函数三要素题型总结
1.求定义域
*解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式： (1)自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
(2)型：指命题的条件或人为对自变量x的，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种比较隐蔽，容易犯错误；
(3)实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。 求函数定义域方法 (1)分式的分母不为0 （2）偶次根式内大于等于0 （3）0无意义
（4）实际问题实际考虑
（5）复合函数定义域：f[g(x)]是f(u)与U=g(x)复合 ^f不变，括号内范围不变 ^定义域 例题
0
例1 求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足
由①解得 由②解得
或
且 或
③ ④
或x>5。
③和④求交集得
故所求函数的定义域为
例2 求函数的定义域
解：要使函数有意义，则必须满足由①解得由②解得
④
③
由③和④求公共部分，得故函数的定义域为 2.求值域 求函数值域方法
（1）观察法 （2）配方法 （3）单调性法 （4）换元法 （5）分离常数法 （6）判别式法 例题
（1）求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种
（2）已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。
点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。 点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值
（3）求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。
点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其而可确定函数的值域。 （4）求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t=√2x+1 （t≥0）,则 x=1/2(t2-1)。
于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种思想方法。它的应用十分广泛。
3.求f(x) 求f(x)方法
（1）换元法 （2）待定系数法 （3）构造方程组 例题
