2000年全国高考理科数学试题及其解析范文

数学(理工农医类)

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 设集合A和B都是自然数集合N，映射f:AB把集合A中的元素n映射到 集合B中的元素2nn，则在映射f下，象20的原象是 A．2

B．3

C． 4

( ) D． 5

2. 在复平面内，把复数33i对应的向量按顺时针方向旋转

，所得向量对应的 3复数是 （ ） A．23

B．23i

C．33i

D．33i

3. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体对角 线的长是 ( ) A．23

B．32

C． 6

D．6

4．已知sinsin，那么下列命题成立的是 A．若、是第一象限角，则coscos B．若、是第二象限角，则tgtg C．若、是第三象限角，则coscos D．若、是第四象限角，则tgtg

( )

5．函数yxcosx的部分图像是 ( )

6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额 不超过500元的部分 超过500元至2000元的部分 超过2000元至5000元的部分 … 税率 5% 10% 15% … 某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( ) A．800~900元

B．900~1200元 C．1200~1500元

D．1500~2800元

7．若ab1，P=lgalgb，Q=

ab1lgalgb，R=lg，则 ( )

22 C． Q PR

D． P RQ ( )

A．RPQ B．PQ R

8．以极坐标系中的点1 , 1为圆心，1为半径的圆的方程是

A．2cos

4C． 2cos1

B．2sin

4D． 2sin1

9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是 ( )

A．

12 2 B．

14 4 C．

12 D．

14 210．过原点的直线与圆x2y24x30相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )

A．y3x B．y3x

C． y33x D． yx 3311．过抛物线yax2a0的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与 FQ的长分别是p、q，则A．2a

B．

11等于 pq

C． 4a

D．

( )

1 2a4 a

12．如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分

成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为 ( ) A．arccos13212 B．arccos

12C． arccos D． arccos142

第II卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．

13． 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答) x2y214． 椭圆1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P

94横坐标的取值范围是________ 2215． 设an是首项为1的正项数列，且n1an1nanan1an0(n=1，2，3，…)，

则它的通项公式是an=_______ 16． 如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都填上) ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (本小题满分12分)已知函数y13cos2xsinxcosx1，xR． 22(I) 当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

(II) 该函数的图像可由ysinxxR的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

18． (本小题满分12分)

如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且

C1CB=C1CD=BCD=60．

(I) 证明：C1C⊥BD； (II) 假定CD=2，CC1=

3，记面C1BD为，面CBD为，求二面2角 BD的平面角的余弦值； (III) 当

19． (本小题满分12分)

设函数fxx21ax，其中a0． (I) 解不等式fx1；

(II) 求a的取值范围，使函数fx在区间0,上是单调函数．

20． (本小题满分12分)

(I) 已知数列cn，其中cn2n3n，且数列cn1pcn为等比数列，求常数p；

CD的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明． CC1bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，(II) 设an、证明数列cn不是等比数列．

21． (本小题满分12分)

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=ft；

写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=gt；

(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)

22． (本小题满分14分)

如图，已知梯形ABCD中AB2CD，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当心率e的取值范围．

23时，求双曲线离342000年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．

(1)C (2)B (3)D (4)D (5)D (6)C (7)B (8)C (9)A (10)C (11)C (12)D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．

(13)252 (14)－三．解答题

(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．

解：(Ⅰ) y=

35x35 (15)

1 (16)②③ n312

cosx＋sinxcosx＋1

22=

311(2cos2x－1)＋＋(2sinxcosx)＋1

44431515cos2x＋sin2x＋=(cos2x·sin＋sin2x·cos)＋

4442466==

15sin(2x＋)＋ ——6分 246y取得最大值必须且只需

=＋2kπ，k∈Z， 62即 x=＋kπ，k∈Z．

62x＋

所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 {x|x=

＋kπ，k∈Z } ——8分 6，得到函数y=sin(x＋)的图像； 66(Ⅱ)将函数y=sinx依次进行如下变换： (i)把函数y=sinx的图像向左平移

(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的的图像；

1倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x＋)2611倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x22(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的＋

)的图像； 6(iv)把得到的图像向上平移

515个单位长度，得到函数y=sin(2x＋)＋的图像；综4246上得到函数y=

312

cosx＋sinxcosx＋1的图像． ——12分

22(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分． (Ⅰ)证明：连结A1C1、AC、AC和BD交于O，连结C1O．

∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，BD=CD．

又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C= C1C， ∴ △C1BC≌△C1DC ∴ C1B=C1D， ∵ DO=OB

∴ C1O⊥BD， ——2分 但AC⊥BD，AC∩C1O=O， ∴ BD⊥平面AC1， 又C1C平面AC1

∴ C1C⊥BD． ——4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC⊥BD，C1O⊥BD， ∴ ∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角．

