2020-2021学年徐汇区西南模范中学八年级(下)第一次月考数学复习卷(有解析)

卷

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 一次函数𝑦=2𝑥−5的图象不经过的象限是( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 下列方程中有实数根的是( )

A. √𝑥2−9=−1 C. 𝑥2+𝑦2+1=0

3. 用换元法解方程：

𝑥2−2𝑥

2𝑥

B. √𝑥+2=−𝑥 D. 𝑥+𝑥−1=1+𝑥−1．

+𝑥2−2=3时，若设

𝑥2−2𝑥

1

1

=𝑦，并将原方程化为关于y的整式方程，那么

这个整式方程是( )

A. 𝑦2−3𝑦+2=0 B. 𝑦2−3𝑦−2=0 C. 𝑦2+3𝑦+2=0 D. 𝑦2+3𝑦−2=0

4. 关于x的分式方程𝑥+2=𝑥+2有增根，则m的值为( )

𝑥−5

𝑚

A. 0 B. −5 C. −2 D. −7

二、填空题（本大题共14小题，共42.0分）

5. 已知一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象与直线𝑦=2𝑥+1平行且过点𝑃(−1,2)，则这个函数解析式为

________．

6. 在一次函数𝑦=𝑘𝑥+2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第___象限． 7. 直线𝑦=𝑥+4与x轴、y轴所围成的三角形的面积为________．

8. 将直线𝑦=3𝑥向下平移5个单位，再向左平移4个单位，得到直线______． 9. 若𝑎3=−8，则𝑎=______． 10. 方程√4−3𝑥=𝑥的解是______． 11. 方程组3=2=𝑥+𝑦−4的解为_________

𝐵(𝑥2,𝑦2)，当𝑥1>𝑥2时，有𝑦1<𝑦2，12. 已知一次函数𝑦=(−3𝑎+1)𝑥+𝑎的图象上两点𝐴(𝑥1,𝑦1)、

并且图象不经过第三象限，则a的取值范围是______．

𝐵(𝑥2,𝑦2)是一次函数𝑦=−2𝑥+5图象上的两点，𝑦1________𝑦2.(13. 已知点𝐴(𝑥1,𝑦1)，当𝑥1>𝑥2时，

填“>”“<”或“=”)

𝑥

𝑦

14. 方程𝑥−2=4的解是𝑥=______． 15. 方程√𝑥2−𝑥=√2的解是______．

16. 如图，在平面直角坐标系中，点𝐴1，𝐴2，𝐴3…都在x轴上，点𝐵1，𝐵2，𝐵3…都在直线𝑦=𝑥上，

△𝑂𝐴1𝐵1，△𝐵1𝐴1𝐴2，△𝐵2𝐵1𝐴2，△𝐵2𝐴2𝐴3，△𝐵3𝐵2𝐴3…都是等腰直角三角形，且𝑂𝐴1=1，则点𝐵2021的坐标是___________．

3𝑥−5

17. 如图，在矩形ABCD中，𝐴𝐶=4，𝐴𝐵=2，则BC的长是______．

18. 如图，矩形ABCD中，𝐴𝐵=5，𝐵𝐶=8，点P在AB上，𝐴𝑃=1.将矩形ABCD沿CP折叠，点

B落在点𝐵′处．𝐵′𝑃、𝐵′𝐶分别与AD交于点E、F，则𝐸𝐹=______．

三、解答题（本大题共8小题，共.0分） 19. 解方程：𝑥2−4+𝑥+2=𝑥−2．

16

1

𝑥+2

20. 解方程：1+√4𝑥+1=2𝑥

21. 解方程：𝑥

1

𝑥−1+2−2𝑥=3．

22. 如图，一架长5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的

距离𝐴𝐶=3米． (1)求BC的长；

(2)梯子滑动后停在DE的位置，当AE为多少时，AE与BD相等？

23. 已知一次函数𝑦1=𝑘𝑥+𝑏的图象与反比例函数𝑦2=−𝑥的图象交于A、B两点，且点A的横坐标

和点B的纵坐标都是−2，求：

8

(1)一次函数的解析式； (2)△𝐴𝑂𝐵的面积．

24. 某种汽车油箱可储油60升，加满油并开始行驶，油箱中的余油量𝑦(升)与行驶里程𝑥(千米)之间

的关系是一次函数关系(如图)．

(1)求y关于x的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围)； (2)加满一箱油汽车可行驶多少千米？

