新课标1、2卷解析几何高考题(2013-2016)(含解答题答案)

学号 姓名 2016新课标1卷

x2y21表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则（5）已知方程22mn3mnn的取值范围是

（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)

(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 20. （本小题满分12分）

设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

2016新课标2卷

（4）圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10 的距离为1，则a=

43（A） （B） （C）3 （D）2

34x2y2（11）已知F1，F2是双曲线E：221的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，

ab1sinMF2F1 ,则E的离心率为

3（A）2 （B）（20）（本小题满分12分）

3 （C）3 （D）2 2x2y2A是E的左顶点，1的焦点在x轴上，已知椭圆E:斜率为k(k0)的直线交E于A，

t3M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（I）当t4，AMAN时，求△AMN的面积；

1

（II）当2AMAN时，求k的取值范围.

2015新课标1卷

(5)已知M(x0，y0)是双曲线C：若MF1MF2＜0，则y0的取值范围是

(A)(－x2y21 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，233，) 33(B)(－33，) 66(C)(22222323，) (D)(，) 3333(14)一个圆经过椭圆程为 .

(20)(本小题满分12分)

的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方

x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线l:y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，

4(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.

2015新课标2卷

7．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|( ) A．26 B．8 C．46 D．10

11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ） A．5 B．2 C．3 D．2 20．（本题满分12分）

l与C有两个交 已知椭圆C:9xym(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，

点A，B，线段AB的中点为M．

(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l过点(222m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？3若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．

2

2014新课标1卷

4.已知F是双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A.3 B.3 C.3m D.3m 10.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的

一个焦点，若FP4FQ，则|QF|=

75A. B. C.3 D.2 22x2y2320. (本小题满分12分) 已知点A（0，-2），椭圆E：221(ab0)的离心率为，

ab2F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为

（I）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.

2014新课标2卷

10.设F为抛物线C:y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ） A.

23，O为坐标原点. 33393 C. 63 D. 9

B.

8324416.设点M（x0,1），若在圆O:x2y21上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，则x0的取值范围是________.

20. （本小题满分12分）

2y2x设F1,F2分别是椭圆C:221ab0的左,右焦点，M是C上一点且MF2与x轴ab垂直，直线MF1与C的另一个交点为N. （Ⅰ）若直线MN的斜率为3，求C的离心率；

4（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a,b.

2013新课标1卷

3

x2y254．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：22=1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C

ab2的渐近线方程为( )．

11x B．y＝x

341C．y＝x D．y＝±x

2A．y＝x2y210．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：22=1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F

ab的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )．

20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2

＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

2013新课标2卷

2

11．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．

A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x

12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．

x2y2x2y2=1 B．=1 A．

45363627x2y2x2y2=1 D．=1 C．

1271821211,1,2322A．(0,1) B． C． D．

20．(2013课标全国Ⅱ，理20)(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：

x2y2=1(a＞b＞0)右焦点的直线xy30交M于A，B两点，P为AB的中点，且a2b21OP的斜率为.

2(1)求M的方程；

(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

解答题参 2016年1卷

4

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为|AD||AC|，EB//AC，故EBDACDADC， 所以|EB||ED|，故|EA||EB||EA||ED||AD|.

又圆A的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA||EB|4. 由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：

x2y21（y0）. 43（Ⅱ）当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，M(x1,y1)，N(x2,y2).

yk(x1)由x2y2得(4k23)x28k2x4k2120.

1348k24k212则x1x2，x1x2. 224k34k312(k21)所以|MN|1k|x1x2|.

4k232过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y12(x1)，A到m的距离为，所以

2kk14k23|PQ|24()4.故四边形MPNQ的面积 22k1k1222S11|MN||PQ|1212. 24k3可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83).

当l与x轴垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83).

2016年2卷

x2y20， 1，A点坐标为2，【解析】 ⑴当t4时，椭圆E的方程为43 5

则直线AM的方程为ykx2．

x2y2122223联立4并整理得，34kx16kx16k120 ykx28k26128k2622AM1k21k 解得x2或x，则

34k234k234k21AN1因为AMAN，所以k2121341k21k2123k4 k因为AMAN，k0，

1k2121221k4，整理得k14k2k40， 34k23kk所以4k2k40无实根，所以k1．

11121442所以△AMN的面积为AM11． 2234492⑵直线AM的方程为ykxt，

x2y2122222t3联立并整理得，3tkx2ttkxtk3t0

ykxtttk23t解得xt或x， 23tkttk23t6t2t1k 所以AM1k3tk23tk22所以

AN1k26t3kt k因为2AMAN

21k26t6t226k3k1k2t，整理得，． t3tk3kk32k所以

k21k26k23k3，整理得因为椭圆E的焦点在x轴，所以t3，即30 3k2k2

6

解得32k2．

2015年1卷

（20）解： （

I）

有

题

设

可

得

M(2a,a),N(2a,a),或M（-2a,a）.又

xx2y=，故y在x2a 24处的导数值为a，C在点(2aa,出)的切线方程为

yaa(x2a),即axya0

x2y在x2a，即axya0.

