衡水中学2022年高考数学复习知识分类汇编 专题05 解析几何【文科】(原卷版+解析版)

专题05 解析几何

一、单选题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】设抛物线y22px(p0)的焦点为F，倾

2斜角为0的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于M，N两点.若FMFN2FN，则

2sin2（ ）

A．22 31B．

3C．2 4D．42 92. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知直线2xy10的倾斜角为，则

1tan2tan2（ ）

21A．

4B．1 C．

1 4D．1

x2y23. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知c是双曲线C:221(a0，b0)的半焦距，离

ab1b心率为e，则的最大值是（ ）

ecA．2 2B．2 C．3 D．2

x2y24. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知点F，A分别为椭圆C:221(a0，b0)的左焦

ab点左顶点，过原点O的直线l交C于P，Q两点，直线QF交AP于点B，且QAQP2QB，若|PF|的最小值为4，则椭圆C的标准方程为（ ）

x2A．

9y281

x2y2B．1

2516x2y2C．1

3632x2y2D．1

49365. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知圆O:x2y24与x轴交于M,N两点，点P在直线l:xy420上，过圆O上的任意两点S,T分别向l作垂线，垂足为S,T，以下说法不正确的是（ ）

A．|PM||PN|的最小值为62 B．PMPN为定值 C．SPT的最大值为

 3D．当ST为直径时，四边形SSTT面积的最大值为16

x2y26. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知双曲线221(a0,b0)的左、

ab右焦点分别为F1,F2，若过点F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△F1PF2的面积为b2，则该双曲线的离心率

为（ ） A．13 B．12 C．3 D．2 7. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知圆C:x2y21，直线l:x2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（ ） 1A．,0

2二、填空题

B．(0,2) C．(2,1)

D．,1

21x2y21. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】对于双曲线221(a0,b0)来说，我

abx24y21(a0)的左焦点F1作它的伴随圆的一条切线，设们定义圆xya为它的“伴随圆”.过双曲线2a9222切点为T，且这条切线与双曲线的右支相交于点P.若M为PF1的中点，M在T右侧，且|MO||MT|为定值

12，则该双曲线的离心率为_______.

2. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类 O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，似双曲线的一支，该双曲线的渐近线相互垂直，且AB与OC垂直，AB80cm,OC20cm，若该双曲线的焦点位于直线OC上，则在点O以下的焦点距点O______cm.

三、解答题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知圆M:(x6)2y232，点Q是圆M上的一个动点，点N(6,0).若线段QN的垂直平分线交线段QM于点T. （1）求动点T的轨迹曲线C的方程；

（2）设O是坐标原点，点P(2,1)，点R（异于原点）是曲线C内部且位于y轴上的一个动点，点S与点R关于原点对称，直线PR,PS分别与曲线C交于A，B（异于点P）两点.判断直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由.

22. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】设抛物线E：y2pxp0焦点为F，准线为l，A为E上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B、D点． （Ⅰ）若BFD60，△BFD的面积为43，求p的值及圆F的方程； 3（Ⅱ）若点A在第一象限，且A、B、F三点在同一直线l1上，直线l1与抛物线E的另一个交点记为C，且

CFFA，求实数的值．

x2y23. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知椭圆C:221(ab0)的左、

ab右焦点分别为F1,F2，点P在C上，但不在x轴上，当点P在C上运动时，△PF1F2的周长为定值6，且当PF1F1F2时，PF13. 2（1）求C的方程.

1（2）若斜率为k(k0)的直线l交C于点M，N，C的左顶点为A，且kAM,,kAN成等差数列，证明：直线l

k过定点.

x2y24. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知椭圆E:221(ab0)的

ab左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且kMAkNB（1）求椭圆E的离心率；

1． 4（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线y243x的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段PQ为直径的圆经过点R，且(RQRP)PQ0，求直线l的方程．

专题05 解析几何

一、单选题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】设抛物线y22px(p0)的焦点为F，倾

2斜角为0的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于M，N两点.若FMFN2FN，则

2sin2（ ）

A．22 31B．

3C．2 4D．42 9【答案】D 【解析】

如图所示，过点M，N分别作准线的垂线，垂足分别为D，C，直线l与准线交于点E，

由题意可得|FM|2|FN|， 设|FN|x，则|FM|2x，

由抛物线的定义可知，|CN|x，|MD|2x， |CN||EN|1， |MD||EM|2所以|EN|3x,

在△ENC中，cosENC所以sin22， 3|CN|1cos， |EN|3则sin22sincos故选：D.

