2020—2021学年人教版八年级下学期数学期末复习
综合训练（一）
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1. 下列计算正确的是( ) A.√3−√2=1
B.√2×√3=√5 C.3÷√2=
3√2 2
D.(2√3)=6
2
2. 在平面直角坐标系中，点𝑃(3, 4)到原点的距离是( ) A.3
B.4
C.5
D.±5
3. 已知一组数据1，0，3，−1，𝑥，2，3的平均数是1，则这组数据的中位数是( ) A.1
B.−1
C.3
D.−1或3
4. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形𝐴，𝐵，𝐶的面积依次为2，4，3，则正方形𝐷的面积为（ ）
A.8
B.9
C.27
D.45
5. 在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴=2∠𝐵，则∠𝐶的度数是( ) A.60∘
B.90∘
C.120∘
D.135∘
6. 如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝑂，𝐴𝐶=4，∠𝐴𝑂𝐷=120∘，则𝐵𝐶的长为( )
A.2√3
B.4
C.4√3 D.2
7. 一次函数𝑦=5𝑥−1的图象与𝑦轴的交点坐标是( )
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A.(0,−1) B.(0,1)
C.(5,0)
1
D.(5,0)
8. △𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏， 𝑐，由下列条件不能判断△𝐴𝐵𝐶是直角三角形的是( ) A.∠𝐴=2∠𝐵=3∠𝐶
B.∠𝐴=∠𝐶−∠𝐵
C.(𝑎−5)2+|𝑏−12|+√𝑐−13=0 D.𝑎2=(𝑏+𝑐)(𝑏−𝑐)
9. 若直线𝑦=−(𝑘2+1)𝑥+𝑏经过点𝐴(𝑎,𝑚)，𝐵(𝑎+3,𝑛)，则𝑚，𝑛的大小关系是( ) A.𝑚>𝑛
B.𝑚<𝑛
C.𝑚=𝑛
D.无法确定
10. 如图1，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵<𝐴𝐷，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝐸，动点𝑃从点𝐴出发，沿𝐴→𝐵→𝐶→𝐷向点𝐷运动，设点𝑃的运动路程为𝑥，△𝐴𝐸𝑃的面积为𝑦，𝑦与𝑥的函数关系图象如图2所示，则下列结论错误的是( )
A.四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为12 B.𝐴𝐷边的长为4
C.当𝑥=2.5时，△𝐴𝐸𝑃是等边三角形 D.△𝐴𝐸𝑃的面积为3时，的值为3或10
二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ） 11. 若√(𝑎−2021)2=2021−𝑎，则𝑎的取值范围是________.
12. 现有两根长6分米和3分米的木条，小华想再找一根木条为老师制作一个直角三角形教具，则第三根木条的长度应该为________分米.
13. 如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=7𝑐𝑚， 𝐵𝐶=3𝑐𝑚， 𝑃、𝑄两点分别从𝐴、𝐵两点同时出发，沿矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边逆时针运动，速度均为1𝑐𝑚/𝑠，当点𝑃到达𝐵点时两点同时停止运动，若𝑃𝑄长度为5𝑐𝑚时，运动时间为________𝑠．
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14. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=4√3，∠𝐶𝐴𝐵=30∘，𝐷为𝐴𝐵上的动点，连接𝐶𝐷，以𝐴𝐷、𝐶𝐷为边作平行四边形𝐴𝐷𝐶𝐸，则𝐷𝐸长的最小值为________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，过点𝐶(0,3)的直线𝐴𝐶与直线𝑂𝐴相交于点𝐴(2,1).动点𝑀在线段𝑂𝐴和射线𝐴𝐶上运动，当△𝑂𝑀𝐶的面积是△𝑂𝐴𝐶的面积的时，点𝑀的坐标
21
为________.
三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，共计75分 ） 16.(10分) 计算： (1)√27−2√12+2√×√6．
2(2)(√3−2√2)+2√24．
17.(10分) 如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，已知∠𝑂𝐷𝐴=90∘，𝐴𝐶=10𝑐𝑚，𝐵𝐷=6𝑐𝑚.
2
1
试卷第3页，总16页
(1)求𝐴𝐵的长；
(2)求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积.
