一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B．2 C．﹣0.5 D．﹣2
2．（3分）下列各种图形中，可以比较大小的是（ ） A．两条射线
B．两条直线
C．直线与射线 D．两条线段
3．（3分）下列代数式中，是4次单项式的为（ ） A．4abc B．﹣2πxy C．xyz D．x+y+z
2
2
4
4
4
4．（3分）已知一组数据：5，7，4，8，6，7，2，则它的众数及中位数分别为（ ）
A．7，8 B．7，6 C．6，7 D．7，4
5．（3分）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ） A．x﹣1=0 B．x=0 C．x+4=0 D．﹣x+3=0
6．（3分）平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则直线a、c的位置关系是（ ）
2
2
2
2
A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上都不对
7．（3分）某同学参加数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是93分，其中数学97分，化学89分，那么物理成绩是（ ）
A．91分 B．92分 C．93分 D．94分
8．（3分）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1=26°，则∠2的度数是（ ）
A．26° B．64°
C．54° D．以上答案都不对 9．（3分）在反比例函数y=
的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0
＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是（ ） A．m＞0
B．m＜0
C．m＞ D．m＜
10．（3分）如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为（ ）
A．
B． C．tanα D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED= °．
12．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是 三角形．
13．（3分）若a•a=a，则m= ．
14．（3分）已知，如图，△ABC中，∠A+∠B=90°，AD=DB，CD=4，则AB= ．
3
m
9
15．（3分）化简： = ．
16．（3分）如图，点C、D在线段AB上，且CD是等腰直角△PCD的底边．当△PDB∽△ACP时（P与A、B与P分别为对应顶点），∠APB= °．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
17．（9分）解方程组：
．
18．（9分）AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且BE=DF． 求证：△ACE≌△ACF．
19．（10分）在一个纸盒里装有四张除数字以外完全相同卡片，四张卡片上的数字分别为1，2，3，4．先从纸盒里随机取出一张，记下数字为x，再从剩下的三张中随机取出一张，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）． （1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标； （2）求点P（x，y）在函数y=﹣x+4图象上的概率．
20．（10分）如图，一条直线分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y=（m≠0）位于第二象限的一支于C点，OA=OB=2． （1）m= ；
（2）求直线所对应的一次函数的解析式；
（3）根据（1）所填m的值，直接写出分解因式a+ma+7的结果．
2
21．（12分）如图，△ABC中，D为BC边上的点，∠CAD=∠CDA，E为AB边的中点．
（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连结EF，EF与BC是什么位置关系？为什么？ （3）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．
22．（12分）我国实施的“一带一路”战略方针，惠及沿途各国．中欧班列也已融入其中．从我国重庆开往德国的杜伊斯堡班列，全程约11025千米．同样的货物，若用轮船运输，水路路程是铁路路程的1.6倍，水路所用天数是铁路所用天数的3倍，列车平均日速（平均每日行驶的千米数）是轮船平均日速的2倍少49千米．分别求出列车及轮船的平均日速．
23．（12分）如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在OA=4．
（1）∠COD= °； （2）求弦AD的长；
上，且
=2
，
（3）P是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．
（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）
24．（14分）二次函数y=x+px+q的顶点M是直线y=﹣
2
和直线y=x+m的交点．
2
（1）若直线y=x+m过点D（0，﹣3），求M点的坐标及二次函数y=x+px+q的解析式；
（2）试证明无论m取任何值，二次函数y=x+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；