25. 如图，直线𝑦=𝑘𝑥−2与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中𝑂𝐵=1．

(1)求k的值；

(2)若点𝐴(𝑥,𝑦)是第一象限内的直线𝑦=𝑘𝑥−2上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△𝐴𝑂𝐵的面积S与x的函数关系式； (3)探索：

①当点A运动到什么位置时，△𝐴𝑂𝐵的面积是1；

②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△𝑃𝑂𝐴是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标．

26. 已知：如图1，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，AM是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，过点B作AM的垂线，

交AM的延长线于点D，过点D作AB的垂线，垂足为E． (1)求证：𝐵𝐶=2𝐷𝐸；

(2)如图2，作∠𝐴𝐵𝐶的平分线交AC于F，连接FD交BC于G，若𝐷𝐺=5，𝐹𝐺=𝑙5，求线段DE的长．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解：∵𝑦=2𝑥−5， ∴𝑘>0，𝑏<0，

故直线经过第一、三、四象限． 不经过第二象限． 故选：B．

由直线的解析式得到𝑘>0，𝑏<0，利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限． 此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由k，b的符号来确定．

2.答案：B

解析：解：A、√𝑥2−9=−1，没有实数根； B、√𝑥+2=−𝑥，两边平方得：𝑥+2=𝑥2， 解得：𝑥=1或𝑥=−2， 经检验𝑥=1是无理方程的解；

C、由𝑥2+𝑦2+1=0，得到𝑥2+𝑦2=−1，无解； D、方程整理得：𝑥=1，

经检验𝑥=1是增根，分式方程无解， 故选：B．

根据负数没有平方根，平方的结果为非负数得出所求即可．

此题考查了无理方程，以及分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3.答案：A

解析：解：由

𝑥2−2𝑥

+𝑥2−2=3时，若设

2𝑥

𝑥2−2𝑥

=𝑦，得𝑦+𝑦=3．

2

化简，得𝑦2−3𝑦+2=0． 故选：A．

根据换元法，可得答案．

本题考查了换元法解分式方程，换元是解题关键．

4.答案：D

解析：

增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母𝑥+2=0，得到𝑥=−2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值即可．

此题考查了分式方程增根的知识．注意增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 解：方程两边都乘(𝑥+2)， 得：𝑥−5=𝑚， ∵原方程有增根，

∴最简公分母：𝑥+2=0， 解得𝑥=−2，

当𝑥=−2时，𝑚=−7． 故选：D．

5.答案：𝑦=2𝑥+4

解析：

本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式中的k值相等得到𝑘=2是解题的关键．根据平行直线的k值相等可得𝑘=2，然后把已知点代入直线解析式进行计算即可求解． 解：∵一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象与直线𝑦=2𝑥+1平行， ∴𝑘=2，

∵图象经过点𝐴(−1,2)， ∴−2+𝑏=2，𝑏=4．

∴这个一次函数的解析式是：𝑦=2𝑥+4.. 故答案为：𝑦=2𝑥+4．

6.答案：四

解析：解：∵在一次函数𝑦=𝑘𝑥+2中，y随x的增大而增大， ∴𝑘>0， ∵2>0，

∴此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限． 故答案为：四．

先根据函数的增减性判断出k的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 𝑏>0时，本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)中，当𝑘>0，函数的图象经过一、二、三象限．

7.答案：8

解析：

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线𝑦=𝑥+4与x轴、y轴的交点坐标是解题的关键．

设直线𝑦=𝑥+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，进而可得出OA、OB，利用三角形的面积公式即可求出结论． 解：设直线𝑦=𝑥+4与x轴交于点A，与y轴交于点B， 则点A的坐标为(−4,0)，点B的坐标为(0,4)， ∴𝑂𝐴=4，𝑂𝐵=4，

∴𝑆=2𝑂𝐴⋅𝑂𝐵=2×4×4=8． 故答案为8．

1

1

8.答案：𝑦=3𝑥+7

解析：解：将直线𝑦=3𝑥向下平移5个单位，再向左平移4个单位，所得直线的解析式为𝑦=3(𝑥+4)−5，即𝑦=3𝑥+7． 故答案为𝑦=3𝑥+7．

直接根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．

9.答案：−2

解析：解：∵𝑎3=−8， ∴𝑎=−2． 故答案为：−2．

直接利用立方根的定义分析得出答案．

此题主要考查了立方根，正确把握定义是解题关键．

10.答案：𝑥=1

解析：解：原方程变形为4−3𝑥=𝑥2， 整理得𝑥2+3𝑥−4=0， ∴(𝑥+4)(𝑥−1)=0， ∴𝑥+4=0或𝑥−1=0， ∴𝑥1=−4(舍去)，𝑥2=1． 故答案为𝑥=1．