18. （11分） 如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷=𝐵𝐶，连接𝐵𝐷，𝐸是𝐵𝐶延长线上一点，连接𝐷𝐸，若𝐵𝐷=𝐷𝐸，∠𝐸=∠𝐴𝐷𝐵，求证∠𝐴=∠𝐵𝐶𝐷.
19.(11分) 如图，连接四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶，已知∠𝐵=90∘，𝐵𝐶=1，
∠𝐵𝐴𝐶=30∘，𝐶𝐷=2，𝐴𝐷=2√2 .
(1)求证：△𝐴𝐶𝐷是直角三角形； (2)求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积.
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20.(11分) 我省要按照城市功能特点，城区消费到2022年，建设20个省内特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造郑州“夜商都”等地方夜消费品牌升级版．允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”等方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两款特价商品，两款商品的进价与售价如下表所示： 甲商品 乙商品 5 8 进价（元/件） 35 售价（元/件） 45 小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售．设小王购进甲商品工件，甲、乙商品全部销售完后获得的利润为𝑦元． (1)求出𝑦与𝑥之间的函数关系式．
(2)若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲，乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大？
21. (11分) 某校举办了一次成语知识竞赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如下所示．
(1)求出下列成绩统计分析表中𝑎，𝑏的值：
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(2)𝐴同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，𝐴同学是甲、乙哪个组的学生.
(3)甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出两条支持乙组同学观点的理由．
22.(11分) 正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝑃是𝐵𝐶边上一点，延长𝐵𝐶至点𝐸，点𝐺在𝐶𝐷边上，四边形𝐶𝐸𝐹𝐺是正方形.
(1)如图1，若𝐶𝐸=𝐵𝑃，连𝐴𝑃，𝐴𝐹，𝐴𝐹交𝐷𝐶于𝑄点，连𝑃𝑄，𝐺𝐸，①求证：∠𝑃𝐴𝑄=45∘；②试探究𝑃𝑄、𝐷𝑄、𝐺𝐸这三条线段之间的数量关系；
(2)如图2，点𝑀，𝑂，𝑁分别是𝐵𝐸，𝐺𝐸，𝐷𝐺的中点，试判断𝑂𝑀与𝑂𝑁的关系，并证明．
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参
一、 选择题 1. 【答案】 C 【解答】
解：𝐴，√3−√2不能计算，故𝐴错误； 𝐵，√2×√3=√2×3=√6，故𝐵错误； 𝐶，3÷√2=3×
√22
=
3√2，故𝐶正确； 2
𝐷，(2√3)2=4×3=12，故𝐷错误. 故选𝐶. 2. 【答案】 C 【解答】 解：∵𝑃(3,4)，
∴ 点𝑃到原点的距离为√32+42=5. 故选𝐶. 3. 【答案】 A 【解答】
解：∵ 一组数据1，0，3，−1，𝑥，2，3的平均数是1， ∴ [1+0+3+(−1)+𝑥+2+3]÷7=1， 解得：𝑥=−1.
将这组数据按照从小到大排列为：−1，−1，0，1，2，3，3， ∴ 这组数据的中位数是1. 故选𝐴． 4.
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【答案】 B 【解答】
解：设正方形𝐷的面积为𝑥，
∵ 正方形𝐴，𝐵，𝐶的面积依次为2，4，3， ∴ 根据图形得：2+4=𝑥−3， 解得：𝑥=9. 故选𝐵. 5. 【答案】 C 【解答】
解：∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∴ ∠𝐴+∠𝐵=180∘，∠𝐴=∠𝐶. 把∠𝐴=2∠𝐵代入得：3∠𝐵=180∘， ∴ ∠𝐵=60∘， ∴ ∠𝐶=120∘. 故选𝐶． 6. 【答案】 A 【解答】
解：在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝐴𝐶=2.
21
∵ ∠𝐴𝑂𝐷=120∘，
∴ ∠𝐴𝑂𝐵=180∘−∠𝐴𝑂𝐷=180∘−120∘=60∘， ∴ △𝐴𝑂𝐵是等边三角形， ∴ 𝑂𝐴=𝐴𝐵=2.
