塑堂坌 ＪＩｒ 瓣 向量法 证明不等式的不二选择 ０河北正定中学徐伟 高中新教材引人平面向量和空间向量，将其延伸到欧 氏空间上的ｎ维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生 改变．若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量 上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为ｎ＝２，３时的情况． 设口，西是欧氏空间的两向量，Ｊｔａ＝（ｘ１， ２，…， ）， ：（ｙｌ， ｙ２，…， ）（３ｆｉ，ｙｉ∈Ｒ，ｉ＝１，…，ｎ） 规定ａ・６＝（ ｌ， ２，…， ）・（Ｙｌ，Ｙ２，…，ｙ．）＝ｘｔｙ１＋ｘｚｙ２＋…＋ ∑ （注：ａ・ 可记为（ａ，ｂ），表示两向量的内积），有ｌａｌ＝ 厂 一 丽：Ｖ ｎ・ｂ＿－ｌａＩ・Ｉ６ｌＣＯＳ￣［， ＞ 由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不 等式及数量积的不等式建立一系列ｎ元不等式，进而构造ｎ 维向量来证明其他不等式． 一、利用向量模的和与和向量的模的不等式（即ｌｍ。Ｉ＋ Ｉｍ２ｌ＋…＋ｌｍ ｌ≥Ｉｍｌ棚２＋…堋 Ｉ） 例１ 设ａ，ｂ，Ｃ∈Ｒ ，求证：、／ （ｎ＋６＋ｃ）≤、／ ＋ 、／ ＋、 ≤、／ 、／ ． 证明：先证左边，设埘＝（０，ｂ），肛（６，ｃ），ｐ：（ｃ，ａ）， 则由Ｉｍ ，ｌＩ＋Ｉ ｐｌ≥｛ｍ棚 ５，得到 、／ ＋、／ ＋、 ≥ｌ（ ＋ｃ， ＋ｃ）Ｉ＝、／ ・ （叶６＋ｃ）． 再证右边，设 （、／Ⅱ ＋、／６ ＋、／ｃ ），ｖ＝－（１，１，１）． 则由ｌＨ・ ｌ≤ｌＵ１．１ ｌ得 、／ ｒ＋、 ＋、／ ≤Ｘ／—２（ａ２＋ｂ—％ｃ２）・、／了＝ 、／百（ ６２＋ｃ ）． 综上，原不等式成立． 点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式 证明左边。利用向量数量积建立不等式证明右边． ２６ Ｉ数学金刊・高中版 二、利用数量积不等式（即ａ・西≤Ｉａｌ ＩｂＩ） 倒２设０。，ａ２…， 及６。，ｂ ，…，ｂ 为任意实数，求证： （ａｌｂ１＋ｎ２６ … ｌ６ ） ≤（ ＋ ＋…＋ ）（６ ＋６；十…＋６：）． 当且仅当 ｂ＝… ａｎ时等号成立・（柯西不等式） ２证明：令ｍ＝（Ⅱｌ，啦，…，ａｎ），，ｌ＝（６１，ｂ２，…，ｂ ）， 由ｆｆ－ｍ・，ｌ≤ＩｍＩ．１ｎＩ， 故（口 ，啦，…， ）・（６ ，ｂ２，…，６ ）≤ ・ 、／ ． ≤、／ 。、／ 即（ａｌｂ１＋ … ） ≤（ ＋ ＋…＋ ）（６ ＋６；＋…＋６：）． 等号成立当且仅当ｍ与，ｌ共线，即 … ・ 点评：由此可以发现柯西不等式所能证明的不等式都 可以通过构造向量来证明． 例３（１９８６￣全国高中数学竞赛题）在Ｚ￣ＩＢＣｅＰ，外接圆 的半径Ｒ＝Ｉ，面积ｓ△ＡＢｃ＝ １．求证：、／ ＋、／ ＋、／ ＜ ＋ 斗 血 ｝＋｝． 证明：Ｓ… １ ｎ６ｓｉｎｃ＝ｌａｂ。 ＝ １ ｃ＝｝，故 ｃ＝ｌ， 则只需证 ＋ ＋ ＜ ＋ ＋ ． ｂｃ ∞ 曲 ａ ｂ Ｃ 协ｌ． ｆ １ １’ ｌ’ ＼ ｆ １ １’ ’ １ ＼Ｊ ‘ 由ｍ・，ｌ≤Ｉｍｌ・Ｉｎｌ得 ＼ｆ＼ 一ｘ／１ Ｚ－’ 、／１ 、 ’ ／１ ¨、 ＼ｆ¨ １／ 、 ’ ／１ ’～ｘ／１Ｔ ＼Ｊ／ ≤ Ｌ ＋ｌＬ＋。。。