（3）在（1）的条件下，若二次函数y=x+px+q的图象与y轴交于点C，与x的右交点为A，试在直线y=﹣
上求异于M的点P，使P在△CMA的外接圆上．
2
2
25．（14分）已知，如图，△ABC的三条边BC=a，CA=b，AB=c，D为△ABC内一点，且∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°，DA=u，DB=v，DC=w． （1）若∠CBD=18°，则∠BCD= °；
（2）将△ACD绕点A顺时针方向旋转90°到△AC'D'，画出△AC'D'，若∠CAD=20°，求∠CAD'度数；
（3）试画出符合下列条件的正三角形：M为正三角形内的一点，M到正三角形三个顶点的距离分别为a、b、c，且正三角形的边长为u+v+w，并给予证明．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B．2 C．﹣0.5 D．﹣2
【解答】解：﹣的相反数是， 故选：A．
2．（3分）下列各种图形中，可以比较大小的是（ ） A．两条射线
B．两条直线
C．直线与射线 D．两条线段
【解答】解：A、射线没有长度，无法比较，故此选项错误； B、直线没有长度，无法比较，故此选项错误； C、直线与射线没有长度，无法比较，故此选项错误； D、两条线段可以比较大小． 故选：D．
3．（3分）下列代数式中，是4次单项式的为（ ）
A．4abc B．﹣2πx2
y C．xyz2
D．x4
+y4
+z4
【解答】解：xyz2
是4次单项式， 故选C．
4．（3分）已知一组数据：5，7，4，8，6，7，2，则它的众数及中位数分别为（A．7，8 B．7，6 C．6，7 D．7，4
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2、4、5、6、7、7、8， 则众数为：7， 中位数为：6． 故选：B．
5．（3分）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（ ）A．x2
﹣1=0 B．x2
=0 C．x2
+4=0 D．﹣x2
+3=0 【解答】解：A、方程x2
﹣1=0的解为x=±1； B、方程x2
=0的解为x=0；
C、由方程x2
+4=0可得x2
=﹣4，方程无解； D、方程﹣x2+3=0的解为x=±，
故选：C．
）
6．（3分）平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则直线a、c的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上都不对
【解答】解：∵a⊥b，b⊥c， ∴a∥b， 故选B．
7．（3分）某同学参加数学、物理、化学三科竞赛平均成绩是93分，其中数学97分，化学89分，那么物理成绩是（ ） A．91分
B．92分
C．93分
D．94分
【解答】解：物理成绩是：93×3﹣97﹣89=93（分）． 故选：C．
8．（3分）如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1=26°，则∠2的度数是（ ）
A．26° B．64°
C．54° D．以上答案都不对
【解答】解：∵∠1=26°，∠DOF与∠1是对顶角， ∴∠DOF=∠1=26°， 又∵∠DOF与∠2互余， ∴∠2=90°﹣∠DOF =90°﹣26°=64°． 故选B．
9．（3分）在反比例函数y=
的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0
＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是（ ） A．m＞0
B．m＜0
C．m＞ D．m＜
【解答】解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2， ∴反比例函数图象在第一，三象限， ∴1﹣3m＞0， 解得：m＜． 故选D．
10．（3分）如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且夹角为α，则重叠部分的面积为（ ）
A． B． C．tanα D．1
【解答】解：如图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∵纸条宽度都为1， ∴AE=AF=1，
∵平行四边形的面积=BC•AE=CD•AF，∴BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形． ∴BC=AB， ∵
=sinα，
∴BC=AB==，
∴重叠部分（图中阴影部分）的面积=BC×AE=故选：A．
×1=．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）如图，点D、E分别是△ABC的边AC、BC上的点，AD=DE，AB=BE，∠A=80°，则∠BED= 80 °．
【解答】解：在△ABD与△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD， ∴∠BED=∠A=80°． 故答案为80．
12．（3分）△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是 直角 三角形．
【解答】解：由△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，得
∠A+∠B=90°， 故答案为：直角．
13．（3分）若a3
•am
=a9
，则m= 6 ． 【解答】解：由题意可知：3+m=9， ∴m=6， 故答案为：6
14．（3分）已知，如图，△ABC中，∠A+∠B=90°，AD=DB，CD=4，则
【解答】解：∵如图，△ABC中，∠A+∠B=90°， ∴∠ACB=90°． ∵AD=DB，