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=√𝐴𝐶2−𝐴𝐵2=√42−22=2√3. 故选𝐴. 7. 【答案】
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A 【解答】
解：当𝑥=0时，𝑦=−1，
∴𝑦=5𝑥−1的图象与𝑦轴的交点坐标是(0,−1). 故选𝐴. 8. 【答案】 A 【解答】
解：𝐴，设∠𝐴=2∠𝐵=3∠𝐶=𝑥∘， 则∠𝐵=𝑥∘，∠𝐶=𝑥∘.
2
3
1
1
∵∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180∘， ∴𝑥+𝑥+𝑥=180，
2
3
1
1
解得𝑥=
108011
，
∴三个角均不等于90∘，
∴△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，故本选项符合题意； 𝐵，∵∠𝐴=∠𝐶−∠𝐵， ∴∠𝐶=∠𝐴+∠𝐵. ∵∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶=180∘， ∴2∠𝐶=180∘， 解得∠𝐶=90∘，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故本选项不符合题意； 𝐶，由题意得𝑎−5=0，𝑏−12=0，𝑐−13=0， 解得𝑎=5，𝑏=12，𝑐=13. ∵ 52+122=132，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 𝐷，∵𝑎2=(𝑏+𝑐)(𝑏−𝑐)， ∴𝑎2+𝑐2=𝑏2，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故本选项不符合题意. 故选𝐴． 9.
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【答案】 A 【解答】
解：∵ −(𝑘2+1)<0 ∴ 𝑦随𝑥的增大而减小. 又∵ 𝑎<𝑎+3， ∴ 𝑚>𝑛. 故选𝐴． 10. 【答案】 C 【解答】
解：对于𝐴，函数图象（图2）的𝑦最大值是3，就是对应点𝑃运动到距直线𝐴𝐶最远的时刻位置，
点𝐵、𝐷两个时刻， ∴ △𝐴𝐵𝐸的面积是3，
∴ 矩形的面积=4×𝑆△𝐴𝐵𝐸=12．选项𝐴正确；
对于𝐵，由矩形面积=𝐴𝐵⋅𝐴𝐷=3𝐴𝐷=12，可得𝐴𝐷=4，选项𝐵正确； 对于𝐶，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，三边分别是3，4，5， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶≠60∘，
∴ △𝐴𝐸𝑃不可能是等边三角形．选项𝐶错误，符合题意；
对于𝐷，△𝐴𝐵𝐸的面积是3，根据图2，可以知道这个面积是点𝑃运动到距直线𝐴𝐶最远的时刻位置，即点𝐵、𝐷两个时刻．
∴ 𝑥=𝐴𝐵=3或者𝑥=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐷=10．选项𝐷正确. 故选𝐶． 二、 填空题 11. 【答案】 𝑎≤2021 【解答】
解：∵√(𝑎−2021)2=|𝑎−2021|=2021−𝑎， ∴𝑎−2021≤0，
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∴𝑎≤2021．
故答案为：𝑎≤2021． 12. 【答案】 3√5或3√3 【解答】
解：当第三根木条为斜边时，第三根木条的长度应该为√62+32=3√5分米； 当第三根木条为直角边时，第三根木条的长度应该为√62−32=3√3分米. 故答案为：3√5或3√3. 13. 【答案】 3或7 【解答】
解：设运动时间为𝑡(0≤𝑡≤7)， 当𝑄在𝐵𝐶上时，𝐵𝑃=7−𝑡,𝐵𝑄=𝑡， 则(7−𝑡)2+𝑡2=52，解得𝑡=3或4（舍去）； 当𝑄在𝐶𝐷上时，𝐵𝑃=7−𝑡,𝐶𝑄=𝑡−3，