、／÷＋÷＋÷． 塑堂坌 所以 ＋ ＋ ≤ ＋ ＋ 、／ ＂－、／ 、／ ａ ｂ ｃ ＝ ，与Ｊｓ出 证明加 ｌ／＼ １ 、／ ’ １ ’…’ １ Ｊ＼ ， ｐｌ印２ Ｖｐ２＋ｐ３ Ｖｐ Ｉ ／ 肛（ ， ，…， ）． ３且仅当Ｊ，ｌ与，ｌ共线，等号成立，即 矛盾． ４ 由（ｍ・，１） ≤ｌｍＩ ・ｌｎｌ 故、／ ＋、／ 一＋、／ 一＜ 一＋ 一＋ ． （ｎ－１ ） ≤（ ＋ １ ＋．．一‘＋ ） Ｊ［（Ｐ－＋ｐ２ｚ）＋（Ｐ： ）ａ ｂ Ｃ 点评：不等号的方向可以给我们构造向量指明方向． 十…＋（Ｐ ）］， 例４设ｎ是大于１的自然数，求证： 即 ＋ ＋．．。＋ ≥ （ｎ－１） ２≥ Ｐ １１ｐ＿ ２ Ｐ ２印３ Ｐ，，－１ １ ｎ ’． ｉ ± ２一ｎ一 ， １ ｖ ２＋．．・概・ ＜ ． 证明：令ｐ＝（１，２，…，ｎ），鼋＝（、／ ，、／ ，…，、／ ）． 丽（ｎ－１）２＞ 等＝ ｎ－１． 左边 ・ｑ，由ｐ・口≤ｌＰ１．１ｑＩ 综上 －＿＋ 一＋．．．＋ ＋—Ｌ＞ ． ｎ 仁 、／ ≤（＼ ／ｉ＝１ ） （ ＼ｉ＝１ ｃ ）／ ＝、Ｖ／ Ｕ ’ ｐ１十ｐ２ ｐ２却３ Ｐ 十ｐ，卜ｌ ｐ，卜１ ｎ＋２ 点评：由不等号的方向和左边分母的和为定值联想到 、／ ．只需证加强命题、／ 型 ‘、／而＜ 构造向量． 倒７（２６届莫斯科奥林匹克竞赛题）若ａ，ｂ，Ｃ∈Ｒ＋，证 、／ ： ． 明： ＋ ＋ ≥一３当ｎ≥４时．上式显然成立． ． 验证 ２，ｎ＝３时，原不等式也成立． 综上，∑ ＜ ． 锄＝（ ， ， ）， ｎ＝（、／丽，、／丽，、／丽）． 点评：不等式的左边使我们想到了两向量的数量积形式． 由（ｍ・，１） ≤Ｉｍｌ ・ｌｎＩ２ｉ寻 例５（第２４届全苏奥林匹克竞赛题）设ａ４＞Ｏ（ｉ＝ｌ，２，… ｎ），满足∑ １．求证： （ ≤（＼＿ｂａ＋４－ｅ Ｃ ａｂ＋＋口 ＿＿ｃ＋ １ｂ／＿ ．２（ａｂ＋６ｃ ， ａｃ＞＋ ＋ Ｉ （ａ＋ｂ＋ｃ）Ｚ ． ＋立ｃ＋ａ＋．．‘＋ ≥ ６ ２（曲＋６。＋ｃｎｌ＋ｃｚ２ａａ＋ａ￣口ｈ＋ ａｌ２ 由（叶６ ） ＞￣３（ａｂ＋ｂｃ＋ｅａ）Ｗ得 证明：锄＝（＼ ａＶ ａ—￣ｌ，＋ａ２ Ｖａ ０一ｚ２，＋ｃＯ，…， 、／ ＋ａ ／１） ， ａ一＋ ＋ ≥６＋ｃ ｃ＋０叶６ 三 ２ ｎ＝（、／ ，、／ ，…，、／ ： ） 点评：（１）该题在构造向量时，与以上诸题有所不同； 由（ｍ・，１） ≤ｌｍｌ ・Ｉｎｆ２｛寻 （２）该题可推广为，设ｎ，ｂ，ｃ为三角形的三边长，且Ａ＞０， （ａｌ一 ≤（＼ 者＋ａｌ ＋ａ，２ ａ／ｚ＋ａ￣．＋者 口 ＋口ｌ／ ＋ Ａ ＞０，则 ３≤ ａ ＋ ｂ ＋ Ｃ Ⅱ： 劬＋…＋ １） ２ 故 ２Ｌ＋ Ｌ＋．．．＋ Ｌ≥ Ａ ａｌ＋ａ２ ｎ３ ｎ ０ｌ ２ 点评：（１）不等号的方向使不等式的左边应为向量模 园圆 的乘积的形式，再结合右边的常数及已知和为常数可得证； （１）李胜宏著．《平均值不等式与柯西不等式》．华东师 （２）此题还有其他的证法，例如可以用平均值不等式． 范大学出版社，２００５年． 倒６（２０ｏ２年全国女子竞赛题） ｚ，… ，是１，２，…， （２）李铁烽．构造向量证三元分式不等式．数学通报． ｎ的任意排列．求证： ２００４年２月． Ｌ＋—Ｌ＋…＋ ＋ ＞一ｎ－１（３）沈文选、张矗、冷岗松著．《奥赛经典》．湖南师范大 —． ｐｌ＋Ｐ２ ｐ２＋ｐ３ Ｐ，却 １ Ｐ Ｉ＋Ｐ ｎ＋２ 学出版社．２００４年．囵 数学金刊・高中版ｌ ２７