∴CD是该直角三角形斜边AB上的中线， ∴AB=2CD=8． 故答案是：8．
15．（3分）化简：
= x+y+2 ．
AB= 8 ．
【解答】解：原式=
==x+y+2．
，
故答案为：x+y+2．
16．（3分）如图，点C、D在线段AB上，且CD是等腰直角△PCD的底边．当△PDB∽△ACP时（P与A、B与P分别为对应顶点），∠APB= 135 °．
【解答】解：∵△PDB∽△ACP， ∴∠A=∠BPD，
∵CD是等腰直角△PCD的底边， ∴∠PCD=45°，∠CPD=90°，
由三角形的外角的性质得∠A+∠APC=∠PCD=45°，
∴∠APB=∠APC+∠PCD+∠BPD=∠APC+∠PCD+∠A=45°+90°=135°． 故答案为：135．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）解方程组：．
【解答】解：
①﹣②，得（x+2y）﹣（x﹣4y）=﹣5﹣7， 即6y=﹣12， 解得y=﹣2，
把y=﹣2代入②，可得：x﹣4×（﹣2）=7， 得x=﹣1， ∴原方程组的解为
18．（9分）AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且BE=DF． 求证：△ACE≌△ACF．
．
【解答】证明：∵AC是菱形ABCD的对角线， ∴∠FAC=∠EAC， 在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS）．
19．（10分）在一个纸盒里装有四张除数字以外完全相同卡片，四张卡片上的数字分别为1，2，3，4．先从纸盒里随机取出一张，记下数字为x，再从剩下的三张中随机取出一张，记下数字为y，这样确定了点P的坐标（x，y）． （1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标； （2）求点P（x，y）在函数y=﹣x+4图象上的概率． 【解答】解：（1）树状图如下：
点P所有可能的坐标有：（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，3），（2，4）， （3，1），（3，2），（3，4），
（4，1），（4，2），（4，3）共12种；
（2）∵共有12种等可能的结果，其中在函数y=﹣x+4图象上的点有2个，即（1，3），（3，1），
∴点P（x，y）在函数y=﹣x+4图象上的概率为：P（点在图象上）=
=．
20．（10分）如图，一条直线分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y=（m≠0）位于第二象限的一支于C点，OA=OB=2． （1）m= ﹣8
；
（2）求直线所对应的一次函数的解析式；
（3）根据（1）所填m的值，直接写出分解因式a+ma+7的结果．
2
【解答】解：（1）m=﹣2×4=﹣8； （2）∵OA=OB=2，
∴A、B点的坐标分别为A（2，0）、B（0，2）， 设直线所对应的一次函数的解析为y=kx+b， 分别把A、B的坐标代入其中，得
，
解得．
∴一次函数的解析为y=﹣x+2； （3）由（1）m=﹣8， 则a+ma+7 =a﹣8m+7
22
=（a﹣1）（a﹣7）． 故答案为：﹣8．
21．（12分）如图，△ABC中，D为BC边上的点，∠CAD=∠CDA，E为AB边的中点．
（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）（2）连结EF，EF与BC是什么位置关系？为什么？ （3）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．
【解答】解：（1）如图，射线CF即为所求；
（2）EF∥BC． ∵∠CAD=∠CDA，
∴AC=DC，即△CAD为等腰三角形； 又CF是顶角∠ACD的平分线，
∴CF是底边AD的中线，即F为AD的中点，
； ∵E是AB的中点， ∴EF为△ABD的中位线， ∴EF∥BD，从而EF∥BC；
（3）由（2）知EF∥BC， ∴△AEF∽△ABD， ∴
，
又∵AE=AB，
∴得=，
把S四边形BDFE=9代入其中，解得S△AEF=3， ∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE=3+9=12， 即△ABD的面积为12．
22．（12分）我国实施的“一带一路”战略方针，惠及沿途各国．中欧班列也已融入其中．从我国重庆开往德国的杜伊斯堡班列，全程约11025千米．同样的货物，若用轮船运输，水路路程是铁路路程的1.6倍，水路所用天数是铁路所用天数的3倍，列车平均日速（平均每日行驶的千米数）是轮船平均日速的2倍少49千米．分别求出列车及轮船的平均日速．
【解答】解：设轮船的日速为x千米/日， 由题意，得
×3=
，
解此分式方程，得x=392，
经检验，x=392是原分式方程的解， 2x﹣49=735．
答：列车的速度为735千米/日；轮船的速度为392千米/日．
23．（12分）如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在OA=4．
（1）∠COD= 30 °； （2）求弦AD的长；
（3）P是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．
上，且=2，
（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）
【解答】解：（1）∵OA⊥OC， ∴∠AOC=90°， ∵
=2
，
∴∠AOD=2∠COD， ∴∠COD=∠AOC=30°， 故答案为：30；
（2）连结OD、AD，如图1所示： 由（1）知∠AOD=2∠COD=2×30°=60°， ∵OA=OD，