将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．

本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．

11.答案：{𝑦=2．

解析：

𝑥

𝑥=3

本题主要考查了二元一次方程组的解法，把原式转化为二元一次方程组{𝑦

2

=23

𝑦

=𝑥+𝑦−4

是解题的关键

.运用加减消元法解二元一次方程组即可．

𝑥

解：根据题意，得：{𝑦

2

=23

𝑦

=𝑥+𝑦−4

，

整理得：{

2𝑥=3𝑦𝑥+2𝑦=4

1

，

𝑥=3

解得：{．

𝑦=2

𝑥=3

故答案为：{．

𝑦=2

12.答案：𝑎>3

解析： 【试题解析】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，正确掌握一次函数的性质是解题的关键．

根据“一次函数𝑦=(−3𝑎+1)𝑥+𝑎的图象上两点𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)，当𝑥1>𝑥2时，有𝑦1<𝑦2，并且图象不经过第三象限”，得到关于a的一元一次不等式组，解之即可． 解：∵当𝑥1>𝑥2时，有𝑦1<𝑦2， ∴−3𝑎+1<0 ①， ∵图象不经过第三象限， ∴𝑎≥0 ②， ①和②联立得：

−3𝑎+1<0{, 𝑎≥0

解得：𝑎>3， 故答案为：𝑎>3．

11

1

13.答案：<

解析：

本题考查了一次函数的性质与一次函数图象上点的坐标特征． 由k小于0可知一次函数单调递减，根据𝑥1>𝑥2即可得出结论． 解：∵一次函数𝑦=−2𝑥+5中𝑘=−2<0， ∴该一次函数y随x的增大而减小， ∵𝑥1>𝑥2， ∴𝑦1<𝑦2． 故答案为<．

14.答案：3

解析：解：去分母得：3𝑥−5=4𝑥−8， 解得：𝑥=3，

经检验𝑥=3是分式方程的解， 故答案为：3

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

15.答案：𝑥1=2，𝑥2=−1

解析：解：方程两边平方得，𝑥2−𝑥=2， 整理得，𝑥2−𝑥−2=0， 解得𝑥1=2，𝑥2=−1，

经检验，𝑥1=2，𝑥2=−1都是原方程的根， 所以，方程的解是𝑥1=2，𝑥2=−1． 故答案为：𝑥1=2，𝑥2=−1．

将方程两边平方整理得到关于x的一元二次方程，然后求解即可．

本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握．

16.答案：(22020,22020)

解析：

本题考查了图形规律问题，也考查了等腰直角三角形的性质，属于中档题．根据𝑂𝐴1=1，可得点𝐴1的坐标为(1,0)，然后根据△𝑂𝐴1𝐵1，△𝐵1𝐴1𝐴2，△𝐵2𝐵1𝐴2，△𝐵2𝐴2𝐴3，△𝐵3𝐵2𝐴3…都是等腰直角三角形，求出𝐴1𝐴2，𝐵1𝐴2，𝐵2𝐴2…的长度，然后找出规律，求出点𝐵2021的坐标． 解：∵𝑂𝐴1=1， ∴点𝐴1的坐标为(1,0)， ∵△𝑂𝐴1𝐵1是等腰直角三角形， ∴𝐴1𝐵1=1， ∴𝐵1(1,1)，

∵△𝐵1𝐴1𝐴2是等腰直角三角形， ∴𝐴1𝐴2=1，𝐵1𝐴2=√2， ∵△𝐵2𝐵1𝐴2为等腰直角三角形， ∴𝐵2𝐴2=2， ∴𝐵2(2,2)，

同理可得，𝐵3(22,22)，𝐵4(23,23)，…𝐵𝑛(2𝑛−1,2𝑛−1)， ∴点𝐵2021的坐标是(22020,22020). 故答案为(22020,22020).