42. 92. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知直线2xy10的倾斜角为，则

1tan2tan2（ ）

21A．

4B．1 C．

1 4D．1

【答案】D 【解析】

根据题意，得tan2，

1tan2所以

221. tantan故选：D.

a2x2y23. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知c是双曲线C:221(a0，b0)的半焦距，离

ab1b心率为e，则的最大值是（ ）

ecA．2 2B．2 C．3 D．2

【答案】B 【解析】

x2y2因为c是双曲线C:221(a0，b0)的半焦距，

ab所以ca2b2，

1bababa2b22ab 则2222eccabab2aba2b21221222，

abab当且仅当ab时，等号成立. 故选：B.

x2y24. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知点F，A分别为椭圆C:221(a0，b0)的左焦

ab点左顶点，过原点O的直线l交C于P，Q两点，直线QF交AP于点B，且QAQP2QB，若|PF|的最小值为4，则椭圆C的标准方程为（ ）

x2A．

9y281

x2y2B．1

2516x2y2C．1

3632x2y2D．1

4936【答案】C 【解析】

如图，连接OB，AQ，

则OB是△PAQ的中位线， |OB||OF|1c1，即， |AQ||FA|2ac2a3c，又|PF|的最小值为ac，ac4，

a6，c2，b2a2c232.

故椭圆C的标准方程为故选：C.

5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知圆O:x2y24与x轴交于M,N两点，点P在直线l:xy420上，过圆O上的任意两点S,T分别向l作垂线，垂足为S,T，以下说法不正确的是（ ）

A．|PM||PN|的最小值为62 B．PMPN为定值 C．SPT的最大值为

x2y21. 3632 3D．当ST为直径时，四边形SSTT面积的最大值为16 【答案】B 【解析】

设M(2,0),N(2,0)，则N关于l对称的点为N(42,422)，所以|PM||PN|的最小值为MN62，故A正确；PMPN(OMOP)(ONOP)OP4不是定值，故B错误；当OP最小，且当PS,PT为圆O的切线时，SPT最大，此时SPT23，故C正确；在四边形SSTT中，SS//TT，且SSTT8.

因此，当ST最长，即ST|ST|4时面积最大，最大值为16，故D正确

故选：B

x2y26. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知双曲线221(a0,b0)的

ab左、右焦点分别为F1,F2，若过点F2作渐近线的垂线，垂足为P，且△F1PF2的面积为b2，则该双曲线的离心率为（ ） A．13 【答案】D 【解析】

bbx2y2双曲线221(a0,b0)的渐近线方程为yx，则点F2(c,0)到渐近线yx的距离

abaaB．12 C．3 D．2

PF2bcba22b，

在OPF2中，PF2b,OF2c,|OP|a,Sca2b22． 所以ab，离心率eaa2F1PF22SOPF2abb2，

故选：D

7. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知圆C:x2y21，直线l:x2，P为直线l上的动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线AB过定点（ ） 1A．,0

2B．(0,2) C．(2,1)

D．,1

21【答案】A 【解析】

因为P为直线l上的动点，所以可设P(2,t)， 由题意可得圆心C的坐标为(0,0)，

t以线段PC为直径的圆N的圆心为P1,，半径为4t2，

2所以方程为x2y22xty0，两圆方程作差，

即得两圆公共弦AB的方程为2xty10，2x1ty0， 1所以直线AB过定点,0．

2故选：A. 二、填空题

x2y21. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】对于双曲线221(a0,b0)来说，我

abx24y2们定义圆xya为它的“伴随圆”.过双曲线21(a0)的左焦点F1作它的伴随圆的一条切线，设

a9222切点为T，且这条切线与双曲线的右支相交于点P.若M为PF1的中点，M在T右侧，且|MO||MT|为定值

12，则该双曲线的离心率为_______.

13 2【答案】【解析】

如图，设F2为双曲线的右焦点，在RtOFT1中，OF1c,|OT|a，所以|TF1|b，MOMT111PF2MF1TF1PF2PF1TF1222c13. a2311PF2PF1TF1baa，解得

222a1，所以e故答案为：13. 2

2. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类 O为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，似双曲线的一支，该双曲线的渐近线相互垂直，且AB与OC垂直，AB80cm,OC20cm，若该双曲线的焦点位于直线OC上，则在点O以下的焦点距点O______cm.

【答案】30(21) 【解析】

x2y2解：设该双曲线的方程为221(a0,b0).

ab因为渐近线相互垂直，所以ab. (a20)240221， 由题意知，

a2b解得ab30,c302，

故该双曲线的一个焦点位于点O以下30(21)cm. 故答案为： 30(21) 三、解答题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知圆M:(x6)2y232，点Q是圆M上的一个动点，点N(6,0).若线段QN的垂直平分线交线段QM于点T. （1）求动点T的轨迹曲线C的方程；

（2）设O是坐标原点，点P(2,1)，点R（异于原点）是曲线C内部且位于y轴上的一个动点，点S与点R关于原点对称，直线PR,PS分别与曲线C交于A，B（异于点P）两点.判断直线AB是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由.

x2y21；【答案】（1）（2）过定点，(0,2).

82【解析】

∣|TQ|r42|MN|26， （1）由题意可知，TM||TN||TM所以动点T的轨迹为以M，N两点为焦点的椭圆.

设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则422a,a22,c6.由a2b2c2，得b2，

x2y2所以曲线C的方程为1.

