2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：四边形综合(三)

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：

四边形综合（三）

1．问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是： ； （2）AD的取值范围是 ； 方法运用：

（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC． （4）如图3，在矩形ABCD中，且

＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，

＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．

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1

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2．点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点． （1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是 ；

（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？

（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探究线段CF、AE、

OE之间的关系．

3．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；

（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；

（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求

的值．

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4．在正方形ABCD中，线段EF交对角线AC于点G．

（1）如图1，若点E、F分别在AB、CD边上，且AE＝CF，求证：FG＝EG；

（2）如图2，若点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF．（1）中结论是否依然成立？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，连结DG并延长交BC于点H，若BH＝5，BE＝12．求正方形ABCD的面积．

5．如图1，将矩形OABC放在直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，OA＝4，OC＝8．把矩形OABC沿对角线OB所在直线翻折，点C落到点D处，OD交AB于点E． （1）求点E坐标．

（2）如图2，过点D作DG∥BC，交OB于点G，交AB于点H，连接CG，试判断四边形BCGD的形状，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，点M是坐标轴上一点，直线OB上是否存在一点N，使以O、D、

M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明

理由．

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6．如图①，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P、Q是对角线BD上的两个动点，点P从点D出发沿BD方向以1cm/s的速度向点B运动，运动终点为B；点Q从点B出发沿着BD的方向以2cm/s的速度向点D运动，运动终点为D．两点同时出发，设运动时间为x（s），以A、Q、C、P为顶点的图形面积为y（cm2），y与x的函数图象如图②所示，根据图象回答下列问题：

（1）BD＝ ，a＝ ；

（2）当x为何值时，以A、Q、C、P为顶点的图形面积为4

cm2？

（3）在整个运动的过程中，若△AQP为直角三角形，请直接写出符合条件的所有x的值： ．

7．在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A的路径运动，运动时间为t（秒）．以BE为边在矩形ABCD的内部作正方形BEHG．

（1）如图，当四边形ABCD为正方形且点H在△ABC的内部，连结AH，CH，求证：AH＝

CH；

（2）经过点E且把矩形ABCD面积平分的直线有 条；

（3）当AB＝9，BC＝12时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．

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8．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．

（1）如图①，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D、E．试说明△ABD≌△CAE：

（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、A、F在同一条直线上，BD⊥DF，

AD＝3，BD＝4．则菱形AEFC面积为 ；

（3）如图③，分别以Rt△ABC的直角边AC、AB向外作正方形ACDE和正方形ABFG，连接

EG，AH是△ABC的高，延长HA交EG于点I，若AB＝6，AC＝8，求AI的长度．

9．定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线的长一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．

（1）在下列图形中：①等腰梯形、②矩形、③菱形，是“等距四边形”的是 ．（填序号）

（2）如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，BE⊥CD于点E，点F是菱形ABCD边上的一点，顺次连接B、E、D、F，若四边形BEDF为“等距四边形”，求线段EF的长． （3）如图2，已知等边△ABC边长为4，点P是△ABC内一点，若过点P可将△ABC恰好分割成三个“等距四边形”，求这三个“等距四边形”的周长和．

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10．▱ABCD中，AE⊥BC于E，且AD＝AE．

（1）如图1，连结DE，过A作AF⊥AB交ED于F，在AB上截取AG＝AF，连结DG，点H为GD中点，连接AH，求证：4AH2+DF2＝2AF2；

（2）如图2，连结BD，把△ABD沿直线BD方向平移，得到△A′B′D′，若CD＝

，

EC＝2，求在平移过程中A'C+B'C的最小值．

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参

1．解：（1）∵AD是中线， ∴BD＝CD，

又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE， ∴△BED≌△CAD（SAS）， 故答案为：SAS； （2）∵△BED≌△CAD， ∴AC＝BE＝4，

在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴2＜2AD＜10， ∴1＜AD＜5， 故答案为：1＜AD＜5；

（3）如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，

∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD，

又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，

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∴△ADC≌△HDB（SAS）， ∴AC＝BH，∠CAD＝∠H， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠AFE， ∴∠H＝∠BFH， ∴BF＝BH， ∴AC＝BF；