17.答案：2√3

解析：解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠𝐵=90°，

∴𝐵𝐶=√𝐴𝐶2−𝐴𝐵2=√42−22=2√3； 故答案为：2√3．

由矩形的性质和勾股定理即可得出答案．

本题考查了矩形的性质和勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．

18.答案：12

解析：解：过P作𝑃𝐺⊥𝐶𝐷于G，交𝐶𝐵′于H， 则四边形ADGP和四边形PBCG是矩形， ∴𝐴𝐷=𝑃𝐺=𝐵𝐶=8，𝐷𝐺=𝐴𝑃=1， ∴𝐶𝐺=𝑃𝐵=4，

∵将矩形ABCD沿CP折叠，点B落在点𝐵′处， ∴∠𝐵𝐶𝑃=∠𝑃𝐶𝐻， ∵𝑃𝐺//𝐵𝐶， ∴∠𝐻𝑃𝐶=∠𝑃𝐶𝐵， ∴∠𝐻𝑃𝐶=∠𝑃𝐶𝐻， ∴𝐻𝑃=𝐶𝐻，

设𝐻𝐺=𝑥，则𝐶𝐻=𝑃𝐻=8−𝑥，

35

∵𝐻𝐺2+𝐶𝐺2=𝐶𝐻2， ∴𝑥2+42=(8−𝑥)2， ∴𝑥=3， ∴𝐶𝐻=𝑃𝐻=5， ∵𝐻𝐺//𝐷𝐹， ∴△𝐶𝐻𝐺∽△𝐶𝐹𝐷， ∴

𝐶𝐻𝐶𝐹5

=

𝐶𝐺𝐶𝐷4

=

𝐻𝐺𝐷𝐹

，

∴𝐶𝐹=5=𝐷𝐹， ∴𝐶𝐹=

25

3

，𝐷𝐹=4

7

154

，

∴𝐵′𝐹=4，

∵∠𝐵′=∠𝐷=90°，∠𝐸𝐹𝐵′=∠𝐷𝐹𝐶， ∴△𝐵′𝐸𝐹∽△𝐷𝐶𝐹， ∴∴

𝐵′𝐹𝐷𝐹

7

4154

=𝐶𝐹，

𝐸𝐹

254

𝐸𝐹

=

，

∴𝐸𝐹=12． 故答案为：12．

𝐷𝐺=𝐴𝑃=1，过P作𝑃𝐺⊥𝐶𝐷于G，交𝐶𝐵′于H，根据矩形的性质得到𝐴𝐷=𝑃𝐺=𝐵𝐶=8，求得𝐶𝐺=𝑃𝐵=4，根据折叠的性质得到∠𝐵𝐶𝑃=∠𝑃𝐶𝐻，根据平行线的性质得到∠𝐻𝑃𝐶=∠𝑃𝐶𝐵，等量代换得到∠𝐻𝑃𝐶=∠𝑃𝐶𝐻，求得𝐻𝑃=𝐶𝐻，设𝐻𝐺=𝑥，则𝐶𝐻=𝑃𝐻=8−𝑥，根据勾股定理得到𝐶𝐻=𝑃𝐻=5，根据相似三角形的性质即可得到结论．

该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题，解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等知识点来分析、判断、解答．