则(7−𝑡−𝑡+3)2+32=52，解得𝑡=7或3（舍去）. 故答案为：3或7. 14. 【答案】 2√3 【解答】
解：取𝐴𝐶的中点𝑂，当𝑂𝐷⊥𝐴𝐵时，𝑂𝐷最小，此时𝐷𝐸的长最小， ∵ 四边形𝐴𝐷𝐶𝐸为平行四边形， ∴ 𝐴𝑂=𝑂𝐶，𝐸𝐷=2𝑂𝐷， ∵ 𝐴𝐶=4√3， ∴ 𝐴𝑂=2√3， ∵ ∠𝐶𝐴𝐵=30∘， ∴ 𝑂𝐷=√3，
∴ 𝐷𝐸长的最小值为2√3. 试卷第11页，总16页
故答案为：2√3. 15. 【答案】
（1,2）或(1,2)或(−1,4) 【解答】
解：设直线𝐴𝐶的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏. 𝑘=−1,2𝑘+𝑏=1，根据题意得{解得{ 𝑏=3，𝑏=3则直线𝐴𝐶的解析式是𝑦=−𝑥+3， 设直线𝑂𝐴的解析式是𝑦=𝑚𝑥，则2𝑚=1， 解得𝑚=2，
则直线𝑂𝐴的解析式是𝑦=2𝑥，
∵ 当△𝑂𝑀𝐶的面积是△𝑂𝐴𝐶的面积的2时， 点𝑀到𝑦轴的距离是×2=1，
21
1
1
1
1
∴ 点𝑀的横坐标为1或−1. 当𝑀的横坐标是1时，
在𝑦=2𝑥中，当𝑥=1时，𝑦=2，则点𝑀的坐标是(1,2)； 在𝑦=−𝑥+3中，当𝑥=1时，𝑦=2，则点𝑀的坐标是(1,2)， 当𝑀的横坐标是−1时，
在𝑦=−𝑥+3中，当𝑥=−1时，𝑦=4，则点𝑀的坐标是(−1,4)， 综上所述，点𝑀的坐标是（1,2）或(1,2)或(−1,4). 故答案为：（1,2）或(1,2)或(−1,4). 三、 解答题 16. 【答案】
解：(1)原式=3√3−4√3+2√3 =√3．
(2)原式=8−4√6+3+4√6 =11．
1
1
1
1
1
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17. 【答案】
解：(1)∵ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∴ 𝑂𝐵=𝑂𝐷=3𝑐𝑚，𝑂𝐴=𝑂𝐶=5𝑐𝑚. 在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝑂中，𝑂𝐴=5𝑐𝑚，𝑂𝐷=3𝑐𝑚， 根据勾股定理，得
𝐴𝐷=√𝑂𝐴2−𝑂𝐷2=√52−32=4𝑐𝑚. 在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐵中，𝐴𝐷=4𝑐𝑚，𝐵𝐷=6𝑐𝑚， 根据勾股定理，得
𝐴𝐵=√𝐴𝐷2+𝐵𝐷2=√42+62=√52=2√13𝑐𝑚. (2)由(1)可知𝐴𝐷=4𝑐𝑚，
∴ 𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷⋅𝐵𝐷=4×6=24𝑐𝑚2. 18. 【答案】
证明：∵ 𝐵𝐷=𝐷𝐸， ∴ ∠𝐸=∠𝐷𝐵𝐸. ∵ ∠𝐸=∠𝐴𝐷𝐵， ∴ ∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐴𝐷𝐵. ∴ 𝐴𝐷//𝐵𝐶 . 又∵ 𝐴𝐷=𝐵𝐶，
∴ 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∴ ∠𝐴=∠𝐵𝐶𝐷. 19. 【答案】
(1)证明：∵ ∠𝐵=90∘，∠𝐵𝐴𝐶=30∘，𝐵𝐶=1， ∴ 𝐴𝐶=2𝐵𝐶=2. 又𝐶𝐷=2，𝐴𝐷=2√2，
∴ 𝐴𝐶2+𝐶𝐷2=8，𝐴𝐷2=8. ∴ 𝐴𝐶2+𝐶𝐷2=𝐴𝐷2， ∴ △𝐴𝐶𝐷是直角三角形.
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(2)解：∵ 𝐴𝐶=2，𝐵𝐶=1， ∴ 𝐴𝐵=√𝐴𝐶2−𝐵𝐶2=√3， ∴ 𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝐴𝐶𝐷 ==
11
×1×√3+×2×2 22√3+2
2.
