我国汽车保险奖惩系统变免赔额的实证研究

我国汽车保险奖惩系统　变免赔额的实证研究　夏冬谢皓宇肖宇谷　中国人民大学统计学院　１　００８７２　中图分类号：Ｆ８４０．６５文献标识码：Ａ　优原则计算得到，且不同等级加入相同的　免赔额。　２．１惩罚区域采用相同的费率系数不　同的免赔额　【文章摘要】　本文计算了我国０７年汽车商业险　１）各保险期相等且通常为１年；　２）保单分成ｌ＇ｎ个有限等级，每份保　处于级别ｌ中的投保人需要支付相应　级别的保费（对于高风险的可能缴纳很多　保费）来获得保障，但是在对每次索赔加　入免赔额ｄ后则只需缴纳基本保费即可获　得保障。为使两种方法对投保人达到相同　的效果，需要使ＢＭＳ导致的保费惩罚与投　奖惩系统在最优贝叶斯尺度意义下的　费率，结果显示目前的费率体系对高　风险的投保人惩罚不足，而对低风险　的投保人奖励不足。由于在系统中加　入单次免赔额可以有效地提高系统性　能。本文就此进行了实证分析。　【关键词】　ＢＭｓ；免赔额；最优贝叶斯保费尺度；无　差别原理　一、引言　奖惩系统（ｂｏｎｕｓ—ｍａ］ｕｓ　ｓｙｓｔｅｍ，简　记为ＢＭＳ），是在掌握了投保人的索赔记　录后对每年的续保保费进行调整的方法，　在我国亦称为无赔款优待（Ｎ０　Ｃｌａｉｍ　Ｄｉｓｃｏｕｎｔ，简记为ＮＣＤ），被广泛应用于　汽车保险。　尽管ＢＭｓ有很多优点，但也存在缺　陷。首先，ＢＭＳ的后验调整仅依赖于索赔　次数而不依赖索赔额，这样索赔额的信息　就无法得到；其次，它也没有考虑到投保　人通过变更保险公司来逃避惩罚的因素。　Ｈｏｌｔａｎ（１９９４）提出了一个ＢＭＳ的替代　方法，即对所有级别的投保人都使用一个　相同的免赔额，但是这种方法却因为免赔　额过高在实践中难以实现。Ｐｉｔｒｅｂｏｉｓ等　（２００５）改进了Ｈｏｌｔａｎ（１９９４）的方法，他　们在不同的费率级别中加入适当的免赔　额，将ＢＭＳ后验费率校正系统与免赔相混　合，使得定价系统更为合理。　．　本文将Ｐｉｔｒｅｂｏｉｓ等（２００５）的方法应　用于国内２００７年颁布的统一商保ＢＭＳ，并　作了相应的实证分析。　二、基本模型　１、最优贝叶斯保费尺度　Ｎｏｒｂｅｒｇ（１　９７６）用信度理论的模型结　构，按最小期望平方误差的准则，求得在　稳态分布下的保费尺度，称为最优贝叶斯　尺度，见勒梅尔（１９９７）。叶芳（２００７）分　析了２００６年前国内多家保险公司的最优贝　叶斯尺度。Ｐｉｔｒｅｂｏｉｓ等（２００５）在最优贝　叶斯尺度上加入了变免赔额。　本节讨论是基于经验费率系统，有如　下假定：　单在一个保险期内等级不变；　保人自付免赔额的效果是相同的，这里称　３）保费尺度记为ｒ　ｒ．，．…　、其中ｒ．　为无差别原理。　表示保单组合中位于ｌ等级的保费尺度；　考虑在级￣ＪＸｒ，Ｅ［Ｃ，１中的投保人，他　４）所有保单的初始等级均相同；　的保费为徊Ｇ】。如果在系统中对每次索　５）转移规则中投保人任意时期所在的等　赔加入免赔额，则他需要支付保费变为，　级是上期所在等级和报告索赔次数的函数；　但同时如果发生索赔，则投保人还需为每　６）所有保单的索赔强度的均值为ｌ。　次索赔额为　的索赔支付ｍｉｎ｛Ｃ￣，　｝。基　假设索赔频率符合复合泊松分布　于无差别原理，对于处于ｌ级别下的投保　ＰｄＮ＝．Ｉ｝ＪＡ＝　＝　ｅｘｐ（－２）／ｋ￣，其中人的　人下式成立：　分布采用孟生旺（２００１）中的三元分布，即　２￣Ｅ［Ｑ】＝ＡＥ［Ｃ￣】＋ｔ６（Ｅ［Ｃ１　ｆｑ＜　】　人的分布为离散结构函数分布（即先验分　ｐｒ［Ｇ＜　】＋　Ｐｒ［　＞　】）　布），见表ｌ：　上式可以化简为：　根据Ｎｏｒｂｅｒｇ（１９７６）最小期望平方误　ｒ，Ｅ［Ｑ】＝Ｅ【ｃ１】＋ｒ￣（Ｅｔｑ　ｆｑ＜　】　差的准则，见叶芳（２００７），最优贝叶斯尺　ＩＰｒ【ｑ＜　Ｉ＋　ｐｒ【Ｇ＞　Ｉ）　（２．