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初中数学教师基本功比赛一等奖说题稿
中考数学压轴题历来是初三师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、 存在性题型等类型，涉及到代数、几何多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生 而言，中考压轴题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养，同时它的 得失，可以直接影响到学生今后的发展。下面我就2012年德州市数学中考第23题第2问进行讲 评。
AD
中考题如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P 为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，
EH
G
使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接
F
C B
BP、BH．
图1
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在AD边上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；
（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？ 若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
1.审题分析
本题涉及的知识点有：折叠问题；勾股定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定 与性质；正方形的性质。本题通过翻折将全等变换，相似构造，勾股定理运用，融进正方形，不 失一道好的压轴题，很值得推敲。由于此图形是正方形，因此里面隐含着很多直角，这是学生所 不注意的地方，也正是解决问题的突破口和切入点。题目的难点是学生无法将分散的条件集中到 有效的图形上进行解决，总有“老虎吃天无从下口”的感觉。用好直角三角形和构造直角三角形 是解决此题的关键。由于此题综合性较强，条件较分散，对学生分析问题的能力要求较高，因此 难度较大，难度系数是0.19。
2.解题过程
同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法。一题多解，有利于沟通各知识的 联系，培养学生思维的发散性和创造性。
思路与解法一：从线段AD上有三个直角这一条件出发，运用“一线三角两相似”这一规律 （见课件），可将条件集中到△EAP与△PDH上，通过勾股定理、相似三角形的判定与性质来解 决。
解法如下：
答：PDH的周长不变，为定值8．
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P
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证明：设BEa,则AE4a，有折叠可知PEBEa，
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00
AP22a4,PD422a4，EPG90,APEDPH90.
0
又PHD90,APEPHD
DPH
又
0 AEP 的周长 AE A,AEP～PDH.
D90
PDH 的周长
PD
422a44a
即.
PDH
的周长
422a4 328a
PDH=8.
的周长
4a
评析这种解法用的是设而不求的方法，这也是解决几何问题的常规解法之一，解题程过 中运用了勾股定理、相似，使解题思路明确，计算过程简。洁
思路与解法二：求△PDH的周长，因为PD、DH都在正方形的边上，所以需要将PH转化到正方形的边上进行解决，因此利用辅助线构造三角形全等进行转化。
解法如下：
答：△PDH的周长不变，为定值8．
证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
0
由（1）知APB=BPH，又A90,BP=BP，
BQP
∴△ABP≌△QBP．∴AP=QP,AB=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ． 0
又CBQH90,BH=BH，∴△BCH≌△BQH．∴CH=QH． ∴△PDH的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.
评析这种解法用到了作辅助线,这样把问题进行了转化，利用三角形全等的知识，得出线 段PHPQPHAPCH,把分散的问题集中到已知条件上来，从而做到了化未知为已知，使问 题迎刃而解。
3.总结提升：
在原题的条件下，还可得以下结论： ⑴求证：
0
PBH45；
⑵求证： SPBHSS； ABPBCH
⑶当PHm时，则Sm
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P
A
D
Q
EH G F
BC
图2
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DHP1。
证明略。
评析拓展提升题有助于学生巩固所学知识，提高思维能力，培养学生综合运用知识的能 力，并有助于拓展思维，激发学生学习兴趣，从而使学生学习积极性和主动性都得到提高。
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逆向探究：如图1，现有一张边长为4的正方形ABCD纸片，点P为正方形AD边上的一点 （不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H， 折痕为EF，连接BP、BH．DHP的周长为8.求BPH面积的最小值。 解：设BPH的面积为S,PDx,DHy,则AP4x,CH4y, S正方形ABCD2SS.
1
162Sxy.
2
HPAPCH,HP(4x)(4y)8xy.
2DPDH由勾股定理
得,
HP 2xy
即(8).
xy
8x32
整理得.
y 162S
x8 1 8x 32 x . 2 x 8
2SxS化简得2(16)(8)0. x
0.
2
2
BPHDHP
22
2S
S32
(S 2S
16)8(8)
2560.
S或(舍去)。
16216S16216 S16216.
S的最小值为16216.
评析加强逆向思维的训练，可改变思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向性，提高 分析问题和解决问题的能力。因此教学中应注重逆向思维的培养与塑造，以充分发挥学生的思考 能力，训练其思维的敏捷性，从而激发学生探索数学奥秘的兴趣。
像以上这种一题多解与一题多变的题例，在我们的教学过程中，如果有意识的去分析和研究， 是举不胜举、美不胜收的。我想，拿到一个题目，如果这样深入去观察、分析、解决与反思，那 必能起道以一当十、以少胜多的效果，增大课堂的容量，培养学生各方面的技能，特别是自主探
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索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海，唯恐学生不学了。我会继续努力深入去研究课本的 例、习题和全国各地的中考试题，象学生一样，不断追求新知，完善自己。
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