20. 【答案】
解：(1)由题意可得：𝑦=(45−35)𝑥+(8−5)(100−𝑥)=7𝑥+300， ∴ 𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦=7𝑥+300． (2)由题意，可得100−𝑥≥3𝑥， 解得𝑥≤25． ∵ 𝑦=7𝑥+300， ∴ 𝑘=7>0， ∴ 𝑦随𝑥增大而增大， ∴ 𝑥=25时，𝑦的值最大． 100−25=75，
答：当购进甲种商品25件，乙种商品75件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大． 21. 【答案】
解：(1)由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为： 3、6、6、6、6、6、7、9、9、10， ∴ 其中位数𝑎=6， 乙组学生成绩的平均分𝑏=
5×2+6×1+7×2+8×3+9×2
10
=7.2.
(2)甲组的中位数为6，乙组的中位数为7.5，而𝐴同学的成绩位于全班中上游， ∴ 𝐴同学属于甲组学生.
(3)①乙组的平均分高于甲组，即乙组的总体平均水平高； ∴ 乙组的方差比甲组小，即乙组的成绩比甲组的成绩稳定． 22.
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【答案】
解：(1)①证明：连接𝑃𝐹 ， ∵ 𝐶𝐸=𝐵𝑃，𝐸𝐹=𝐶𝐸， ∴ 𝐸𝐹=𝐵𝑃. 在△𝐴𝐵𝑃 和 △𝑃𝐸𝐹中，
𝐴𝐵=𝑃𝐸，{∠𝐵=∠𝑃𝐸𝐹=90∘，
𝐵𝑃=𝐸𝐹， ∴ △𝐴𝐵𝑃≅△𝑃𝐸𝐹(𝑆𝐴𝑆) . ∴ ∠𝐴𝑃𝐵=∠𝑃𝐹𝐸. 又 ∠𝐹𝑃𝐸+∠𝑃𝐹𝐸=90∘， ∴ ∠𝐴𝑃𝐵+∠𝐹𝑃𝐸=90∘. ∴ ∠𝐴𝑃𝐹=90∘. 又𝐴𝑃=𝑃𝐹，
∴ △𝐴𝑃𝐹为等腰直角三角形， ∴ ∠𝑃𝐴𝑄=45∘．
②把△𝐴𝐷𝑄绕点𝐷顺时针旋转90∘到△𝐴𝐵𝐻的位置，点𝑄的对应点为点𝐻， 则𝐵𝐻=𝐷𝑄，𝐴𝐻=𝐴𝑄，∠𝐵𝐴𝐻=∠𝐷𝐴𝑄， ∴ ∠𝑃𝐴𝐻=∠𝐵𝐴𝑃+∠𝐵𝐴𝐻=∠𝐵𝐴𝑃+∠𝐷𝐴𝑄 =∠𝐵𝐴𝐷−∠𝑃𝐴𝑄=90∘−45∘=45∘， ∴ ∠𝑃𝐴𝑄=∠𝑃𝐴𝐻， ∵ 𝐴𝑃=𝐴𝑃，
∴ △𝐴𝑃𝑄≅△𝐴𝑃𝐻(𝑆𝐴𝑆)， ∴ 𝑃𝑄=𝑃𝐻，
∵ 𝑃𝐻=𝐵𝑃+𝐵𝐻=𝐶𝐸+𝐷𝑄， 由勾股定理得𝐶𝐸=∴ 𝑃𝑄=𝐷𝑄+
√2𝐸𝐺, 2
√2𝐺𝐸． 2
(2)𝑂𝑀=𝑂𝑁，𝑂𝑀⊥𝑂𝑁． 证明：分别连接𝐵𝐺，𝐷𝐸， 易证：△𝐵𝐺𝐶≅△𝐷𝐸𝐶， ∴ 𝐵𝐺=𝐷𝐸 .
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又 𝑂𝑀=𝐵𝐺， 𝑂𝑀//𝐵𝐺，
2
1
𝑂𝑁=2𝐷𝐸，𝑂𝑁//𝐷𝐸， ∴ 𝑂𝑀=𝑂𝑁． 根据条件易得𝐵𝐺⊥𝐷𝐸， ∴ 𝑂𝑀⊥𝑂𝑁．
1
试卷第16页，总16页