（4）如图3，延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，

∵点G是DF的中点， ∴DG＝GF，

又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG， ∴△NGF≌△CGD（SAS）， ∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG， ∵

＝

，

＝，

∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝， ∴∠ADB＝∠EBF， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠EBF＝∠DBC， ∴∠EBC＝2∠DBC，

∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，

∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°， 又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，

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∴∠EFN＝2∠DBC， ∴∠EBC＝∠EFN， ∵＝

，且CD＝NF，

∴

∴△BEC∽△FEN， ∴∠BEC＝∠FEN， ∴∠BEF＝∠NEC＝90°， 又∵CG＝NG， ∴EG＝NC， ∴EG＝GC．

2．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，

又∵∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AOE＝∠COF， ∴△AEO≌△CFO（AAS）， ∴OE＝OF， 故答案为：OE＝OF； （2）补全图形如图所示，

结论仍然成立， 理由如下：

延长EO交CF于点G， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF， ∴∠EAO＝∠GCO， ∵点O为AC的中点，

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∴AO＝CO， 又∵∠AOE＝∠COG， ∴△AOE≌△COG（AAS）， ∴OE＝OG， ∵∠GFE＝90°， ∴OE＝OF；

（3）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF、AE、OE之间的关系为OE＝CF+AE， 证明如下：如图，延长EO交FC的延长线于点H，

由（2）可知△AOE≌△COH， ∴AE＝CH，OE＝OH，

又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°， ∴HF＝EH＝OE， ∴OE＝CF+CH＝CF+AE．

3．解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，

∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处， ∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°， ∵BC＝2AB， ∴BF＝2AB， ∴∠AFB＝30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，

∴∠AFB＝∠CBF＝30°，

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∴∠CBE＝∠FBC＝15°；

（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处， ∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF， 又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°， ∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°， ∴∠AFB＝∠DEF， ∴△FAB∽△EDF， ∴

，

∴AF•DF＝AB•DE， ∵AF•DF＝10，AB＝5， ∴DE＝2，

∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3， ∴EF＝3， ∴DF＝＝＝

，

∴AF＝

＝2

，

∴BC＝AD＝AF+DF＝2

＝3

． （3）过点N作NG⊥BF于点G，

∵NF＝AN+FD， ∴NF＝AD＝BC， ∵BC＝BF， ∴NF＝BF，

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∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°， ∴△NFG∽△BFA， ∴

，

设AN＝x，

∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF， ∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x， 设FG＝y，则AF＝2y， ∵AB2+AF2＝BF2，

∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2， 解得y＝x． ∴BF＝BG+GF＝2x+x＝

x．

∴＝．

4．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∴∠EAG＝∠FCG，

又∵∠FGC＝∠AGE，AE＝CF， ∴△CFG≌△AEG（AAS）， ∴FG＝EG；

（2）（1）中结论依然成立．

理由如下：

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如图2，过点E作EM⊥AB交AC于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB＝45°，∠ABC＝90°， ∴∠MAE＝∠AME＝45°， ∴AE＝EM， 又∵AE＝FC， ∴EM＝CF， ∵∠AEM＝∠ABC， ∴ME∥CF， ∴∠MEG＝∠GFC， 又∵∠MGE＝∠FGC， ∴△MEG≌△CFG（AAS）， ∴EG＝FG；

