导数的基本概念及性质应用

考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式, 并能灵活应用公式求解

2、能运用导数求解单调区间及极值、 最值

3、理解并掌握极值及单调性的实质, 并能灵活应用其性质解题。

能力：数形结合 方法：讲练结合

新授课: 、知识点总结:

导数的基本概念与运算公式

1、导数的概念

函数y = f (x)的导数f (x),就是当△

x— 0时，函数的增量△ y与自变量的增量△ x的比 弟 的

极限，即

f

(x)二輒咯=肌出泮

说明：分子和分母中间的变量必须保持一致 2、导函数

函数y = f(x)在区间(a, b )内每一点的导数都存在，就说在区 (a ,b )内的函数，叫做f (x)的导函数，记作f(X)或yx ,

函数f (x)的导函数f(X)在x = Xo时的函数值f (x0)，就是f(x)在Xo处的导数。 3、 导数的几何意义

设函数y = f (x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点 处的切线斜率。 4、 求导数的方法 (1)基本求导公式

f (x)间(a, b )内可导，其导数也是

M (x0, y0 )

c =0

(sin x)二 cosx

x

x

.m、•

(x ) = mx (m Q) (cosx) - -sin x (ax)二axlna (log：)二 xl1na

m 4 z

(e )二 e (In x)\" = 1

(2)导数的四则运算

(U 二 V)= U 二v

(uv) = u v uv

(A汽严(八0)

(3)复合函数的导数

设u = g(x)在点x处可导，y =在点f (x)处可导，则复合函数 f[g(x)]在点x处可导，

fx'( (x))= f'(u) '(X)

导数性质：

1函数的单调性

⑴设函数y= f(x)在某个区间内可导， 减函数。

⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法。 ① 确定函数f (x)的定义区间

② 求f (x)，令f (x) = 0,解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。

③ 把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到 大的顺序排列起来，然后用这些点把函数

f(x)的定义区间分成若干个小区间。

若f (x) > 0,则f(x)为增函数；若f(x) v 0则为

④ 确定f(X)在各小开区间内的符号， 根据f(x)的符号判定函数f (x)在各个相应小开 区间内的增减性。

说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关 2.可导函数的极值

⑴极值的概念

设函数f(X)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点都有 f(x) v f(x0) (或 f (x) > f(x0))，则称f(X0)为函数的一个极大(小)值点。称 ⑵求可导函数极值的步骤。 ① 求导数f (x)

② 求方程f (X)= 0的根

③ 检验f (x)在方程f (x) = 0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近 为负，那么函数y= f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧 为正，那么函数y= f(x)在这个根处取得极小值。

X0为极大(小)值点。

说明：极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点(隐含条件，说明某点是极

值点，相当于给出了一个

3 •函数的最大值与最小值

⑴设y= f (x)是定义在区间［a ,b ］上的函数，y= f(x)在(a ,b )内有导数，求函数y = f(x) 在［a ,b ］上的最大值与最小值，可分两步进行。 ① 求y= f(x)在(a ,b )内的极值。

② 将y= f(x)在各极值点的极值与 f(a)、f (b)比较，其中最大的一个为最大值， 的一个为最小值。

⑵若函数y = f(x)在［a ,b ］上单调增加，则f (a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值； 若函数y= f (x)在［a ,b ］上单调减少，则f (a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。 说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值

最小

f (x) = 0的方程

二、例题讲解 题型一导数的概念

【例1】设

f(x)在点xo处可导，a为常数，则lim f (Xo a X) f(Xo 7 X)等

A.f/(xo) B.2af '(xo) C.af

【变式】 设f(x)在xo处可导 耙0 西 ------

f (xo -. x) - f (xo)

'

(x 0) D.0

题型二导数的几何意义、物理意义

2x

【例2】(1)求曲线y二飞 在点(1, 1)处的切线方程；

x +1

一 t 一1 2

(2)运动曲线方程为 S 2 2t2，求t=3时的速度。

t2

分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数

y=f(x)在x0处的导数就是曲

S(t)对时间的

线y=f(x)在点p(x°,y。)处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数 导数。

题型三利用导数求单调区间

【例3】求下列函数单调区间

(1)

