第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】
1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类：
3、有理数的本质定义，能表成（互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；
② 四则运算的封闭性（0不作除数）；
③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质：
① ② 非负性
③ 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】：
1、若的值等于多少？
2． 如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方
3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。
4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么 A.
B.
化简的结果等于（ C.0 D.
，求
的值是（ ）
5、已知
A.2 B.3 C.9 D.6
6、 有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？
7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。
8、 三个有理数的积为负数，和为正数，且则
的值是多少？
1
9、若
为整数，且
，试求
的值。
三、课堂备用练习题。
1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)
3、计算：4、已知
为非负整数，且满足
，求
的所有可能值。5、若三个有理数
满足
，求的值。
第二讲 数系扩张--有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① ②
表示数对应的点到原点的距离。 表示数、对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1、 （1）若
，化简
（2）若，化简
2、设，且，试化简
3、、是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ （1）（3）
（2） （4）若
则
2
（5）若 4、若
5、不相等的有理数C的什么位置？ 6、设7、8、设
，求
是一个五位数，
都是有理数，令,
三、【课堂备用练习题】： 1、已知2、若
与
互为相反数，求
求的值。
的最小值。
，求
,试比较M、N的大小。
的最小值。
的最大值。
，求的取值范围。
在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果
，那么B点在A、
，则
（6）若
，则
3、如果，求的值。
4、是什么样的有理数时，下列等式成立？ （1）
（2）
5、化简下式：
第三讲 数系扩张--有理数（三） 一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较
3
小绝对值；一个数同零相加得原数。
（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。 （4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。 二、【典型例题解析】：
1、计算：2、计算：（1）、
（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25
（3）、（-4）+
3、计算：①
②
4、 化简：计算：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（5、计算： （1）
）
（2）
（3）
4
6、计算：
7、计算：
：
第四讲 数系扩张--有理数（四） 一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。 3、巧算的一般性技巧： ① 凑整（凑0）； ② 巧用分配律 ③ 去、添括号法则； ④ 裂项法 4、综合运用有理数的知识解有关问题。 二、【典型例题解析】：
1、计算：
2、
3、计算：①②
4、化简：并求当时的值。
5、计算：
6、比较
5
与2的大小。
7、计算：
8、已知、是有理数，且顺序排列。 三、【备用练习题】：
，含，，，请将按从小到大的
1、计算（1）
（2）
2、计算：
3、计算：
4、如果
，求代数式的值。
5、若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值。
第五讲代数式（一） 一、【能力训练点】：
（1）列代数式； （2）代数式的意义； （3）代数式的求值（整体代入法） 二、【典型例题解析】： 1、用代数式表示： （1）比（2）比
的和的平方小的数。 的积的2倍大5的数。
（3）甲乙两数平方的和（差）。
6
（4）甲数与乙数的差的平方。
（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。 （6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。 （7）比的平方的2倍小1的数。 （8）任意一个偶数（奇数） （9）能被5整除的数。 （10）任意一个三位数。 2、代数式的求值：
（1）已知（2）已知
，求代数式
的值是7，求代数式
的值。 的值。
（3）已知；，求的值
（4）已知（5）已知：当（6）已知等式（7）已知（8）当多项式3、找规律： Ⅰ.（1）（3）
，求时，代数式
的值。
的值为2007，求当
时，代数式
的值。
对一切都成立，求A、B的值。 ，求
时，求多项式
的值。 的值。
； （2） （4）
第N个式子呢？
Ⅱ.已知 ； ；
； 若
（、为正整数），求Ⅲ.