（3）解：如图3，连接DE，DF，EH，

∵正方形ABCD中，∠DAE＝∠DCB＝90°，DC＝AD，∴∠DAE＝∠DCF＝90°， 又∵AE＝CF，

∴△ADE≌△DCF（SAS）， ∴DE＝DF， 由（2）知EG＝GF， ∴DG⊥EF，

∴DH是EF的中垂线，

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∴EH＝FH， ∵BE＝12，BH＝5， ∴EH＝＝

＝13，

∴FH＝13，

设AE＝x，则CF＝x， ∴AB＝CB＝12+x， ∴CH＝7+x，

∴FH＝CF+CH＝x+7+x＝2x+7， ∴2x+7＝13， 解得x＝3， ∴AB＝15，

∴正方形ABCD的面积为225． 5．解：（1）如图1中，

∵四边形OABC是矩形， ∴AB＝OC＝8，AB∥OC， ∴∠ABO＝∠BOC，

由翻折可知，∠BOC＝∠BOD， ∴∠EOB＝∠EBO，

∴EO＝BE，设AE＝x，则EB＝EO＝8﹣x， 在Rt△OAE中，∵∠OAE＝90°， ∴OA2+AE2＝OE2， ∴42+x2＝（8﹣x）2，

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∴x＝3， ∴E（3，4）．

（2）如图2中，四边形BCGD是菱形．

∵DG∥BC， ∴∠DGB＝∠CBG，

由翻折的性质可知，∠CBG＝∠DBG，BC＝BD， ∴∠DGB＝∠DBG， ∴DG＝BD＝BC， ∵DG∥BC，

∴四边形BCGD是平行四边形， ∵BD＝BC，

∴四边形BCGD是菱形．

（3）当点N与G重合，点M与A重合，四边形DM1ON1是平行四边形，∵DH＝＝

， ∴EH＝＝＝，

∴AH＝3+＝， ∴D（

，

），N1（

，

），

当四边形ODN1M是平行四边形时，N1（，

）， 当四边形ODN2M2是平行四边形时，N2（

），

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当四边形ODM1N3是平行四边形时，N3（（﹣当四边形ODM4N4是平行四边形时，N4（﹣

，﹣，﹣

）， ）

综上所述，满足条件的点N的坐标为N1（﹣

），N4（﹣

，﹣

）．

，

），N2（

，

），N3（（﹣

，

6．解：（1）如图①中，连接AC交BD于点O．

由题意：点N的实际意义表示x＝3时，点Q运动到点D， ∴BD＝2×3＝6，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠ADB＝30°，OB＝OD＝3， ∴OA＝OC＝

，AB＝2AO＝2

，

＝6

．

∴S菱形ABCD＝×BD×AC＝×6×2∴a＝6

，

；

故答案为：6，6

（2）设x秒后P，Q相遇．则3x＝6，x＝2， ∴M（2，0），

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∴直线EM的解析式为：y＝﹣3当y＝4∵N（3，3

时，x＝， ），F（6，6

x+6，

），

∴直线NF的解析式为y＝当y＝4

时，x＝4，

x，

综上所述，满足条件的x的值为s或4s；

（3）a：当0≤x≤3时，PQ＝（6﹣3x）2，AQ2＝3+（3﹣2x）2，AP2＝3+（3﹣x）2， ①当∠PAQ＝90°时，PQ2＝AP2+AQ2， （6﹣3x）2＝3+（3﹣x）2+3+（3﹣2x）2， 解得x＝

或

（舍去），

②当∠APQ＝90°时，AP2+PQ2＝AQ2， 即3+（3﹣x）2+（6﹣3x）2＝3+（3﹣2x）2， 解得x＝2或x＝3，

③当∠AQP＝90°时，AP2＝PQ2+AQ2， 即3+（3﹣x）2＝（6﹣3x）2+3+（3﹣2x）2， 解得：x＝2（不合题意，舍去），x＝，

b：3＜x≤6时，此时Q已经到达终点，所以，AQ2＝（2

＝3+（x﹣3）2， 此时，∠AQP＝30°，

∴当∠APQ＝90°时，AQ2＝AP2+PQ2， 即12＝x2+3+（x﹣3）2， 解得：x＝3或0（舍去） 当∠PAQ＝90°时，PQ2＝AP2+AQ2， 即x2＝12+3+（x﹣3）2， 解得：x＝4，

综上所述，满足条件的x的值为

或或3或4，

）2＝12，此时PQ2＝x2，AP2

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故答案为：或或3或4．

7．（1）证明：∵四边形ABCD、四边形BEHG是正方形， ∴AB＝BC，BE＝BG＝EH＝GH，∠B＝∠BEH＝∠BGH＝90°， ∴AB﹣BE＝BC﹣BG，∠AEH＝∠CGH＝90°， ∴AE＝CG， 在△AEH和△CGH中，∴△AEH≌△CGH（SAS）， ∴AH＝CH；

