2021年北京中考数学一模分类——圆
参与试题解析
1．如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若tanE＝，BD＝1，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE＝∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，BC，根据圆周角定理得到∠BCE＝90°，推出∠BCD＝∠OCE，得到∠BCD＝∠E，根据三角函数的定义得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OE＝OC， ∴∠E＝∠OCE， ∵∠BOC＝∠E+∠OCE， ∴∠BOC＝2∠E， ∵∠ABE＝2∠E ∴∠ABE＝∠BOC， ∴AB∥OC， ∵AB⊥CD， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：连接AC，BC， ∵BE是⊙O的直径，
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∴∠BCE＝90°， ∴∠OCE+∠OCB＝90°， ∵∠OCB+∠BCD＝90°， ∴∠BCD＝∠OCE， ∴∠BCD＝∠E，
∵∠A＝∠E，tanE＝，BD＝1， ∴
＝，
∴AD＝9， ∴AB＝8．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，CE＝EF． （1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）如果sinF＝，EF＝1，求AB的长．
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【分析】（1）连接OC，由FD⊥AB得到∠1+∠F＝90°，由等腰三角形的性质得到∠3＝∠F，∠1＝∠2，进而得到∠2+∠3＝90°，即∠ECO＝90°，由切线的判定可得CE是⊙O的切线；
（2）根据三角函数，设出AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，连接CB交FD于点G，由AB为⊙O直径，得到∠ACB＝∠FCB＝90°，推出∠F＝∠B，再根据边角关系得出结论． 【解答】（1）证明：如图1，连接OC， ∵FD⊥AB， ∴∠1+∠F＝90°， ∵CE＝EF，OA＝OC， ∴∠3＝∠F，∠1＝∠2， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠ECO＝90°， ∴OC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线；
（2）解：如图2 ∵FD⊥AB，sin∠F＝，
设AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k， ∵D为OB中点，
∴OD＝DB＝OB＝OA＝AD， ∴DB＝k，
连接CB交FD于点G， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝∠FCB＝90°， ∴∠F＝∠B， ∵DB＝k，
∴GD＝k，可得FG＝∵∠FCB＝90°，
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k，
∴∠5+∠F＝∠3+∠4， ∵∠F＝∠3， ∴∠4＝∠5， ∴CE＝EF＝EG， ∵EF＝1， ∴FG＝2， ∴
＝2，k＝
．
，
∴AB＝4k＝
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
3．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D平分劣弧
，连接BD，过点D作AC
的垂线EF，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F． （1）依题意补全图形；
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（2）求证：直线EF是⊙O的切线； （3）若AB＝5，BD＝3，求线段BF的长．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）欲证明DE是切线，只要证明OD⊥DE即可．
（3）设OJ＝x，利用勾股定理构建方程求出x，再利用平行线分线段成比例定理，求出OF，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：连接BC，OD，设OD交BC于J． ∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ECB＝90°， ∵
＝
，
∴OD⊥BC， ∴∠CJD＝90°， ∵DE⊥AE， ∴∠CED＝90°， ∴四边形CEDJ是矩形， ∴∠EDJ＝90°，即OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线．
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（3）解：设OJ＝x．
∵BJ2＝BD2﹣DJ2＝OB2﹣OJ2， ∴32﹣（﹣x）2＝（）2﹣x2， ∴x＝
，
∵BJ∥DF， ∴
＝
，
∴＝，
∴OF＝，
﹣＝
．
∴BF＝OF﹣OB＝
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题吗，属于中考常考题型．
4．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F． （1）求证：∠A+∠OFC＝90°；
（2）若tanA＝，BC＝6，求线段CF的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCF＝90°，再根据垂径定理可得结论； （2）根据垂径定理可得CE＝BE＝BC＝3，结合已知条件可得OE＝2，根据勾股定理可得OC＝
