求三角函数值域的变换技巧

求三角函数值域的变换技巧

一般是将三角函数 求三角函数的值域,

(式化为f(然x)=Asinωx++B的形式,φ)后利用三角函数的有界性求出值域。下面举例分析,供大家学习与参考。

一、函数f(x)=asinx+bcosx+c型例1 定义行列式运算:求函数f(aaaax)=14-23,

■范梦媛

cos2x)=2sin2x-

2

+4sinx=sin2x+(1+cos2x)+2(1-

2

解:由题意可得y=2sinxcosx+2cosx(

用辅助角公式

,。即此函数的值域为[3-2,3+2]2]

π

+3∈[3-2,3+4

)

aa1 2aa3 4

=

asinx+b四、函数f(型用分离变x)=

csinx+d例4 当a>4时,求函数f(x)=

()2sinx+2+a-4

=2+

sinx+2

量法

2sinx+a()的最小值。0sinx+2

解:x)=f(

为一个三角形的最小内角)的值域。

sinα(

α

1cosα3解:由行列式的定义可得f(x)=3·cosα-sinα=2cosα+

(

π。因为α是三角6)

形的最小内角,所以0<α≤

,。的值域为[x)03)f(用换元法

ππ3π

。故函数所以0≤c≤,osα+<

6226

ππ

,所以<α+36

a-4

。因为0,。所以0sinx+2。所以所以211

≤<3sinx+2

()

1a-4a-4a-4a+2

,,所以所以≤<23sinx+223

2

二、函数f(x)=asinx+bsinx+c型

a-4aa+2a,。即≤2+<≤f(x)<

sinx+2232a+2

。故函数f(的最小值为x)

3

例2 当02cosx的值域。2

cosxsinx-sinxπ

时,求函数f(x)=4

csinx+d五、函数f(型用斜率法x)=

acosx+b4sinx+8

例5的值域。 求函数y=

3cosx-6解:y=

解:函数f(x)=

()

1,所以0<-(u<1u-)2csinxcosx型用降幂公式

),则f(1u)=

1

1-tanx-2()

2

1+4。令u=t,anx,u∈(0

。因为0<

1

=2

tanx-tanx,过点P(与Q(的直线的cosx,sinx)2-2)sinx+22

,则直线P1上。令k=Q的方y=

cosx-2易知当直线PQ与单位圆x2+y2=1相切时,k取得最值。易得k=数y=

4

k∈3

-4±7。所以函3

斜率,其中点P(在单位圆x2+cosx,sinx)),。程为y+即k2=k(x-2x-2k-2=0y-

4sinx+2sinx+2

·,则表示3cosx-2cosx-2

1

1

-u-2

2

+

2

14

,,。即函数f(的值域为[u)≥4x)4+∞)f(

+

11,所以≤

4422

三、函数f(x)=asinx+bcosx+

sin

域。

π3π

sin(sinx的值-x)+2-x)+4(22

2

2

例3 求函数y=2sin(π-x)·

作者单位:中国科学技术大学化学与材料科学学院化学物理系

(责任编辑 郭正华)

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