１）　度为：　２．２惩罚区域采用不同的费率系数相　∑　（　（　）　同的免赔额　∑７Ｉ，（　（　）　，　＝ｌ，２，…，　，，１、１－１，　奖励区域的保费（ｒＩ＜１００％）保持不变，　但是惩罚区域费率（ｒ．＞１ｏ０％）变为ｒ　的一　ｔ＝ｌ　其中　（　）为长时间后风险参数为　个固定比例，如采用一个固定的　的投保人在费率等级ｌ的概率分布（可以　（０＜　＜１，本文将　称为混合比例），投　由有限状态马氏链理论得到）。　保人缴纳的费率系数变为　（１一　），根据　２在ＢＭＳ中加入免赔额　无差别原理得：　、本节介绍Ｐｉｔｒｅｂｏｉｓ等（２００５）的主要　五　皿ｑ１＝（１一　）　Ｅ【ｃ１Ｉ＋　目Ｉｍ　｛ｑ，　｝１　结果。　由上式可得：　假设Ｃ　，Ｃ　…．，Ｃ　代表投保人Ⅳ　口日ｑ卜＝—研ｃｌｔｃ，＜　】１Ｎｑ＜４１＋　Ｐｒ【ｃ＞　】（２．２）　次索赔的索赔额，索赔额Ｃ　，Ｃ　…．，Ｃ　这里ｄ　并不依赖于，所以对所有的　被假设为同分布的，且与索赔次数Ⅳ　ｒ　＞１００％的级别使用了相同的免赔额。　。投保人不考虑历史的纯保费是　２．３　２００７年奖惩系统　坷Ｇ１，这一纯保费会根据ＢＭＳ中所在　２００７年奖惩系统是２００７年颁布的统　一的级别进行修正，也就是根据上一年报告　的商业保险ＢＭＳ系统。其转移规则为：　初次投保处于等级３。如果连续３年没有发　的索赔来调整续保保费，那么在级别ｌ中　生赔款的投保人进入等级１；连续２年没有　的投保人将支付　研　】以得到该保险。　发生赔款则处于等级２；上年没有发生赔　本文主要考虑以下两种方式在ＢＭＳ　款则在等级３；上年赔款次数在３次以下处　系统中对每次索赔加入免赔额，一是对奖　于等级　上年发生３次赔款则处于等级５；　励区域（费率系数　＜１００％）费率不变，且　上年发生４次赔款在等级６；上年发生５次　不加入免赔额；其它区域（费率系数ｆ＞　及以上赔款则进入等级７。由此可以写出　１００％）费率全为１，但不同等级加入不同　转移矩阵如下：表２　的免赔额　二是对奖励区域（费率系数ｆ　＜ｌＯ０％）费率不变，且不加入免赔额；其　其中：　＝Ｐ一，Ａ＝　～，　＝五　Ｐ～／２，　它区域（费率系数　＞１００％）费率根据最　４　表ｌ　离散培裤函数＃的三元分布　Ａ＝五’Ｐ～／６，　＝五　Ｐ～／２４，鼋５＝１一∑只。，　０７年商业险的保费系数从级别１到级别７　分别为０．７；０．８；０．９；１．０；１．１；１．２；１．３。　ＭＯＤＥＲＮＢＵＳＩＮＥＳＳ　项代商业　维普资讯 http://www.cqvip.com 三、２００７年ＢＭＳ变免赔额的计算　对于理赔额，本艾使片ｊ对数正态分布　及指数分布两种尾部不同的分布来刻画。　是参数为　＝７．３８４２，　＝１．６２４５（王　新军（２００５））的对数正态分布，是长尾分　布。同时，为丁便于比较，采用与对数正态　分布同均值的指数分布，选择参数为　一＝３６２８（即ｅｘｐ（７　３８４２十　）＝３６２８））　的指数分布。　根据公式（１．１）我们可以计算出最优　在对每次索赔加入免赔额代替级别保费　的情况下，惩罚消失了　＝１００％，　：５　６，７，　每个ｒ　＞１００％的级别上的投保人只需要支付　基本保费，由无差别原理，他们虽然只需支　付基本费用，但是更高级别的投保人却有更　高的免赔额。表３和表４的第４列显示了当损　失额服从指数分布时免赔额的大小，最后～　列是当损失额服从对数正态分布时免赔额的　大小。　在表４中，ｒ　＞ｌ００％时减免了２０％的　保费，其费率系数大于表３中的情况，但　ＢＭＳ条款理论上对低风险的司机奖励不　足，对高风险的司机惩罚不足。如果考虑　在惩罚区域加入适当的免赔额，将有利于　保证风险与保费的匹配。