（2）解：连接BD交AC于O，如图1所示： 作直线OE，则直线OE矩形ABCD面积平分， 即经过点E且把矩形ABCD面积平分的直线有1条， 故答案为：1； （3）解：分两种情况：

①如图2所示：连接AH交BC于M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴△ABC的面积＝△ADC的面积，

∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分， ∴△ABM的面积＝△ACM的面积， ∴BM＝CM＝BC＝6，

由题意得：BE＝BG＝EH＝GH＝t，则AE＝9﹣t，GM＝6﹣t， ∵△ABM的面积＝△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHM的面积， ∴×6×9＝x（9﹣t）+t2+t（6﹣t）， 解得：t＝

；

，

②如图3所示：连接AH交CD于M，交BC的延长线于K， ∵四边形ABCD是矩形，

∴∠MCK＝∠B＝∠D＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝12，CD＝AB＝9，△ABC的面积＝△ADC的面积，

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∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分， ∴△ADM的面积＝△ACM的面积， ∴DM＝CM＝CD＝，

在△KCM和△ADM中，，

∴△KCM≌△ADM（ASA）， ∴CK＝DA＝12， ∴BK＝BC+CK＝24，

由题意得：BE＝BG＝EH＝GH＝t，则AE＝9﹣t，GK＝24﹣t， ∵△ABK的面积＝△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHK的面积， ∴×24×9＝t（9﹣t）+t2+t（24﹣t）， 解得：t＝

；

综上所述，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，t的值为

或

．

8．（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°，

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∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90° ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD 在△ABD和△CAE中，，

∴△ABD≌△CAE（AAS）；

（2）解：连接CE，交AF于O，如图②所示： ∵四边形AEFC是菱形， ∴CE⊥AF，

∴∠COA＝∠ADB＝90°，

同（1）得：△ABD≌△CAO（AAS）， ∴OC＝AD＝3，OA＝BD＝4， ∴S△AOC＝OA•OC＝×4×3＝6， ∴S菱形AEFC＝4S△AOC＝4×6＝24， 故答案为：24；

（3）解：过E作EM⊥HI的延长线于M，过点G作GN⊥HI于N，如图③所示：∴∠EMI＝∠GNI＝90°，

∵四边形ACDE和四边形ABFG都是正方形， ∴∠CAE＝∠BAG＝90°，AC＝AE＝8，AB＝AG＝6，

同（1）得：△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS）， ∴EM＝AH＝GN， 在△EMI和△GNI中，， ∴△EMI≌△GNI（AAS）， ∴EI＝GI， ∴I是EG的中点，

∵∠CAE＝∠BAG＝∠BAC＝90°， ∴∠EAG＝90°，

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在Rt△EAG中，由勾股定理得：EG＝∵I是EG的中点， ∴AI＝EG＝×10＝5．

＝＝10，

9．解：（1）①等腰梯形对角线相等，但一条对角线的中点到另外两个顶点的距离的和大于另一条对角线，不符合题意；

②矩形的对角线相等且互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线的一半，符合题意；

③菱形的对角线互相平分，对角线不一定相等，因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线的一半，不符合题意； 故答案为：②；

（2）根据等距四边形的定义，

当点F在AD上且BF⊥AD时，四边形BFDE是等距四边形，如图1， 取BD的中点O，连接OF，OE，EF， ∵BF⊥AD，BE⊥DC， ∴∠BFD＝∠BED＝90°，

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∴OF＝OE＝BD，

∴四边形BFDE是等距四边形，

在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，AD∥BC， ∴∠C＝∠A＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠ABF＝∠CBE＝30°，

∴∠EBF＝∠ABC﹣∠ABF﹣∠CBE＝60°， 根据菱形的对称性得，BF＝BE， ∴△BEF是等边三角形， 在Rt△ABF中，∠ABF＝30°， ∴AF＝AB＝2， 根据勾股定理得，BF＝2∴EF＝BF＝2