∴△AOD为等边三角形， ∴AD=OA=4；
（3）过点D作DE⊥OC，交⊙O于点E，连结AE，交OC于点P，则此时，值最小，
延长AO交⊙O于点B，连结BE，如图2所示： ∵根据圆的对称性，点E是点D关于OC的对称点， OC是DE的垂直平分线， 即PD=PE，
∴AP+PD最小值=AP+PE=AE， ∵∠AED=∠AOD=30°， 又∵OA⊥OC，DE⊥OC，
AP+PD的∴OA∥DE，
∴∠OAE=∠AED=30°， ∵AB为直径，
∴△ABE为直角三角形，由即AP+PD=
，
=cos∠BAE，AE=AB•cos30°=2×4×
=
，
24．（14分）二次函数y=x+px+q的顶点M是直线y=﹣
2
和直线y=x+m的交点．
2
（1）若直线y=x+m过点D（0，﹣3），求M点的坐标及二次函数y=x+px+q的解析式；
（2）试证明无论m取任何值，二次函数y=x+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；
（3）在（1）的条件下，若二次函数y=x+px+q的图象与y轴交于点C，与x的右交点为A，试在直线y=﹣
上求异于M的点P，使P在△CMA的外接圆上．
2
2
【解答】解：（1）把D（0，﹣3）坐标代入直线y=x+m中， 得m=﹣3，从而得直线y=x﹣3， 由M为直线y=﹣
与直线y=x﹣3的交点，
得，
解得，，
∴得M点坐标为M（2，﹣1）， ∵M为二次函数y=x+px+q的顶点， ∴其对称轴为x=2， 由对称轴公式：x=﹣∴p=﹣4； 由
=﹣1，
，得﹣=2，
2
=﹣1，
解得，q=3．
∴二次函数y=x+px+q的解析式为：y=x﹣4x+3；
2
2
（2）∵M是直线y=﹣和y=x+m的交点，
∴，
解得，，
∴M点坐标为M（﹣，），
∴﹣=﹣、=，
解得，p=，q=+，
由
2
，得x+（p﹣1）x+q﹣m=0，
2
△=（p﹣1）﹣4（q﹣m） =（
﹣1）﹣4（
22
+﹣m）=1＞0，
∴二次函数y=x+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；
（3）由（1）知，二次函数的解析式为：y=x﹣4x+3， 当x=0时，y=3．
∴点C的坐标为C（0，3）， 令y=0，即x﹣4x+3=0， 解得x1=1，x2=3，
∴点A的坐标为A（3，0）， 由勾股定理，得AC=3
．
2
2
∵M点的坐标为M（2，﹣1），
过M点作x轴的垂线，垂足的坐标应为（2，0），
由勾股定理得，AM=，
过M点作y轴的垂线，垂足的坐标应为（0，﹣1）， 由勾股定理，得CM=∵AC+AM=20=CM， ∴△CMA是直角三角形， CM为斜边，∠CAM=90°． 直线y=﹣
与△CMA的外接圆的一个交点为M，另一个交点为P，
2
2
2
==2．
则∠CPM=90°．即△CPM为Rt△， 设P点的横坐标为x，则P（x，﹣
）．过点P作x轴垂线，
过点M作y轴垂线，两条垂线交于点E，则E（x，﹣1）． 过P作PF⊥y轴于点F，则F（0，﹣在Rt△PEM中，PM=PE+EM =（﹣
+1）+（2﹣x）=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
）．
﹣5x+5．
2
在Rt△PCF中，PC=PF+CF=x+（3+）
=+3x+9．
2
2
2
在Rt△PCM中，PC+PM=CM， 得
+3x+9+
﹣5x+5=20，
化简整理得5x﹣4x﹣12=0， 解得x1=2，x2=﹣．
当x=2时，y=﹣1，即为M点的横、纵坐标． ∴P点的横坐标为﹣，纵坐标为，
2
∴P（﹣，）．
25．（14分）已知，如图，△ABC的三条边BC=a，CA=b，AB=c，D为△ABC内一点，且∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°，DA=u，DB=v，DC=w． （1）若∠CBD=18°，则∠BCD= 42 °；
（2）将△ACD绕点A顺时针方向旋转90°到△AC'D'，画出△AC'D'，若∠CAD=20°，求∠CAD'度数；
（3）试画出符合下列条件的正三角形：M为正三角形内的一点，M到正三角形三个顶点的距离分别为a、b、c，且正三角形的边长为u+v+w，并给予证明．
【解答】解：（1）在△BCD中，∠BDC=120°，∠CBD=18°， 根据三角形的内角和得，∠BCD=180°﹣∠BDC﹣∠CBD=42°， 故答案为42，
（2）画图如图1所示， 由旋转知∠DAD'=90°， ∵∠CAD=20°，
∴∠CAD'=∠DAD'﹣∠CAD=90°﹣20°=70°；
（3）画图如图2，
将△BDC绕点B按逆时针方向旋转60°， 到△BEF的位置． 连结DE，CF，
由旋转可知，△BDE和△BCF均为等边三角形， ∴DE=v，CF=a．
∵∠ADB=120°，∠BDE=60°， 即∠ADE=180°，
则A、D、E三点共线（即该三点在同一条直线上）． 同理，∵∠BEF=∠BDC=120°，∠BED=60°， 即∠DEF=180°，则D、E、F三点共线， ∴A、D、E、F四点均在一条直线上． ∵EF=DC=w， ∴线段AF=u+v+w．
以线段AF为边在点B一侧作等边△AFG，
则△AFG即为符合条件的等边三角形，其中的点B即为点M． 正三角形的边长为u+v+w已证，BA=c，BF=BC=a， 下面再证BG=b． ∵∠CFB=∠AFG=60°，
即∠1+∠EFB=∠2+∠EFB=60°， ∴∠1=∠2．
在△AFC和△GFB中， ∵FA=FG，∠1=∠2，FC=FB， ∴△AFC≌△GFB（SAS）， ∴AC=GB，即BG=CA=b．
从而点B（M）到等边△AFG三个顶点的距离分别为a、b、c， 且其边长为u+v+w．
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