-?-2X 5

(2)

(3) y

k2

X (k ■ 0)

2

(4) y = 2X -1n 爲

题型四：利用导数求函数的最(极)值

【例4】求函数f(x) =X3 -3X 1在闭区间［-3，0］上的极值、最大值、最小值

题型五：原函数图像与导函数图像

【例5】1、设f '( x)是函数f(x)的导函数，y=f '( x)的图象

如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是

2、函数f (x)的定义域为开区间(a,b)，导函数 则函数f (x)在开区间(a, b)内有极小值点(

(x)在(a, b)内的图象如图所示,

(A)

(B)

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

(C) (D)

题型六：利用极值的本质及单调性求解析式

【例6】已知函数f(x)二ax3 • bx2 -3x在x - -1处取得极值。

(I)讨论f(1)和f(-1)是函数f (x)的极大值还是极小值； (II)过点A(0,16)作曲线y二f(x)的切线，求此切线方程。

【例7】已知函数f x = ax3 bx - cx在点xo处取得极大值 经过点(1, 0),( 2, o)如图所示.求： (1)Xo 的值；(2)a、b、c 的值.

【例8】已知函数

3 2

(x) =x+ax+bx+c，当x= — 1时，取得极大值 7;当x=3时，取得极小

a、b、c的值

值.求这个极小值及

【例9】已知f(x) =ax4 bx2 c的图象经过点 (0,1)，且在x=1处的切线方程是

y = x -2 (1)求y = f (x)的解析式；(2)求y = f (x)的单调递增区间

题型七：含参数的讨论

【例10】（1）如果函数f（x）=x3+ax的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数 a的取值

范围是

（ ）

A.（0,+：： ） B.[0,+：： ） C.（3,+ ：： ） D.[3,+ ：：）

（2）如果函数f（x）=x3+ax的图象上有平行于 x轴的切线，则实数 a的取值范围是

【例11】已知函数f x = ax3 -x2 bx 2 a,b,

增函

数，在（0, 4）上是减函数.

（1 ）求b的值； （2 ）求a的取值范围

R且a = 0在区间：；：一匚?,0上都是

题型八：综合应用

【例12】平面向量a -1）,b

，于），若存在不同时为 0的实数k和t,使

：；（t2 _3）b,寸 _ -ka +tb,且戈丄:，试确定函数k = f （t）的单调区间

例题答案:

【例1】解:

lim f (x° +a^x) _ f (x° _aAx)

.x_o .x 0

f (x° +aAx) - f (x°) + f (x°) - f (x° - aAx) =lim

mm f(x0 Ux。)飞 Um f(x0 -a x) - f(x°) a.X「0 axax J0 -ax

= 2af /(X。)

故选（C）

【变式】：-1

2 2

【例2】（1）

y

,2(x 1) -2x 2x 2-2x

(x2 1)2 (x22 2 1)，2

y'|x^ = 2 24

= 0，即曲线在点（1, 1）处的切线斜率k=0

2x

因此曲线y二r 在（1，1）处的切线方程为 y=1

X2 +1

(2) S'

二于' （2t2）' J\" 一2雉一1）

t4

S|

9 2 12\"2627

。 27

【例3】（1） y 二 3x2

_ x _2

= (3x 2)(x_1)

_

2

x (-：：， ) x

G，1）

：:：

0 •••（」：，-彳），（1,

3 (2)

x2 1 •-,0),

X (-二

k) (k,：：)

y 0 x (-k , 0)

(-k,o), (0,k)

1 4x2 -1

二 4x ―一 二 --- 定义域为（0 , r ）

(1 ,：：)时 y 0

2

（亏1八

(0, k) y ：： 0

1

x (0 匸)y ：： 0

【例4】略，注意强调学生的步骤完整性 【例5】1、C 2、A

1

2 x (㊁，：：)y 0

【例6】分析：(1)分析x= ± 1处的极值情况，关键是分析

(2)要分清点A( 0，16)是否在曲线上.

x= ± 1左右「( x)的符号.