，再根据sin∠OCE＝sin∠CFE，即可求出线段CF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
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∵FC是⊙O的切线， ∴OC⊥CF， ∴∠OCF＝90°， ∴∠OFC+∠COF＝90°， ∵OE⊥BC， ∴∠COF＝∠A， ∴∠A+∠OFC＝90°； （2）解：∵∠COF＝∠A， ∴tanA＝tan∠COF＝∵OE⊥BC， ∴CE＝BE＝BC＝∴OE＝2， ∴OC＝
＝
＝
，
6＝3， ＝，
∵∠OCF＝∠CEF＝90°，
∴∠FCE+∠OCE＝∠CFE+∠FCE＝90°， ∴∠OCE＝∠CFE， ∴sin∠OCE＝sin∠CFE， ∴∴
＝＝
， ， ．
∴CF＝
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，点E在AB上，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，与BC相交于点F，连接BD，DE．
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（1）求证：∠ADE＝∠DBE；
（2）若sinA＝，BC＝6，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据圆周角定理得到∠BDE＝90°，然后利用等角的余角相等得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，利用正弦的定义求出AB＝10，再证明△ADO∽△ACB，利用相似比得到
＝，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵AC为切线， ∴OD⊥AD， ∴∠ODA＝90°， ∵BE为直径， ∴∠BDE＝90°，
∵∠DBE+∠BED＝90°，∠ADE+∠ODE＝90°， 而∠ODE＝∠OED， ∴∠ADE＝∠DBE；
（2）解：设⊙O的半径为r， 在Rt△ACB中，sinA＝
＝，
∴AB＝BC＝×6＝10， ∵OD⊥AD，BC⊥AC， ∴OD∥BC， ∴△ADO∽△ACB， ∴
＝
，即
＝，
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解得r＝，
．
即⊙O的半径为
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的切线CF交AB的延长线于点F，连接OC，DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若sin∠OFC＝，BF＝10，求CD的长．
【分析】（1）连接OD，根据垂径定理可得OF为CD的垂直平分线，根据等腰三角形的性质即可证明DF是⊙O的切线；
（2）根据已知条件可得OC＝15，根据勾股定理可得CF的长，根据直角三角形的面积可求出CE的长，再根据垂径定理可得结论． 【解答】（1）证明：连接OD，如图，
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∵CF是⊙O的切线， ∴∠OCF＝90°， ∴∠OCD+∠DCF＝90°， ∵直径AB⊥弦CD，
∴CE＝ED，即OF为CD的垂直平分线， ∴CF＝DF， ∴∠CDF＝∠DCF， ∵OC＝OD， ∴∠CDO＝∠OCD，
∴∠CDO+∠CDB＝∠OCD+∠DCF＝90°， ∴OD⊥DF， ∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OCF＝90°，BF＝10， ∴sin∠OFC＝解得OC＝15，
∴OF＝OB+BF＝OC+BF＝15+10＝25， ∴CF＝
在Rt△OCF中， ∵CE⊥OF， ∴CE•OF＝OC•CF， ∴25CE＝15×20， ∴CE＝12， ∴CD＝2CE＝24．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数，直角三角形的面积，解决本题的关键是综合运用以上知识．
7．如图，AB为⊙O的弦，C为AB的中点，D为OC延长线上一点，DA与⊙O相切，切点为A，连接BO并延长，交⊙O于点E，交直线DA于点F． （1）求证：∠B＝∠D；
＝
＝20，
＝
＝
＝，
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（2）若AF＝4，sinB＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）由切线的性质可得∠OAD＝90°，由余角的性质可求解； （2）通过证明△FAE∽△FBA，可得【解答】解：（1）连接OA，AE，
＝
＝
，即可求解．
∵OA＝OB， ∴∠B＝∠OAB， ∵DA与⊙O相切， ∴∠OAD＝90°，
∴∠OAB+∠DAC＝90°＝∠D+∠CAD， ∴∠D＝∠OAB＝∠B； （2）∵BE是直径， ∴∠BAE＝90°， ∵sinB＝
＝，
∴设AE＝x，EB＝3x， ∴AB＝∵OA＝OE， ∴∠OEA＝∠OAE，
∵∠OAE+∠FAE＝90°＝∠B+∠BEA， ∴∠FAE＝∠B，
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＝2x，
又∵∠F＝∠F， ∴△FAE∽△FBA， ∴∴∴EF＝∴BE＝14， ∴OB＝7， ∴⊙O的半径为7．
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△FAE∽△FBA是本题的关键．
8．如图，OA是⊙O的半径，AB与⊙相切于点A，点C在⊙O上且AC＝AB，D为AC的中点，连接OD，连接CB交OD于点E，交OA于点F． （1）求证：OE＝OF；
