导数及其应用基础典型题归类解析

导数及其应用基础典型题归类解析

基本题型归类

一、题型一：导数及导函数的概念题 1利用极限求导 例1．已知s=

练习题 求函数y=

12gt，求t=3秒时的瞬时速度。 24的导数。 2x

二、题型2：导数的几何意义的深刻领会导数的几何意义要深刻把握: 导数值对应函数在该点处的切线斜率。

1、已知曲线上的点求此点切线斜率

2

例1．已知曲线y＝2x上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )

A．4 B．16C．8 D．2

123

练习题 （1）：已知曲线y＝x－2上一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为________．

22

2

（2）：求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．

2已知切线斜率求相关点坐标

2

例2函数y＝x＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝_________.

π2

练习题 下列点中，在曲线y＝x上，且在该点处的切线倾斜角为的是( )

4

1111

A．(0,0)B．(2,4)C．(，) D．(，) 41624

三、题型2：常见函数导数的运算及基本应用 1、对数函数求导 例1．f(x)＝log2

x；

练习题 1、已知直线y＝kx是曲线y＝lnx的切线，则k的值等于________．

－x2 f(x)＝2.

. 可修编-

. - -

3已知f(x)＝x，则f′(－1)＝－4，则a的值等于( )

A．4 B．－4C．5D．－5

四 、复合函数的导数

例1 求下列函数的导数：

2

(1)y＝3x＋xcosx；

(2)y＝；

1＋x

x(3)y＝lgx－e；

练习题 求下列复合函数的导数： (1)f(x)＝ln(8x)；

1

(2)f(x)＝(x＋1)(－1)；

axx

(3)y＝5log2(2x＋1)．

(4)y＝sin2x－cos2x.

五 、求导的应用

1916131032

例1、已知f(x)＝ax＋3x＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是( )A.B.C.D.

3333

e

练习（1）．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，则c的值为_____．

xx

42

练习（2） 若函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )

A．－1 B．－2C．2 D．0

六 、导数中利用待定系数法求解析式

2

例1、已知f′(x)是一次函数，xf′(x)－(2x－1)f(x)＝1.求f(x)的解析式．

七 、：借助导数处理单调区间、极值和最值问题 例．求下列函数的单调区间

．(1)y＝x－lnx；

1(2)y＝. 2x

32

例、若函数f(x)＝x＋bx＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝___，c＝___

. 可修编-

. - -

43

练习题：若函数y＝－x＋ax有三个单调区间，则a的取值围是________．

3

八 用导数解复杂函数中的恒成立问题

13

例．函数y＝ax－x在R上是减函数，则( )A．a≥B．a＝1C．a＝2 D．a≤0

3

练习题 已知函数f(x)＝ax－－2lnx(a≥0)，若函数f(x)在其定义域为单调函数，求a的取值围．

九 、通过导数解决函数极值问题

32

例、函数f(x)＝x－6x－15x＋2的极大值是________，极小值是________．

1312

练习题 函数f(x)＝－x＋x＋2x取极小值时，x的值是( )

32

A．2 B．2，－1C．－1 D．－3

32

例、函数f(x)＝x＋ax＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝( )

A．2 B．3C．4 D．5

322

练习题（1）： 已知函数f(x)＝x－ax－bx＋a在x＝1处有极值10，则a、b的值为( ) A．a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝1或a＝－4，b＝11 C．a＝－1，b＝5D．以上都不正确

32

练习题 （2）：若函数y＝－x＋6x＋m的极大值等于13，则实数m等于________．

x例设a∈R，若函数y＝e＋ax，x∈R，有大于零的极值点，则a的取值围为________．

2

练习题 ：已知函数y＝x－ln(1＋x)，则y的极值情况是( )

A．有极小值 B．有极大值C．既有极大值又有极小值 D．无极值

通过导数解决最值问题

例、（06卷）f(x)x3x2在区间1,1上的最大值是（ ）

32ax(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4

2

练习（1）：函数y＝4x(x－2)在x∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．

. 可修编-

. - -

x（2）：函数y＝xe的最小值为________．

32

例 函数f(x)＝x－3x－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A．－10B．－71C．－15 D．－22

2

练习(1):已知f(x)＝－x＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值围是________．

42

练习(2)．函数f(x)＝ax－4ax＋b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为－5，则a＝_______，b＝________.

32

例．已知函数f(x)＝x－ax＋3x.

(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，数a的取值围；

(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．

练习题 设函数f(x)= 2x3(a1)x1,其中a1.（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）讨论f(x)的极值。

九、题型5：定积分问题 1、计算定积分的值 例．（1）

3221(x1)5dx；

（2）

20(xsinx)dx；

2、求定积分中的参数值 例 M

练习：已知

3、应用定积分处理平面区域的面积

例求抛物线yx与直线x2y30所围成的图形的面积。

211(xaxb)dx，若使M最小，则a,b需为何值？

32(3ax1)(xb)dx0，a,bR，试求ab的取值围。

01

. 可修编-

. - -

练习（1）. 求由抛物线y

（2）.：由抛物线yx4x3及其在点A(0,3),B(3,0)处两切线所围成的图形的面积。

22x2，yx1所围成图形的面积。 5

综合练习题

1. y2x1在(1,2)的平均变化率为（ ）A．3 B．2 C．1 D．0 2. 质点运动动规律st23，则在时间(3,3t)中，相应的平均速度为（ ）

9A．6t B．6tC．3t D．9t

t13.已知sgt2，从3s到3.1s的平均速度是_______

232

4．曲线y＝x－2x－4x＋2在点(1，－3)处的切线方程是________． 5．曲线f(x)＝x＋3x在点A(2,10)处的切线斜率k为________．

2

6．曲线yx在点P处的切线斜率为1，则点P的坐标为______________________ 7 已知直线ykx1与曲线yxaxb切于点（1，3），则b的值为A

