“利用均值不等式求最值”的教学设计

一、教材分析

（一）本节教材所处的地位和作用

“算术平均数与几何平均数”是全日制普通高级中学教科书（试验修订本·必修）数学第二册（上）“不等式”一章的内容，是在学完不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节内容是培养学生应用数学知识，灵活解决实际问题，学数学用数学的好素材；同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，所以有利于培养学生良好的思维品质． （二）教材处理

依据新大纲和新教材，本节分为二个课时进行教学．第一课时讲解不等式（两个实数的平方和不小于它们之积的2倍）和平均值定理（均值不等式）及它的几何解释．掌握应用定理解决某些数学问题．第二课时讲解应用平均值定理解决某些最值问题和实际问题．本节课为第二课时。为了讲好这节内容，在紧扣新教材的前提下，对例题作适当的调整，适当增加例题．

（三）教学目标 知识目标：

（1）会利用“均值不等式”解决某些最值问题；

（2）掌握获得“均值不等式”条件的常用方法。

能力目标：

（1）学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解题规律，提高学生的抽象概括能力。

（2）通过学生的口头表述和书面表达提高学生的数学表达和数学交流的能力。

（3）通过例题、变式练习及应用题的解决树立学生的化归思想； （4）通过实际问题发展学生的数学应用意识。

德育目标：

通过具体问题的解决，增强科学严谨的治学态度，体会“探究学习”在学习过程中的作用，使学生体验成功 ，增强学习数学的自信心。 （四）教学重点、难点、关键

重点：用均值不等式求解最值问题的思路和基本方法。 难点：均值不等式的使用条件，合理地应用均值不等式．

关键：理解均值不等式的约束条件，掌握化归的数学思想是突破重点和难点的关键． 二、学情分析

我所教的两个班都是文科平行班，大部分学生数学基础较差；学生的理解能力，运算能力，思维能力等方面参差不齐；但学生有学好数学的自信心，有一定的学习积极性。 三、教法分析 （－）教学方法

为了激发学生学习的主体意识，又有利于教师引导学生学习，培养学生的数学能力与创新能力，使学生能实现学习目标，采用启发探究式学习．其中，在探索结论时，采用发现法；在定理的应用及其条件的教学中采用归纳法；在训练部分，主要采用讲练结合法进行． （二）教学手段

根据本节知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，利用计算机和实物投影辅导教学． 四、教学过程设计 （一）基础预习题

1．下列命题正确的序号是 .

①当x0时，x112x2 xx②若a,bR，则

baba22 abab③若0x,则ysinx442sinx4 sinxsinx 所以，ymin4

④ 若a,bR，ab0，则

ba 2()()2

abbaba[()()] abab 2．1）若m0，则

16m有最___值，最值为____,（m_____）； m 若m0，则

16m有最____值，最值为_____（m_____） m42）若0x,则3x(43x)有最____值，最值为_____(x____)

3设计意图：

通过1题让学生复习“均值不等式”的使用条件。通过2题让学生熟悉利用“均值不等式”求解最值的过程，进一步强化“均值不等式”的使用条件，并导入课题。

引出课题——利用“均值不等式”求最值 （二）引申提高

本部分包括两个例题。承接（一）基础预习题中2.1）引出例1及变式练习；

承接（一）基础预习题中2.2）引出例2及变式练习。

题目的安排本着由简单到复杂，层层递进的原则，而问题的解决恰是一个互逆的过程，即由复杂到简单，步步转化的过程。具体过程如下：

2．1）若m0，则

16m有最___值，最值为____,（m_____）； m 加减变形

16的最小值。 m1例1已知m1, 求m

16的最小值。 m1变式练习（1）：已知m1，求函数y4m 分离常数法

4m24m16变式练习（2）：已知m1，求函数y的最小值。

m1

42．2）若0x,则3x(43x)有最____值，最值为_____(x____)

3 乘除变形 例2设0x3,求函数yx(43x)的最大值。 4

3,求函数y4x(43x)的最大值。. 4 变式练习：设0x 设计意图：

通过例1、例2及其变式练习，让学生掌握获得 “均值不等式”条件的基本方法，同时提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的化归思想。

（三）解应用题

例 某村计划建造一个室内面积为800m2 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

分析：此题有两种列式方式，如下： <一> 设矩形温室的左侧边长为am，则 后侧边长为由题意得

S(a4)(8002) a800m,蔬菜的种植面积为S， a111将此式展开，即可化归到前面的问题。

3〈二〉设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm,蔬菜的种植面积为S，则 ab800

由题意得

S(a4)(b2)

此题与前面题目的区别在于：它是一个含有等量约束条件（ab800） 的多元变量最值问题。这类问题的解法有两种方式：其一是对要求最值的式子

S(a4)(b2)变形，然后直接利用均值不等式和等量约束条件（ab800）

求解；其二是由等量约束条件ab800表示出一个变量，代入到S(a4)(b2) 进行消元，从而化归为前面的问题。

设计意图：

引入并让学生掌握简单的含有等量约束条件的多元变量最值问题的解法，让学生体会解应用题的过程，提高把实际问题抽象为数学问题及应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力。

（四）课堂小结

培养学生的归纳、概括能力及对问题进行反思的习惯，使学生系统地巩固所学知识。