35

35

19.答案：解：方程：𝑥2−4+𝑥+2=𝑥−2，

去分母得：16+𝑥−2=(𝑥+2)2， 整理方程得，𝑥2+3𝑥−10=0， 解得：𝑥1=−5，𝑥2=2，

经检验𝑥=−5是原方程的解，𝑥=2是增根(舍去)，

161𝑥+2

∴原方程的解是𝑥=−5．

解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

20.答案：解：方程整理得：√4𝑥+1=2𝑥−1，

两边平方得：4𝑥+1=(2𝑥−1)2，即4𝑥2−8𝑥=0， 分解因式得：4𝑥(𝑥−2)=0， 解得：𝑥=0或𝑥=2，

经检验𝑥=0是增根，无理方程的解为𝑥=2．

解析：方程整理后，两边平方转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到无理方程的解．

此题考查了无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要验根．

21.答案：解：方程变形得：𝑥−1−2(𝑥−1)=3

方程两边同乘以2(𝑥−1)得：2𝑥−1=6(𝑥−1) 解得：𝑥=4

经验：把𝑥=4代入2(𝑥−1)≠0 所以：原分式方程的解𝑥=4．

5

55

𝑥1

解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．

22.答案：解：(1)∵一架长5米的梯子AB，顶端B靠在墙上，梯子底端A到墙的距离𝐴𝐶=3米，

∴𝐵𝐶=√52−32=4(𝑚)， 答：BC的长为4m；

(2)由题知𝐵𝐷=𝐴𝐸，则设𝐴𝐸=𝑥， 故(4−𝑥)2+(3+𝑥)2=25，

解得：𝑥1=1，𝑥2=0(舍去)， 故AE=1𝑚．

解析：此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． (1)直接利用勾股定理得出BC的长；

(2)由𝐴𝐸=𝐵𝐷，设𝐴𝐸=𝑥，利用勾股定理即可得出答案．

23.答案：解：(1)把𝑥=−2代入𝑦2=−𝑥得𝑦=4，把𝑦=−2代入𝑦2=−𝑥得𝑥=4，

∴点A的坐标为(−2,4)，B点坐标为(4,−2)， 把𝐴(−2,4)，𝐵(4,−2)分别代入𝑦1=𝑘𝑥+𝑏 −2𝑘+𝑏=4𝑘=−1

, 得{，解得{

4𝑘+𝑏=−2𝑏=2∴一次函数的解析式为𝑦=−𝑥+2； (2)如图，直线AB交y轴于点C，

88

对于𝑦=−𝑥+2，令𝑥=0，则𝑦=2，则C点坐标为(0,2)，

∴𝑆𝛥𝐴𝑂𝐵=𝑆𝛥𝐴𝑂𝐶+𝑆𝛥𝐵𝑂𝐶

=2×2×2+2×2×4=6．

1

1

解析：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了三角形面积公式．

B点坐标为(4,−2)，(1)先把A的横坐标和B点的纵坐标分别代入𝑦2=−𝑥，可确定点A的坐标为(−2,4)，然后利用待定系数法可求出一次函数的解析式；

(2)先确定次函数与y轴的交点坐标，然后利用𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐶+𝑆△𝐵𝑂𝐶进行计算即可．

8

24.答案：解：(1)设油箱中的剩余油量𝑦(升)与汽车行驶里程𝑥(𝑘𝑚)的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，

由于图象经过(50,55)(80,52)，

50𝑘+𝑏=55∴{ 80𝑘+𝑏=52

𝑘=−0.1

解之得{

𝑏=60

∴𝑦与x之间的函数关系是𝑦=−0.1𝑥+60； (2)由题意，−0.1𝑥+60=0， 解得𝑥=600，

即加满一箱油汽车可行驶600km．

解析：本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解决问题的关键． (1)设油箱中的剩余油量y升与汽车行驶里程xkm，把已知坐标代入，依题意列出函数解析式； (2)令𝑦=0求解x，即为答案．

25.答案： 解：(1)∵𝑂𝐵=1∴𝐵点坐标为：(1,0)

把B点坐标为： (1,0)代入𝑦= 𝑘𝑥−2得𝑘=2 (2)∵𝑆 = 2×𝑂𝐵×𝑦 ∵𝑦=2𝑥−2 ∴𝑆 = ×(2𝑥−2) 2∴𝑆 = 𝑥−1

(3)①当𝑆 =1时，𝑥−1=1 ∴𝑥=2，𝑦=2𝑥−2=2

∴𝐴点坐标为(2,2)时，△𝐴𝑂𝐵的面积为1 ②存在．

满足条件的所有P点坐标为：

𝑃1(2,0)，𝑃2(4,0)，𝑃3(2 √2 ，0)，𝑃4(−2 √2 ，0)。

1

1

解析：(1)首先求得直线𝑦=𝑘𝑥−2与y轴的交点，则OC的长度即可求解，进而求得B的坐标，把B的坐标代入解析式即可求得k的值； (2)根据三角形的面积公式即可求解；

(3)①根据三角形的面积公式即可求解；②分O，P，A分别是等腰三角形的顶角顶点三种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质即可求解。

26.答案：(1)证明：如图1，延长AC、BD交于点K．

∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐾，

∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐾=90°． ∵𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵， ∴∠1=∠2，

∴90°−∠1=90°−∠2，

∴∠𝐴𝐾𝐷=∠𝐴𝐵𝐷，即∠𝐵𝐾𝐶=∠𝐷𝐵𝐸． ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°=∠𝐵𝐶𝐾=∠𝐷𝐸𝐵， ∴△𝐵𝐷𝐸∽△𝐾𝐵𝐶， ∴𝐷𝐸：𝐵𝐶=𝐷𝐵：BK， ∵𝐴𝐾=𝐴𝐵， ∴𝐷𝐵=𝐷𝐾=𝐵𝐾，