” 2

解：(1) f \"(x)=3ax2+2bx— 3,依题意，f \" (1) = f \" (- 1) =0，即』 解得 a=1, b=0.

福+213-3=0,

ga_2b_3 = 0.

/• f (x) =x3— 3x, f (x) =3x2 — 3=3 (x+1) ( x— 1).

令 f (x) =0,得 x=— 1, x=1.

若 x €( — s, — 1 )U( 1 , + a),则「( x)> 0,

故f (x)在(— a, — 1)上是增函数，f (乂)在(1 , +a)上是增函数. 若 x€ (— 1, 1),则 f (x)v 0，故 f (x)在(一1, 1) 上是减函数. 所以f (— 1) =2是极大值，f (1) = — 2是极小值.

(2)曲线 y=x3 — 3x,点 A (0, 16)不在曲线上，设切点 M (x°, y°),贝U y°=X03— 3x. T f

( X。)=3XQ2 — 3,

切线方程为 y— y°=3 (X。2— 1) ( x— x°).

2— 13+3X0=3 (x°代入 A (0, 16)得 16 — X°)( 0— x0).

解得 X0= — 2,.・.M (— 2, — 2),切线方程为 9x— y+16=0.

评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键 【例7】解：函数f

x的增减变化如下表:

x 厂(x) (4,1) 1 + 0 (1,2) 2 - 0 (2,址) + f (x)

极 大 极 小 (1) f x在x=1处由增变减，故 f 1为极大值，即x0=1.

(2) 由于 f x 二 3ax2 2bx c,

f 1 j=o Hb • c =5

3a • 2b c =0 a =2 |c =12

f ' 2 =0= 12a 4b c =0= b - _9 J f 1 =5 | a

【例8 】解：f'(x) =3x2+2ax+b.据题意，—1, 3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定

理得

一1 3 - 一空

3 -1 3 = b

3

--a= 一 3, b= 一 9 ••• f (x) =x3 — 3x2— 9x+c •/ f (— 1) =7,• c=2

极小值 f (3) =33— 3X32— 9X3+2= — 25

•极小值为—25, a= — 3, b= — 9, c=2

【例9 】解：(1) f (x^ ax4 bx2 c的图象经过点(0,1)，则c=1 ,

'

3

'

f (x)二 4ax 2bx, k = f (1) = 4a 2b = 1,

切点为(1,-1)，则f(x)二ax4

bx2 c的图象经过点(1,-1)

5 9

得 a b c - _1，得 a=_,b = __

2 2

fx

()誇\"lx2

'

3

(2) f(x)=10x3

于0),(

< x < 0,或 x 匹 10 10

单调递增区间为(

10

10

,

【10】(1) A 例

(2) (q , 0]

11】解：⑴由条件知x = 0是函数

f x 二3ax2「2x b，令 f 0 =0，得 b = 0.

⑵已求 b=0, • f'(x)=3ax2 —2x.令 f'(x)=0，得 x = 0Z .由条件知 x = 0 '3a 为极大值点，则 x =—应为极小值点.又知曲线在区间(0, 4)上是减函数.