4股所求切线方程为axya0和axya0 （I） 存在符合题意的点，证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为k1,k2

ykxa代入C的方程得x24kx4a0. 故x1x24k,x1x24a.

从而kxa代入C的方程得x24kx4a0.

故x1x24k,x1x24a. 从而k1k2y1by2bx1x22kx1x2(ab)(x1x2)x1x2

k(ab) a

当b=-a时，有

k1k20,则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，故OPM=OPN，所以点P(0,-a)符合题意

2015年2卷

7

20. 试题解析：(Ⅰ)设直线l:ykxb(k0,b0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(xM,yM)． 将

ykxb代入

9x22y得m(k29)x22kbxb2m20，故

xMx1x2kb2， 2k99byM9OM．于是直线的斜率，即kOMk9．所以直kOM2k9xMkyMkxMb线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形． 因为直线l过点(m,m)，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3． 39由(Ⅰ)得OM的方程为yx．设点P的横坐标为xP．由

k9yx,得k9x2y2m2,xP2mm(3k)k2m2km2，即xP．将点(,m)的坐标代入直线l的方程得b，

2339k813k9因此xMmk(k3)．四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，23(k9)即xP2xM．于是km3k92

2mk(k3)．解得k147，k247．因为ki0,ki3，i1，2，所以当l23(k9)的斜率为

47或47时，四边形OAPB为平行四边形．

2014年1卷

20．【解析】(Ⅰ) 设Fc,0，由条件知

223c3，得c3 又， c3a2x2y21. ……….6分 所以a=2，bac1 ,故E的方程4222（Ⅱ）依题意当lx轴不合题意，故设直线l：ykx2，设Px1,y1,Qx2,y2

8

x2 将ykx2代入y21，得14k2x216kx120，

48k24k233当16(4k3)0，即k时，x1,2 214k4224k214k23从而PQk1x1x2  214k2又点O到直线PQ

的距离d2k12，所以OPQ的面积

SOPQ144k23dPQ ， 214k22设4k3t，则t0，SOPQ4t41， 24t4tt当且仅当t2，k7时等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的2方程为：y

2014年2卷

77x2 或yx2. …………………………12分 22（20）

b2解：（I）根据cab及题设知M(c,),2b23ac

a22 将b2a2c2代入2b23ac，解得 故C的离心率为

1. 2c1c,2（舍去） a2a （Ⅱ）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的

b2交点D(0,2) 是线段MF1的中点，故4，即

a b24a ①

由MN5F1N得DF12F1N。 设N(x1,y1)，由题意知y10，则

9

32(cx1)cxc,1，即2 2y12y119c21代入C的方程，得221。

4ab9(a24a)11 将①及cab代入②得4a24a22解得a7,b24a28， 故a7,b27.

2013年1卷

解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3x2y2=1(x≠－2)． 的椭圆(左顶点除外)，其方程为43(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，

所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2. 所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4. 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23. 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．

由l与圆M相切得解得k＝|QP|R，

|QM|r1|3k|1k2=1，

2. 4x2y222x2代入=1， 当k＝时，将y4344并整理得7x2＋8x－8＝0， 解得x1,2＝

462. 72所以|AB|＝1k|x2x1|18. 7 10

182时，由图形的对称性可知|AB|＝.

7418综上，|AB|＝23或|AB|＝.

7当k

2013年2卷 20．

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，

x12y12x22y22yy1则22=1，22=1，2=1， ababx2x1b2x2x1yy由此可得221=1.

ay2y1x2x1y1因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，0，

x02所以a＝2b.

又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a－b＝3.

22

因此a＝6，b＝3.

2

2

2

2

x2y2=1. 所以M的方程为63xy30,(2)由x2y2

1,3643,xx0,3解得或

y3.y3,3因此|AB|＝

46. 3由题意可设直线CD的方程为

53n3y＝xn， 3设C(x3，y3)，D(x4，y4)．

yxn,22由x2y2得3x＋4nx＋2n－6＝0.

1632n29n2于是x3,4＝.

3因为直线CD的斜率为1， 所以|CD|＝2|x4x3|49n2. 3 11

186|CD||AB|9n2. 2986当n＝0时，S取得最大值，最大值为.

386所以四边形ACBD面积的最大值为.

3由已知，四边形ACBD的面积S

12