（2）若OE＝3，sin∠AOD＝，求BF的长．
＝
， ＝
，
AF＝2，BF＝16，
【分析】（1）由等腰三角形的性质及切线的性质得出∠CED＝∠AFB，得出∠OEF＝∠OFE，则可得出结论；
（2）设AD＝3x，OA＝5x，则OD＝4x，求出x＝1，由锐角三角函数的定义可得出答案． 【解答】（1）证明：∵OC＝OA，D为AC的中点， ∴OD⊥AC，
∴∠DCE+∠DEC＝90°， ∵AB与⊙相切于点A， ∴OA⊥AB，
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∴∠OAB＝90°， ∴∠FAB+∠B＝90°， ∵AC＝AB， ∴∠ACB＝∠B， ∴∠CED＝∠AFB，
∵∠CED＝∠OEF，∠AFB＝∠OFE， ∴∠OEF＝∠OFE， ∴OE＝OF；
（2）解：∵sin∠AOD＝， ∴
，
设AD＝3x，OA＝5x， ∴OD＝4x， ∵OE＝OF＝3，
∴DE＝4x﹣3，AF＝5x﹣3， ∴AC＝2AD＝6x， ∴AB＝6x， ∵∠ACB＝∠B， ∴tan∠ACB＝tan∠B， ∴∴
解得x＝1， ∴AF＝2，AB＝6， ∴BF＝
＝
＝2
．
，
，
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且点C是且DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OC． （1）求证：△AOC是等边三角形；
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的中点，DE是⊙O的切线
（2）若DE＝2，求AC的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据平行线的性质、圆心角定理得到∠ACO＝∠AOC＝∠A，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）过点O作OF⊥AC于F，根据矩形的性质求出OF，根据等边三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OD， ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE＝90°， ∵DE⊥AC， ∴AE∥OD， ∴∠ACO＝∠COD， ∵点C是
的中点，
∴∠AOC＝∠COD， ∴∠AOC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∴∠ACO＝∠AOC＝∠A， ∴△AOC是等边三角形；
（2）解：过点O作OF⊥AC于F， 则四边形OFED为矩形， ∴OF＝DE＝2
，
∵△AOC为等边三角形， ∴∠A＝60°，
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∴OA＝∴AC＝4．
＝4，
【点评】本题考查的是切线的性质、矩形的判定和性质、垂径定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
10．已知，如图，点A，C，D在⊙O上，且满足∠C＝45°．连接OD，AD，过点A作直线AB∥OD，交CD的延长线于点B． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）如果OD＝CD＝2，求AC边的长．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理可得∠DOA＝90°，进而可以证明结论； （2）过点D作DE⊥AC于点E，根据∠C＝45°．可得三角形CDE和三角形AOD是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出EC和AE的长，进而可得AC的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵∠C＝45°，
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∴∠DOA＝90°， ∴AO⊥OD， ∵AB∥OD，
∴OA⊥AB，OA是半径， ∴AB是⊙O的切线；
（2）如图，过点D作DE⊥AC于点E， ∵∠C＝45°，CD＝2， ∴CE＝DE＝
CD＝
，
∵∠AOD＝90°，OA＝OD＝2， ∴AD＝∴AE＝
∴AC＝AE+EC＝答：AC边的长为
＝2＝++
． ． ， ＝
，
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，点与圆的位置关系，解决本题的关键是综合运用以上知识．
11．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM，过点A作AD⊥CM于点D，交BC的延长线于点E． （1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝10，cosE＝，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的判定和性质定理证明即可；
（2）连接AC，根据余弦的定义求出BC，根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算，
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得到答案．
【解答】（1）证明：连接OC， ∵CD是⊙O的切线，OC为半径， ∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD， ∴AE∥OC， ∴∠OCB＝∠E， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠B， ∴∠E＝∠B， ∴AE＝AB； （2）连接AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ACE＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10，cosB＝cosE＝， ∴BC＝6， ∴AC＝