82（2）设直线AB的方程为ykxt,Ax1,y1,Bx2,y2，

x2y21,222由8消去y，整理得14kx8ktx4t80， 2ykxt,22222则(8kt)414k4t8168kt20，

8kt4t28. x1x22,x1x224k14k1y11(x2)， 又直线PA的方程为y1x12即y1kx1t1(x2)，

x12(12k)x12t.

x12令x0，得y(12k)x12t(12k)x22t因此点R的坐标为0,，同理可得，S0,.

x2x212(12k)x12t(12k)x22t0， 由OSRO，得

x12x22化简得(24k)x1x2(24k2t)x1x28t0， 4t288kt(24k2t)2即(24k)28t0， 4k14k1整理得2kt4kt2t20， 即(t2)(2kt1)0.

因为P(2,1)不在直线ykxt上，故2kt10，

2所以t20,t2，此时，由0，得k1. 4因此直线AB过定点(0,2).

22. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】设抛物线E：y2pxp0焦点为F，准线为l，A为E上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B、D点． （Ⅰ）若BFD60，△BFD的面积为43，求p的值及圆F的方程； 3（Ⅱ）若点A在第一象限，且A、B、F三点在同一直线l1上，直线l1与抛物线E的另一个交点记为C，且

CFFA，求实数的值．

2【答案】（Ⅰ）p2，圆F为：x1y2161；（Ⅱ）． 33【解析】

解：（Ⅰ）焦点到准线l的距离为p，

又∵BFFD，BFD60，∴△BFD为正三角形． ∴BF∴S△BFD2ppp，B,， 233142BFsin603，p2， 232∴圆F为：x1y216． 3（Ⅱ）若A、F、B共线，则AFBFDF，BDA∴ADAF2

1AB，DBA

62∴直线AB的倾斜角为

2或，

33yp，Ax1,y1，Cx2,y2，CFFA， 32由对称性可知，设直线l：x2pyp1y12pxy1y2222yyp033联立， 3222y2pxy1y2py12114∴，321030，3或， 33p1又AFBFp，x1，01，所以．

23x2y23. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知椭圆C:221(ab0)的左、

ab右焦点分别为F1,F2，点P在C上，但不在x轴上，当点P在C上运动时，△PF1F2的周长为定值6，且当PF1F1F2时，PF13. 2（1）求C的方程.

1（2）若斜率为k(k0)的直线l交C于点M，N，C的左顶点为A，且kAM,,kAN成等差数列，证明：直线

kl过定点.

x2y21；【答案】（1）（2）证明见解析.

43【解析】

b23,a2（1）解：由题意知，2a2c6,

a2b2c2,a2,所以c1,

b3,x2y2所以椭圆C的方程为1.

43（2）证明：由题意知，A(2,0).

设直线l:ykxm，与椭圆C方程联立，

x2y21, 得43ykxm,整理得34k2x28kmx4m2120.

8kmxx,1234k2 设Mx1,y1,Nx2,y2，则24m12xx,1234k2y1y2kxmkx2mx1x243kAMkAN12k(m2k)12，

x12x22x12x22x1x22x1x24m2kk所以k2m.

1所以l:y2mxmm(2x1)，恒过点,0.

2x2y24. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知椭圆E:221(ab0)的

ab左、右顶点分别为A，B，M是椭圆E上一点，M关于x轴的对称点为N，且kMAkNB（1）求椭圆E的离心率；

1． 4（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线y243x的焦点重合，斜率为1的直线l与E相交于P，Q两点，在y轴上存在点R，使得以线段PQ为直径的圆经过点R，且(RQRP)PQ0，求直线l的方程． 【答案】（1）【解析】

解：（1）由椭圆E的方程可得A(a,0),B(a,0)．

3；（2）yx1. 2

设Mx0,y0，则Nx0,y0， 所以kMAkNB2y0y0y02.． x0ax0ax0a2又点Mx0,y0在椭圆E上，

22222x0y0y0x0a2x0所以221，所以212，

baa2ab所以kMAkNB2y0b212，

x0a2a24c2a2b2b23所以椭圆E的离心率e． 1222aaa2（2）由题意知椭圆E的一个焦点为(3,0)，

x2所以椭圆E的标准方程为y21．

4设直线l的方程为yxm,R(0,t),Px1,y1,Qx2,y2，线段PQ的中点为SxS,yS，

x2y21,联立4消去y，得5x28mx4m240，

yxm,222则m204m4165m0，

解得m25，

8m4m24,x1x2所以x1x2， 55所以xSx1x24mm,ySxSm， 2554mm,． 所以S55由(RQRP)PQ0，得RSPQ，

m511， 所以

40m5t解得t3m． 5又因为以线段PQ为直径的圆过点R， 所以PRQR， 所以

y1ty2t1． x1x2

2又y1x1m,y2x2m，代入上式整理得2x1x2(mt)x1x2(mt)0，

24m248m28m2即0，

555解得m1．

所以直线l的方程为yx1．