集合A{x|x20}，B{x|log2(x1)0}，那么“x∈A”是“x∈B”的 x1 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．以下四个命题中：

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1； ③根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；

④若某项测量结果服从正态分布N（1，），且P（≤4）=0．9，则P（≤-2）=0．1．

其中真命题的个数为

A．1 B．2 C 3 D．4

4．已知菱形ABCD的对角线AC长为2，则AD·AC= A．4 B．2 C．1 D．

2

1 25．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是

22 320B．

3A．

C．7 D．6

6．已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,)的部分图象如图所示，为了得到g(x)3sin2x的图像，只需将

f(x)的图像

2个单位长度 3 B．向左平移个单位长度

32 C．向右平移个单位长度

3 D．向右平移个单位长度

3 A．向左平移

7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，若数列{an}满足a111，且an1，则f(a11)= 21an A．6 B．-6 C．2 D．-2

8．甲、乙两位同学约定周日上午在某电影院旁见面，并约定谁先到后必须等10分钟，若等待10分钟后另一人还没有来就离开．如果甲是8：30分到达的，假设乙在8点到9点内到达，且乙在8点到9点之间何时到达是等可能的，则他们见面的概率是

1111 B． C． D． 32x2y29．过曲线C1:221(a0,b0)的左焦点F作曲线C2:x2y2a2的切线，设切

ab点为M，延长FM交曲线C3:y22px(p0)于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦

A．

点，若点M为线段FN的中点，则曲线C1的离心率为 A．5 B．

551 C．5+1 D． 2210．设函数f(x)在[-1，t]上的最小值为N（t），最大值为M（t），若存在最小正整数k，使得M（t）- N（t）≤k（t+1）对任意tt∈（-1，b]成立，则称函数f(x)为区间（-1，b]上的“k阶函数”，若函数f(x)=x为区间（-1，4]上的“k阶函数”，则k的值为

2

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题卡相应位置上。） （一）必考题（11-14题）

11．已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（-3，4），则sin（4）= ▲ ．

12x,0x112．若函数f(x)的图象与x轴所围成的封

355x,1x232a6闭图形的面积为a，则(x2)的展开式中的常数项为 ▲ （用x数字作答）．

13．执行如右图所示的程序框图，若输出结果是i=3，则正整数a0的最大值为 ▲ ．

14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，„，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列

222a12a2a3a2015．那么是斐波{an}称为“斐波那契数列”

a2015那契数到中的第 ▲ 项．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答

结果计分。） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC= ▲ ．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos1与2曲线2cos相交于A、B两点，O为极点，则∠AOB= ▲ ．

三、解答题（本大题共6小题，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分12分）

已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设m=（a-b，c），n=（a-c，a+b），且m∥n． （1）求∠B;

（2）若a=1，b=3，求△ABC的面积． 18．（本小题满分12分）

设{an}为公比不为1的等比数列，a4=16，其前n项和为Sn，且5S1、2S2、S3成等差数列．

（l）求数列{an}的通项公式；

1，Tn为数列{bn}的前n项和.是否存在正整数k，使得对

log2an·log2an12k*

于任意n∈N不等式Tn>()恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

3（2）设bn

19．（本小题满分12分）

如图，正四棱锥S-ABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P为线段FG上任意一点． （l）求证：EP⊥AC;

（2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P-BD-C的大小．

20．（本小题满分12分）

十八届四中全会明确提出“以法治手段推进生态文明建设”，为响应号召，某市红星路小区的环保人士向该市部门提议“在全市范围内禁放烟花、炮竹”．为此，红星路小区的环保人士对该小区年龄在[15，75）的市民进行问卷调查，随机抽查了50人，并将调查情况进行整理后制成下表：

年龄（岁） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65,75） 频数 赞成人数 6 3 10 6 12 10 12 6 5 4 5 3 （1）请估计红星路小区年龄在[15，75）的市民对“禁放烟花、炮竹”的赞成率和被调

查者的年龄平均值；

（2）若从年龄在[55，65）、[65，75）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选4人中不赞成“禁放烟花、炮竹”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 21．（本小题满分13分）

x2y21，F1、F2为椭圆的左、右焦点，A、B为椭圆的左、右顶点， 已知椭圆C:2a41点P为椭圆上异于A、B的动点，且直线PA、PB的斜率之积为-．

2 （1）求椭圆C的方程；

（2）若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．

22.（本小题满分14分）

已知函数f(x)eax1（a∈R）． （1）求函数f(x)的单调区间；

x12x在[1，2]上有且仅有一个零点，求a的取值范围； 2*2n （3）已知当x>-1,n≥1时，(1x)1nx，求证：当n∈N，xxnn(1)nexx2成立．

n （2）若函数F(x)f(x)

2015年3月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试

数学(理工类)参及评分标准

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一．选择题：A卷 DCBCB BCDBD B卷 BCCBB BACDA 二．填空题：11．三．解答题：