＝
＝8，
∵∠E+∠ECD＝∠ECD+∠ACD＝90°， ∴∠E＝∠ACD， ∴cos∠ACD＝cosE＝， ∵AC＝8， ∴CD＝
．
【点评】本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切
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点的半径是解题的关键．
12．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CE，过点B作BD⊥CE于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠DBC；
（2）若CD＝6，sin∠ABC＝，求AB的长．
【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥DE，进而证明OC∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据正弦的定义求出BC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【解答】（1）证明：∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥DE， ∵BD⊥CE， ∴OC∥BD， ∴∠DBC＝∠OCB， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠ABC＝∠DBC；
（2）解：∵∠ABC＝∠DBC，sin∠ABC＝， ∴sin∠DBC＝，
在Rt△CDB中，sin∠DBC＝，CD＝6， ∴BC＝10，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，
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设AC＝3x， ∵sin∠ABC＝， ∴AB＝5x，
由勾股定理得，（5x）2﹣（3x）2＝102， 解得，x＝， ∴AB＝5x＝
．
【点评】本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13．如图，点E是⊙O中弦AB的中点，过点E作⊙O的直径CD，P是⊙O上一点，过点P作⊙O的切线，与AB的延长线交于F，与CD的延长线交于点G，连接CP与AB交于点M．
（1）求证：FM＝FP；
（2）若点P是FG的中点，cos∠F＝，⊙O半径长为3，求EM长．
【分析】（1）连接OP，根据垂径定理得到∠CEF＝90°，根据切线的性质得到∠OPF＝90°，根据同角的余角相等得到∠FMP＝∠FPM，根据等腰三角形的判定定理证明即可； （2）根据余弦的定义求出OG，根据勾股定理求出FG，根据余弦的定义计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OP，
∵CD为⊙O的直径，E为弦AB的中点， ∴∠CEF＝90°， ∴∠C+∠CME＝90°， ∵GF是⊙O的切线，
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∴∠OPF＝90°， ∴∠FPM+∠OPC＝90°， ∵OC＝OP， ∴∠C＝∠OPC， ∴∠FPM＝∠CME， ∵∠CME＝∠FMP， ∴∠FMP＝∠FPM， ∴FM＝FP；
（2）解：∵∠OEF＝90°， ∴∠G+∠F＝90°， ∵∠GOP+∠G＝90°， ∴∠GOP＝∠F，
∴cos∠GOP＝cos∠F＝，即∵OP＝3， ∴OG＝5， ∴PG＝
＝4，
＝，
∵点P是FG的中点， ∴PF＝PG＝4， ∴GF＝8， ∵cos∠F＝， ∴
＝，
，
∴EF＝
∴EM＝EF﹣FM＝．
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【点评】本题考查的是切线的性质、解直角三角形的知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14．如图，DE是⊙O的直径，CA为⊙O的切线，切点为C，交DE的延长线于点A，点F是⊙O上的一点，且点C是弧EF的中点，连接DF并延长交AC的延长线于点B． （1）求证：∠ABD＝90°；
（2）若BD＝3，tan∠DAB＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）分别连接OC，OB，通过等弧所对圆心角相等可得∠EOC＝∠COF，再根据同弧所对圆周角是圆心角一半得出∠EDC＝∠CDF，再根据OD＝OC得出∠ODC＝∠OCD，推出OC||DB，再根据切线性质可证∠ABD＝90°．
（2）根据tan∠DAB＝可得AD＝5，再由△AOC∽△ADB，即可求出半径长度． 【解答】（1）证明：连接OC，OF，如图所示：
∵CA为⊙O的切线，切点为C， ∴∠ACO＝90°， ∵点C是弧EF的中点，
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∴∠EOC＝∠COF，
又∵∠EDC＝∠EOC，∠CDF＝∠COF， ∴∠ODC＝∠CDF， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠OCD＝∠CDF， ∴OC||DB，
∴∠ABD＝∠ACO＝90°． （2）∵BD＝3，tan∠DAB＝， ∴AB＝4，
在Rt△ABD中，AD＝5． 由图可知△AOC∽△ADB， 设半径为x， ∴即解得x＝
， ．
【点评】本题主要考查圆的基本性质，正确转化角度关系是解决此题的关键．
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