3a

2

-4,

6a-1 3a

3a

【例12】解：由2=(覇,_1),J=(1，f)得朗=0,询=2询=1

[,(t2 -3),[(汗；tb^ 0, -ka2 t'lf _ k(t2 _ 3)舌岸 t(t2 一3诂2 二 0

-4k t3

-3t=0,k (t-3t), f(t) (t-3t)

3 1 3 1 3

4 4

' 3 2 3 /口 3 2 3 / 口

f (t) t2 0,得仁：-1,或t 1；t2

0,得-14 4 4 4

：t：：1

所以增区间为(_二，一1),(1,=)；减区间为(_1,1)。

三、 课堂演练:

1.若曲线y=f (x)在点(X0, f (冷))处的切线方程为 2x— y— 1=0，则 A. f' (X。)>0 B . f' (x) <0 C . f' (x) =0 D. f' (X。)不存在

2.函数 2 1 3

f(x) =2x2

x3在区间[0,6]上的最大值是(

3

32

B .16

—3

C. 12

3•函数 y=x3

— 3x的极大值为m,极小值为 n,贝U m+n为

3 2

4.已知函数f (x) = x ax ■ 3x -9在x = -3时取得极值，则实数

a的值是(

C. 4

3

j|_JI

5.在函数y二x -8x的图象上，其切线的倾斜角小于 一的点中,

坐标为整数的点的个数是4

3

6.三次函数y=f (x) =ax +x在x€(—汽+〜 内是增函数，则

A . a>0

B . a<0 C . a=1

a=_

1 3

7.与直线2x— 6y+1=0垂直，且与曲线 y=x3+3x2— 1相切的直线方程是

8.已知 a 为实数，f (x) =(x2 -4)(x - a)。

⑴求导数f (x)；

⑵若f (-1) =0，求f(x)在［—2, 2］上的最大值和最小值;

⑶若f (x)在(―汽—2)和［2 , +R］上都是递增的，求 a的取值范围 1-6AAADAA , 7.3x+y+2=0

()

8.解：⑴由原式得 f(x)二 x -ax -4x 4a, ••• f (x) = 3x -2ax-4.

3 2 2

f1

0

2

4 3

1 2 1 2 ⑵由 f ( 一1) = 0 得 a 2

), f (x) = 3x - x - 4.

，此时有 f (x) = (x2 - 4)(x2

由 (-) - 得 x =—或 x=-1 ,

50 9

又 f(3)=-石，f(-1)n‘f(-2)=0,f (2) =0,

3 2 7 2

9

所以f(x)在［—2,2］上的最大值为一，最小值为

4

50 27

2

⑶解法一 ：f (x) =3x2 -2ax -4的图象为开口向上且过点(0, — 4)的抛物线，由条件 得 f ( -2) _ 0, f (2) _ 0,

所以a的取值范围为[—2,2].

2

解法二：令f（X）= 0即3x - 2ax - 4二0,由求根公式得

人,2

a±Ja2 +12 “ 、

- （x「： X2）

3

所以f（X）= 3x2 -2ax -4.在1.-匚七x1】和〔x2,=：上非负. 由题意可知，当 x三2或x时，f （x） > 0, 从而 X1^2, X2W 2,

a . a

2

亠 12 ；a 亠 6 即 a

:

12a 6

-

解不等式组得—2w aw 2.

2

12 岂6 -a.

• a的取值范围是［—2,2］.

四、课堂小结:

导数是高中数学中重要的内容， 是解决实际问题的强有力的数学工具， 样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、

运用导数的有关

运算及导数的应用，也经常以解答

题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值。

知识点需要熟悉，但是更重要的是掌握其本质，并能灵活应用于各种题型。

五、课下作业：

1、函数y= x3+ x的递增区间是（

）

A. (0, ：：) C.(」：，：：)

B. (v,1) D. (1,：：)

)

2、f (x)二 ax3 • 3x2 • 2，若 f'(-1) = 4 则 a 的值等于(

A .翌

3

16 B.— 3

13

C.

3

D .

10 3

) D. 0

3

函数y =x -4x 3在区间 、

1-2,3 ］上的最小值为

（

C. 12

A. 72 B. 36

43

处的切线倾斜角为 曲线y -x —'4x 在点(1,-3) 、

3 2 5

、 函数y = =x + x —5x -5的单调递增区间是

3

答案：1、C; 2、D; 3、D;

4、 ^ ；

5

5、（」：， ）,（1,”4'）

4 3