三、【备用练习题】：
7
猜想：
1、若
个人完成一项工程需要
天，则个人完成这项工程需要多少天？
2、已知代数式的值为8，求代数式的值。
3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元？
4、已知
第六讲 代数式（二） 一、【能力训练点】：
（1）同类项的合并法则； （2）代数式的整体代入求值。 二、【典型例题解析】： 1、 已知多项式2、当3、已知多项式
达到最大值时，求
求当时，
经合并后，不含有的值。
的项，求的值。
与多项式N的2倍之和是，求N？
4、若5、已知6、已知
互异，且
，求
，求
，求的值。
的值。
的值。
7、已知8、求证
均为正整数，且，求的值。
等于两个连续自然数的积。
9、已知，求的值。
10、一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最后一个人分到的少于3个，问多少人分苹果？ 三、【备用练习题】： 1、已知
，比较M、N的大小。
8
，
2、已知
，求
。
的值。
3、已知4、5、已知
，比较，求
，求K的值。
的大小。
的值。
第七讲 发现规律 一、【问题引入与归纳】
我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。
能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。 二、【典型例题解析】 1、 观察算式：
按规律填空：
1+3+5+…+99= ？，1+3+5+7+…+
？
2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？
3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第个图案中有白色地面砖多少块？
4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得
第10个图形中三角形的个数为多少？第个图形中三角形的个数为多少？
5、 观察右图，回答下列问题：
（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？
（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？ （3）某一层上有77个点，这是第几层？ （4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？
6、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，
9
由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为
，这里“
”
是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如
“”可表示为，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下
列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；
（2）计算：= （填写最后的计算结果）。
7、 观察下列各式，你会发现什么规律？
3×5=15，而15=42-1 5×7=35，而35=62-1 … … 11×13=143，而143=122-1 … …
将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。
8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。 三、【跟踪训练题】1 1、有一列数= ，当
第一行 第二行 第三行 …… 其中：
=6×2+1，
=6×3+2，
=6×4+3，
=6×5+4；…则第
个数
=2001时，= 。 第1列 16 第2列 2 14 18 …… 第3列 4 12 20 28 第4列 6 10 22 26 第5列 8 24 2、将正偶数按下表排成5列 根据上面的规律，则2006应在 行 列。
3、已知一个数列2，5，9，14，20，，35…则的值应为：（ ） 4、在以下两个数串中：
1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。A.333 B.334 C.335 D.336 5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：
拼成一行的桌子数 10
1
2 3 … n 人数
6、给出下列算式：
4 6 …
观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律： 7、通过计算探索规律：
152=225可写成100×1×（1+1）+25 252=625可写成100×2×（2+1）+25 352=1225可写成100×3×（3+1）+25 452=2025可写成100×4×（4+1）+25 …………
752=5625可写成 归纳、猜想得：（10n+5）2= 根据猜想计算：19952=
8、已知，计算：
112+122+132+…+192= ；
9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？
第八讲 综合练习（一）
1、若2、已知3、已知
，求与
的值。 互为相反数，求
，求的范围。
。
11
4、判断代数式
的正负。
5、若，求的值。
6、若，求
7、已知8、已知
，化简互为相反数，
互为倒数，
的绝对值等于2，P是数轴上的表示原点的数，求
的值。
9、问□中应填入什么数时，才能使10、化简：11、若
，求使
在数轴上的位置如图所示，
成立的的取值范围。
12、计算：
13、已知，，，求。
14、已知，求、的大小关系。
15、有理数均不为0，且。设，求代数式的值。
第九讲 一元一次方程（一）
一、知识点归纳：
1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。
3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。 二、典型例题解析：
12
1、解下列方程：（1）
（2）
；
（3）
2、 能否从么？
；得到，为什么？反之，能否从得到，为什
3、若关于的方程4、若
，无论K为何值时，它的解总是
。求
，求的值。
、的值。
5、已知是方程的解，求代数式
的解是正整数，求整数K的值。
的值。
6、关于的方程
7、若方程
8、关于的一元一次方程
与方程
求代数式
同解，求的值。
的值。
9、解方程10、已知方程
的解为
，求方程
的解。
，①有一解；②有无数解；③无解。
11、当满足什么条件时，关于的方程
第十讲 一元一次方程（2） 一、能力训练点：
1、列方程应用题的一般步骤。
2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题） 二、典型例题解析。