21

∴𝐵𝐶=2𝐷𝐸；

(2)解：如图2，过F作𝐹𝑁⊥𝐵𝐾于N，过D作𝐷𝑇⊥𝐴𝐶于T． ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠3=45°， ∵∠1=∠5，

∴∠3+∠5=45°． ∵𝐷𝑇⊥𝐴𝐶，𝐵𝐶⊥𝐴𝐶， ∴𝐷𝑇//𝐵𝐶，

∴𝐹𝐶：𝐶𝑇=𝐹𝐺：𝐺𝐷=15：5， 设𝐹𝐶=3𝑎，则𝐶𝑇=𝑎．

∵𝑅𝑡△𝐶𝐾𝐵中，𝐵𝐷=𝐷𝐾，𝐷𝑇//𝐵𝐶， ∴𝐶𝑇=𝑇𝐾=𝑎，∴𝐶𝐾=2𝑎，𝐹𝐾=5𝑎． ∵∠𝐹𝑁𝐵=90°，∠𝐹𝐵𝐾=45°， ∴𝐹𝑁=𝐵𝑁．

∵∠𝑁𝐹𝐾=∠𝑁𝐵𝐻，∠𝐾𝑁𝐹=∠𝐻𝑁𝐵，𝐹𝑁=𝐵𝑁， ∴△𝐾𝑁𝐹≌△𝐻𝑁𝐵， ∴𝐹𝐾=𝐵𝐻=5𝑎．

∵∠𝐶𝐹𝐻=∠𝐶𝐵𝐾，∠𝐹𝐶𝐻=∠𝐵𝐶𝐾， ∴△𝐶𝐹𝐻∽△𝐶𝐵𝐾， ∴𝐶𝐻：𝐶𝐾=𝐶𝐹：CB， 即2𝑎×3𝑎=𝐶𝐻(𝐶𝐻+5𝑎)， ∴𝐶𝐻2+5𝑎×𝐶𝐻−6𝑎2=0， ∴𝐶𝐻=𝑎或𝐶𝐻=−6𝑎(舍去)， ∴𝐵𝐶=𝑎+5𝑎=6𝑎， 由(1)得𝐷𝐸=2𝐵𝐶=3𝑎． ∵∠1=∠2， ∴𝐷𝑇=𝐷𝐸=3𝑎，

∴𝐶𝐺：𝐷𝑇=𝐹𝐶：FT，即CG：3𝑎=3𝑎：4a，

9

∴𝐶𝐺=𝑎.

4∵𝑅𝑡△𝐶𝐹𝐺中，𝐹𝐺2=𝐶𝐹2+𝐶𝐺2， ∴𝐹𝐺=

154

1

𝑎=15，

∴𝑎=4， ∴𝐷𝐸=3𝑎=12．

解析：【试题解析】

本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，有一定难度，通过作辅助线构建全等三角形与相似三角形是解题的关键．

BD交于点𝐾.先证明∠𝐵𝐾𝐶=∠𝐷𝐵𝐸，(1)延长AC、再由∠𝐵𝐶𝐾=∠𝐷𝐸𝐵=90°，得出△𝐵𝐷𝐸∽△𝐾𝐵𝐶，根据相似三角形对应边的比相等得出DE：𝐵𝐶=𝐷𝐵：BK，从而得出𝐵𝐶=2𝐷𝐸；

5，(2)过F作𝐹𝑁⊥𝐵𝐾于N，𝐶𝑇=𝐹𝐺：𝐺𝐷=15：过D作𝐷𝑇⊥𝐴𝐶于𝑇.由𝐷𝑇//𝐵𝐶，得出FC：设𝐹𝐶=3𝑎，则𝐶𝑇=𝑎.再利用AAS证明△𝐾𝑁𝐹≌△𝐻𝑁𝐵，得出𝐹𝐾=𝐵𝐻=5𝑎，然后证明△𝐶𝐹𝐻∽△𝐶𝐵𝐾，则CH：CB，FT，𝐶𝐾=𝐶𝐹：𝐵𝐶=6𝑎，𝐷𝐸=3𝑎，𝐷𝑇=𝐹𝐶：求出𝐶𝐻=𝑎，再由CG：得到𝐶𝐺=4𝑎，在𝑅𝑡△𝐶𝐹𝐺中，由于勾股定理得出𝐹𝐺=

154

9

𝑎=15，求出𝑎=4，进而求出𝐷𝐸=12．