HGB1C1D1A1BOADC3，∠BCC1=60º， 23313∴ C1B2=22＋()2－2×2××cos60º= ——6分

224在△C1BC中，BC=2，C1C=∵ ∠OCB=30º， ∴ OB=

1BC=1． 2∴C1O2= C1B2－OB2=∴ C1O=

1391， 443即C1O= C1C． 2作 C1H⊥OC，垂足为H． ∴ 点H是OC的中点，且OH=

3， 2所以cos∠C1OC=

3OH=． ——8分 C1O3B1C1D1A1(Ⅲ)当

CD=1时，能使A1C⊥平面C1BD CC1证明一： ∵

CD=1， CC1HGB∴ BC=CD= C1C，

又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD， 由此可推得BD= C1B = C1D．

OADC∴ 三棱锥C－C1BD是正三棱锥． ——10分 设A1C与C1O相交于G．

∵ A1 C1∥AC，且A1 C1∶OC=2∶1， ∴ C1G∶GO=2∶1．

又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线， ∴ 点G是正三角形C1BD的中心， ∴ CG⊥平面C1BD．

即A1C⊥平面C1BD． ——12分 证明二：

由(Ⅰ)知，BD⊥平面AC1，

∵ A1 C平面AC1，∴BD⊥A1 C． ——10分 当

CD=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形， CC1同BD⊥A1 C的证法可得BC1⊥A1C，

又BD⊥BC1=B，

∴ A1C⊥平面C1BD． ——12分 (19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．

解：(Ⅰ)不等式f(x) ≤1即

x21≤1＋ax，

由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a＞0． 所以，原不等式等价于

x21(1ax)2,x0. 即x0,(a21)x2a0. 所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0x2a1a2}； 当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}． (Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x1、x2，使得x1＜x2． f(x1)－f(x2)=x2211 －x21－a(x1－x2) =

x2x212x22－a(x1－x2)

11x21 =(x1－xx2)(

1x2x21x2－a)． 121(ⅰ)当a≥1时 ∵

x1x2x21x2<1

121∴

x1x2x21x2－a<0，

121又x1－x2<0， ∴ f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)．

——3分 ——6分 ——8分

所以，当a≥1时，函数f(x)在区间[0,)上是单调递减函数． ——10分 (ii)当02a，满足f(x1)=1，f(x2)=1，即21af(x1)=f(x2)，所以函数f(x)在区间[0,)上不是单调函数．

综上，当且仅当a≥1时，函数f(x)在区间[0,)上是单调函数． ——12分 (20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分． 解：(Ⅰ)因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有 （cn+1－pcn）2=( cn+2－pcn+1)(cn－pcn－1)， 将cn=2n＋3n代入上式，得 [2n1+3n1－p(2n＋3n)]2

=[2n2+3n2－p(2n+1＋3n+1)]·[2n+3n－p(2n1＋3n1)]， ——3分 即[(2－p)2n+(3－p)3n]2

=[(2－p)2n+1+(3－p)3n+1][ (2－p)2n1+(3－p)3n1]， 整理得

－

－

＋

＋

－

－

＋

＋

1(2－p)(3－p)·2n·3n=0， 6解得p=2或p=3． ——6分 (Ⅱ)设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn． 为证{cn}不是等比数列只需证c2≠c1·c3．

事实上，c2=(a1p＋b1q)2=a1p2＋b1q2＋2a1b1pq， c1·c3=(a1＋b1)(a1 p2＋b1q2)= a1p2＋b1q2＋a1b1(p2＋q2)． 由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，

因此c2c1·c3，故{cn}不是等比数列． ——12分 (21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．

解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

22222220t200,300t，f(t)= ——2分

2t300,200t300;由图二可得种植成本与时间的函数关系为

g(t)=

1(t－150)2＋100，0≤t≤300． ——4分 200(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得 h(t)=f(t)－g(t)

121175tt，0t20020022即h(t)= ——6分

171025t2t，200t30022200当0≤t≤200时，配方整理得 h(t)=－

1(t－50)2＋100， 200所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100； 当2001(t－350)2＋100 200所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87．5． ——10分 综上，由100>87．5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——12分

(22)本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．

解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称． ——2分

依题意，记A(－c，0)，C(形的高．

由定比分点坐标公式得

c1，h)，E(x0, y0)，其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯h2cc2= (2)c， x0=

2(1)1y0h． 1x2y2c设双曲线的方程为221，则离心率e．

aba由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和ec代入双曲线方程得 ae2h24b21， ① e2222241h1b21． ② 由①式得 h2e2b241， ③ 将③式代入②式，整理得

e244412，故

13e22． 由题设2334得，23133e224．

解得7e10．

所以双曲线的离心率的取值范围为[7，10]． ——7分 ——10分 ——14分