，

，

当点F在AB上且DF⊥AB时，四边形DFBE是等距四边形，如图1﹣1， 连接BD，EF，交于点O， ∵DF⊥AB，DE⊥CD， ∴∠BFD＝∠BED＝90°， ∵AB∥CD，

∴∠FBE＝180°﹣∠BED＝90°， ∴∠BFD＝∠BED＝∠FBE， ∴四边形BFDE是矩形，

∴BD＝EF，在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°， ∴BD＝AB＝4， ∴EF＝4；

（3）过点P分别作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图2，

同（2）的方法得，四边形ADPF，四边形BEPD，四边形ECFP是等距四边形，过点A作AG⊥BC于G，

在Rt△ABG中，∠ABC＝60°，AB＝4， ∴∠BAG＝30°，

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∴BG＝AB＝2， 根据勾股定理得，AG＝2

，

＝4，

， ，

∴S△ABC＝BC•AG＝×4×2∴S△ABC＝S△APB+S△BPC+S△APC＝4

∴（AB•PD+BC•PE+AC•PF）＝4∵AB＝BC＝AC＝4， ∴PD+PE+PF＝2

∴四边形ADPF，四边形DBEP，四边形PEFC的周长的和为AB+BC+AC+2（PD+PE+PF）＝12+4

．

10．（1）证明：如图1中，延长AH交CD于T，连接EG，GF．

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ABCD是平行四边形， AB∥CD， AGH＝∠TDH， AHG＝∠THD，HG＝HD， AHG≌△THD（ASA）， AH＝TH，AG＝DT， AE⊥BC，AD∥BC， AE⊥AD， AF⊥AG， EAD＝∠GAF． GAE＝∠FAD， AD＝AE，AF＝AG， GAE≌△FAD（SAS）， DF＝GE，∠AEG＝∠ADE＝45°， AED＝45°， GEF＝90°， EG2+EF2＝FG2＝2AF2，

BAE+∠B＝90°，∠BAE+∠EAF＝90°， B＝∠EAF， B＝∠ADT， EAF＝∠ADT， AG＝AF，AG＝DT， AF＝DT，

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∵四边形∴∴∠∵∠∴△∴∵∴∵∴∠∴∠∵∴△∴∵∠∴∠∴∵∠∴∠∵∠∴∠∵∴初中数学精品教学

∵AE＝AD，

∴△EAF≌△ADT（SAS）， ∴EF＝AT＝2AH， ∴DF2+4AH2＝2AF2．

（2）如图2中，

∵A′B′＝CD，A′B′∥AB∥CD， ∴四边形A′B′CD是平行四边形， ∴A′D＝B′C，

∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值， ∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上， ∴作点D关于定直线的对称点E，

∵A′C+B′C＝A′C+A′D＝A′C+A′E≥CE，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值， 过点E作EH⊥BC于H，交AD于J，过点A作AT⊥BD于T，设DE交AA′于K，过点C作

CR⊥AD于R．

∵∠AEC＝∠EAR＝∠ARC＝90°， ∴四边形AECR是矩形， ∴AR＝EC＝2，设AE＝AD＝x，

在Rt△CRD中，则有x2+（x﹣2）2＝10， 解得x＝3或﹣1（舍弃）， ∴AD＝AE＝BC＝3，BE＝BC﹣EC＝1，

过点B作BQ⊥DA交DA的延长线于Q，则AQ＝BE＝1，DQ＝AQ+AD＝4，BQ＝AE＝3， ∴BD＝

＝

＝5，

∵S△ABD＝•BD•AT＝•AD•BQ， ∴AT＝，

∵四边形ATDK是矩形， ∴DK＝AT＝KD′＝， 在Rt△ADK中，AK＝

＝

＝

，

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∵S△ADE＝•AD•EJ＝•DE•AK， ∴EJ＝

，

在Rt△DJD′中，DJ＝＝

，

∴AJ＝EH＝AD﹣DJ＝3﹣＝，

∴CH＝EC﹣EH＝2﹣＝

， ∵EH＝EJ+JH＝

+3＝

，

在Rt△CEH中，CE＝＝

，∴A'C+B'C的最小值为

．

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