17．(1)解：∵m∥n，∴(ac)c(ab)(ab)0 ∴a2c2b2ac

2分 3分 5分 6分

22 12．15 13．3 14．2016 15．23 16． 103a2c2b21由余弦定理得：cosB

2ac2又0BB3．

(2)解：∵a1，b3，由正弦定理得 131，∴sinA sinAsin238分

∵a < b，∴A < B，∴A分

6 10

故C(AB)(分 ∴SABC分

36)2 11

113ab13． 22212

18．(1)解：∵5S1、2S2、S3成等差数列

∴4S25S1S3，即4(a1a1q)5a1a1a1qa1q2 ∴q23q20 ∵q1，∴q = 2

4分 2分

又∵a416，即a1q38a116，a12 ∴an2n．

5分

2(2)解：假设存在正整数k使得对于任意n∈N*不等式Tn()k都成立

32则(Tn)min()k

31111又bn

log22nlog22n1nn1nn1111所以Tn(1)()223分

111 ()1nn1n11 27分 9分 10

显然Tn关于正整数n是单调递增的，所以(Tn)minT112()k，解得k≥2． 23分 ∴

11

2所以存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式Tn()k都成立

3且正整数k的最小值为2． 分

19．(1)证：设AC交BD于O，

∵S－ABCD为正四棱锥，∴SO⊥底面ABCD，∴SO⊥AC 又∵BD⊥AC，

∴AC面SBDACSD ACGFSDFGAC面GEFACGE12

1分

3 分 4分

z S 又∵PE面GEF，∴PEAC.

(2)解：设AB = 2，如图建立空间直角坐标系，则 G(0，1，0)，E(1，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，2)，

11，，221∴GF(，2F(2)，B(1，1，0) 212，) 225分

F P D O 6分

A G E B y C x 2，)， 设GPGF(，22221，) 故点P(，22222，) ∴BP(1，222设面EFG的法向量为n = (abc) ∵nEF，nGE

∴aba2b222c0 ，令a = 1得n = (1，1，0) 设BP与平面EFG所成角为，则

|sin2122|212(=1)2(212235 2)2222∵点P在线段FG上，∴0≤≤1，即=1时sin取最大值

此时点P与点F重合

设二面角P－BD－C的大小为 ∵点P到平面ABCD的距离为22，点P到BD的距离为1 分

2则sin2212

∴二面角P－BD－C的大小为45． 分

20．(1)解：赞成率为

32500. 被调查者的平均年龄为20×0.12 + 30×0.2 + 40×0.24 + 50×0.24 + 60×0.1 + 70×0.1 = 43 22(2)解：由题意知：P(0)C4C39C22

5C550P(1)C122C114C3C43C2C224

5C2550P(2)C111224C3C2C4C215C22

5C5501P(3)CC2422C22

5C550∴的分布列为：

 0 1 2 3 P 92415250 50 50 50 ∴E124502155032506 5． 分

21．(1)解：A(a，0)，B(a，0)，设P(xx220y00，y0)，则a241 依题意y0xy01，得a28，∴椭圆标准方程为x2y21 0ax0a284(2)解：①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y = kx + p，代入椭圆方程得

7分

8分

9分

10

12

2分 4分

8分

10分12

4分

(1 + 2k2)x2 + 4kpx + 2p2－8 = 0

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点

所以△=16k2p2－4(1 + 2k2)(2p2－8) = 8(4 + 8k2－p2) = 0，即4 + 8k2 = p2

设x轴上存在两个定点(s，0)，(t，0)，使得这两个定点到直线l的距离之积为4，则 |ksp||ktp||k2stkp(st)p2|4

k21k21k215分 7分

即 (st + 4)k + p(s + t) = 0(*)，或(st + 12)k2 + (s + t)kp + 8 = 0 (**) st40s2s2或由(*)恒成立，得，解得

st0t2t211

分

(**)不恒成立.

②当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x2时

定点(－2，0)、F2(2，0)到直线l的距离之积(222)(222)4.

综上，存在两个定点(2，0)、(2，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为定值4． 13分

注：第(2)小题若直接由椭圆对称性设两定点为关于原点对称的两点，则扣2分； 第(2)小题若先由特殊情况得到两个定点，再给予一般性证明也可。

22．(1)解：f(x)exa

当a≤0时，f(x)≥0，则f(x)在(,)上单调递增

lna)上单调递减，f(x)在(lna，)上单调递增． 当a > 0时，f(x)在(，1分

2分 4分

(2)解：由F(x)f(x)ex12x0，得a2ex12x12 x5分

考查函数g(x)令h(x)(x1)ex121x1(x1)exx2122 (x∈[1，2])，则g(x) 2xx6分

12x1，h(x)x(ex1) 2当1≤x≤2时，h(x)0，∴h(x)在[1，2]上单调递增

1∴h(x)≥h(1)0, g(x)0，∴g(x)在[1，2]上单调递增

21exx21132∴g(x)在[1，2]上的最小值为g(1)e，最大值为g(2)(e23)

x22131∴当e≤a≤e23时，函数F(x)f(x)x2在[1，2]上有且仅有一个零点

222xx(3)解：nn(1)nex≤x2n(1)nex≥nx2

nn分

xxx由(1)知e≥1x，则en≥1

n分

7分

8分 9分 10

11

x2∵xn，且n∈N，∴xn≤n，∴ 21

n分

xxnxxnnxxn又∵(1x)≥1nx，∴n(1)en[(1)e]≥n(1)(1)n

nnnn分

x2nx2n(12)≥n(1n2)nx2

nn分

2*

2212

13

14