323B -3C 5 D -5

8 下列求导数运算正确的是 A

11(x)12 B

xxsinx(log2x)1 C xln2(3x)3xlog3e D (x2cosx)2xsinx

29函数yx的导数为_________________________________

10 已知函数yf(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程是y1x2，则f(1)f(1)_________ 211. 若函数f(x)x3ax2在区间(1,)是增函数，则实数a的取值围是（ ）

A．(3,) B．[3,) C．(3,) D．(,3)

12.函数yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能是( ) y O

y f(x)f(x)y O O x A． B．

y f(x)O x C．

y O D．f (x)f(x) x x x

3

13、函数y=1 +3x－x有()

A.极小值－1，极大值1B.极小值－2，极大值3C.极小值－2，极大值2D极小值－1，极大值3 14函数y=

6x的极大值为A.3B.4 C.D.5 1x23

15函数y=x－3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为A.0B.1 C.2D.4

. 可修编-

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16.函数y(x1)，当x=-1时（）A．有极大值B．有极小值C．既无极大值也无极小值D．无法断定 17.y=2x－3x+a的极大值为6，那么a等于A.6 B.0 C.5D.1

3

2

3.18若曲线yxaxb在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )

A.a=1,b=1B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1 19.若f(x)axbxc满足f′(1)=2,则f′(-1)等于( ) 20.函数y=xcosx在x422处的导数值是. 321.设f(x)=xlnx,若f′(x0)2则x0等于( )

22.设f0(x)cosxf1(x)f0′(x)f2(x)f1′(x),…,fn1(x)fn′(x)nN,则f2010(x)等于 A.sinxB.-sinx C.cosxD.-cosx

1的导函数为f′(x),则f′(i)等于(i为虚数单位)( ) 23.已知f(x)2x2xA.-1-2iB.-2-2i C.-2+2iD.2-2i

32

24.函数f(x)=x－3x+7的极大值为___________.

53

25.曲线y=3x－5x共有___________个极值.

3

26.函数y=－x+48x－3的极大值为___________；极小值为___________.

32

27.若函数y=x+ax+bx+27在x=－1时有极大值，在x=3时有极小值，则a=___________,b=___________. 其中正确的命题有 （ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28.函数y2x4x2x在区间[1,2]上的最大值是，最小值是． 29.函数f(x)(2x3)(x2)(3x1)(1x)在x=3处的导数是。 30已知函数y＝－x－2x＋3在区间[a, 2]上的最大值为3 2

4323, 则a= 432y2x3x12x5在[0，3]上的最大值和最小值分别是 （ ） 31、函数

A. 5，15 B. 5，4 C. 5，15 D. 5，16

31.yx2x3在区间[a,2]上的最大值为15则a等于( ) A.3B.

242111C.D.或3

222232.函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是( ) A.(2)B.(0,3) C.(1,4)D.(2)

x33已知函数y=ax与yb在(0)上都是减函数,则函数yaxbx5的单调递减区间为

32x34.函数f(x)xax3x9已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于( ) A.2B.3 C.4D.5 35若函数f(x)x3xa有3个不同的零点,则实数a的取值围是( ) A.(-2,2)B.22C.(1)D.(1)

332 . 可修编-

. - -

37.函数y=sin2xxx,的最大值是，最小值是. 22三、解答题

3

1求函数y=x－27x的极值

134

2．已知函数y＝x＋的图象为曲线C.求曲线C在点P(2,4)处的切线方程．

33

3已知f(x)＝x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋2＝g′(x)的x的值以及此时f′(x)的值．

2

3

4设aR，函数f(x)ax3x．若x2是函数yf(x)的极值点，求a的值及递增区间

32

5求抛物线yx过点P（1，0）的切线方程。

6已知函数f(x)xbxcxd的图象过点P(0,2), 且在点M(1,f(1))处的切线方程

3226xy70.(1) 求函数yf(x)的解析式; (2) 求函数yf(x)的单调区间.

32

7已知函数f(x)=x+ax+bx+c,当x=－1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.

8 设函数f(x)xxx2．（1）求f(x)的单调区间和极值； （2）求f(x)在区间[2,2]上的最大值和最小值．

9 已知函数f(x)ax6axb在[1,2]上的最大值为3，最小值为29，求a,b的值．

10已知抛物线yx4与直线y=x+2. (1)求两曲线的交点; (2)求抛物线在交点处的切线方程.

. 可修编-

23232. - -

11已知函数f(x)x3x (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[-3,2]上的最值.

12、已知函数f(x)3131x4x（1）求f(x)的极值（10分） 33（2）若函数yk的图像与f(x)的图像有三个交点，求k的取值围 （4分）

32f(x)axbx2xc在x2时有极大值6，13已知在x1时有极小值，求a,b,c的值；并求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值.

3f(x)x6x5,xR（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值； 14设函数

（Ⅱ）若关于x的方程f(x)a有3个不同实根，数a的取值围.

15已知函数f(x)xx16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;

(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y1x3垂直,求切点坐标与切线的方程.

34

16.已知函数f(x)ax3x1(xR),其中a>0.

322(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若在区间[11]上,f(x)>0恒成立,求a的取值围.

22 . 可修编-

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.17设函数f(x)xax9x1(a0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求: 32(1)a的值; (2)函数f(x)的单调区间.

18.设a为实数,函数f(x)=ex2x2axR. (1)求f(x)的单调区间与极值;

(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,exx22ax1.

. 可修编-