表３；表４　四、结论　使用免蜡的ＢＭＳ可以更好的服务于　公司，原因有很多，最直接的就是加入免　赔的好处，这不仅可以减少由于小额损失　带来的繁琐处理和大量的管理费用，更可　以直接减少高风险人群的进入，这对整个　贝叶斯保费尺度，ｉ，　，…，　，见表３和表４　的第二列。由式（２．１）及式（２．２）得到　免赔额相对表３较低，即低费率应当有高　相应的单次索赔免赔额　其中混合比例　的免赔额。　：０　２。　从最优贝叶斯保费尺度看，２００７年　表２　２００７　１　２　３　４　５　６　７　ｌ　Ｐｏ　＋　２　Ｐｓ　Ｐ４　２　Ｐｏ　ｌ＋　２　３　Ｐｏ　１＋　２　Ｐ３　Ｐ４　４　Ｐ＋　２　Ｐ３　Ｐ４　ｏ　５　Ｐｏ　＋　２　Ｐ３　Ｐ４　留５　６　Ｐｏ　＋　２　Ｐ４　留５　７　Ｐｏ　＋　２　Ｐ４　表３惩罚区域采用相同的费率系数不同的免赔额　级别　有免赔额　指数分布　对数正态　时候的　下　分布下　１　１４．４７％　１４．４７％　Ｏ　Ｏ　２　３１．８１％　３１．８１％　Ｏ　Ｏ　３　４２．２１％　４２．２１％　Ｏ　Ｏ　４　５８．５９％　５８．５９％　Ｏ　Ｏ　５　１４３．４８％　１ｏｏ．ＯＯ％　１３０９．８　１４６８．４　６　１８１．２８％　１ｏｏ．ｏｏ％　２１５８．２　２７１０．９　７　２ｏｏ．３１％　１ｏｏ．ｏｏ％　２５２０．４　３３２０．５　有免赔额　指数分布　对数正态分　级别　时候的　下　布下　１　１４．４７％　１４．４７％　０　０　２　３１．８１％　３１．８１％　０　０　３　４２．２１％　２４．２１％　０　０　４　５８．５９％　５８．５９％　０　０　５　１４３．４８％　１１４．７８％　８０９．５６４８　８５０．０７８　１　６　１８１。２８％　１４５．０２％　８０９．５６４８　８５０．０７８　１　７　２００．３１％　１６０．２５％　８０９．５６４８　８５０．０７８　１　倒坝代商业　ＭＯＤＥＲＮＢＵＳＩＮＥＳＳ　公司的长期运营来说是很好的。　当采用混合情况下单次免赔的时候，　免赔额是可以接受的（８００元～９００元）。当　然也可以选择通过调整混合比例　来调节　免赔额的大小。在混合情况下，级别保费　更加温和，免赔额也较为适中，这可以增　加保险公司对投保人的吸引力。　如果现有条款在惩罚区域加入适当的　免赔额，将有利于保证风险与保费的匹　配，同时可以保证低风险与高风险投保人　之间的公平，否则，系统过分的有利于高　风险投保人，只会最终加大整个保单组合　的成本。圃　【参考文献】　１、Ｓ．Ｐｉｔｒｅｂｏｉｓ，Ｊ．Ｆ．Ｗａｌｈｉｎ　ａｎｄ　Ｍ．Ｄｅｎｕｉｔ．　Ｂｏｎｕｓ　Ｍａｌｕｓ　Ｓｙｓｔｅｍｓ　ｗｉｔｈ　ＶａｒｙｉｎｇＤｅｄｕｃｔｉｂｌｅｓ　【Ｊ１．ＡＳＴＩＮ　Ｂｕｌｌｅｔｉｎ，２００５，Ｖｏ１．；５５，Ｎｏ．１：　２６１－２７４．　２　Ｈｏｌｔａｎ，．］３ｏｎｕ　ｓｍａｄｅ　ｅａｓｙ［Ｊ】．ＡＳＴＩＮ　Ｂｕｌｌｅｔｉｎ，，１　９９４，２４：６１－－７４．　５、Ｎｏｒｂｅｒｇ，Ｒ．Ａ．　ｅｄ＿ｂｌ１１ｔｙｔｈｅｏｒｙｆｏｒ　ａｕｔｏ—　ｍｏｂｉｌｅ　ｂｏｎｕｓ　ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ】．Ｓｃａｎｄｉｎａｖｉａｎ　Ａｃｔｕ－　ａｒ（ａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ，１　９７６，２；９２—１０７．　４、让・勒梅尔．汽车保险费的定价原　理【Ｍ】．袁卫译．北京：经济科学出版　社，１９９７．　。　５、叶芳，崔晔．ＢＭＳ下四种最优保费尺　度的比较【Ｊ】．统计与决策，２００７，第９　期：１　９－２２．　６、中国保险行业协会，机动车商业保　险行业基本务款，２００７，　７、孟生旺，袁卫．汽车保险的精算模　型及其应用【Ｊ】，数理统计与管理，　２００ｉ，第５期．　８、王新军，邵学清．拟合索赔数据的　一种新方法：叠加分布模型［Ｊ】．统计研　究，２００５，第１　２期．