1、 要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？
2、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？
3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？ ：
13
4、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？
5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数？ 6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一）、（二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的2倍少36人，问：应将（三）班各分配多少名学生到（一）、（二）两班？
7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的后，用水加满，第二次倒出它的后用水加满，这时容器中
的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。
8、 某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？
9、 1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是3838，问到2006年底张先生多大？ 10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机，6天可抽干池水，若用21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A型抽水机抽水？
11、狗跑5步的时间，马能跑6步，马跑4步的距离，狗要跑7步，现在狗已跑出55米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？
12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？
数形结合谈数轴 一、阅读与思考
数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：
1、利用数轴能形象地表示有理数； 2、利用数轴能直观地解释相反数；
14
3、利用数轴比较有理数的大小；
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。 二、知识点反馈
1、利用数轴能形象地表示有理数；
例1：已知有理数在数轴上原点的右方，有理数在原点的左方，那么（ ） A．
B．
C．
D．
拓广训练： 1、如图
为数轴上的两点表示的有理数，在
中，负数的个数有（ ）
（“祖冲之杯”邀请赛试题） A．1 B．2 C．3 D．4 3、把满足
aOb中的整数表示在数轴上，并用不等号连接。
2、利用数轴能直观地解释相反数； 例2：如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为 。 拓广训练：
1、在数轴上表示数的点到原点的距离为3，则
2、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于 。（北京市“迎春杯”竞赛题） 3、利用数轴比较有理数的大小； 例3：已知
且
，那么有理数
的大小关系是 。（用“”
号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题）
拓广训练： 若
例4：已知
拓广训练： 1、已知
，试讨论
与3的大小 2、已知两数
，如果比大，试判断
与
的大小
比较
与4的大小
且
，比较
的大小，并用“”号连接。
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
15
例5： 有理数 A．拓广训练： 1、有理数 2、已知
在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为 。
在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（ ）
-1a B．
O C．
1bc
D．
baOc1的四种情况如图所示，则成立的是 。
，在数轴上给出关于
a0bb0a0ab① ② ③ ④ 3、已知有理数
在数轴上的对应的位置如下图：则
0ba化简后的结果是（ ）
（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题） A．
B．
C．
-1cOa
b D．
三、培优训练 1、已知是有理数，且
，那以
的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
，再向右移动55 个单位长度到达点B 2 A C 0 1
且．若
2、（07乐山）如图，数轴上一动点点
表示的数为1，则点
Ｂ．
向左移动2个单位长度到达点
表示的数为（ ） Ｃ．
Ｄ．
Ａ．
3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数A，那么数轴的原点应是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 4、数 A．
B．
所对应的点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，那么
BCD与的大小关系是（ ）
AD0CB D．不确定的
，那么点B（ ）
C．
5、不相等的有理数在数轴上对应点分别为A，B，C，若
A．在A、C点右边 B．在A、C点左边 C．在A、C点之间 D．以上均有可能 6、设
16
，则下面四个结论中正确的是（ ）（全国初中数学联赛题）
A．
没有最小值 B．只一个使
取最小值
取最小值
C．有限个（不止一个）使取最小值 D．有无穷多个使
7、在数轴上，点A，B分别表示8、若
，则使
和，则线段AB的中点所表示的数是 。
成立的的取值范围是 。
9、是有理数，则10、已知且
的最小值是 。
为有理数，在数轴上的位置如图所示： 求
dbOac的值。
11、（南京市中考题）(1)阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数不妨设点A在原点，如图1，①如图2，点A、B都在原点的右边②如图3，点A、B都在原点的左边③如图4，点A、B在原点的两边综上，数轴上A、B两点之间的距离
。
。
，A、B两点这间的距离表示为
，当A、B两点中有一点在原点时，
；当A、B两点都不在原点时，
O(A)OBBb； oAoa；
bBAObBOaAo（2）回答下列问题：
boa①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是 ，如果③当代数式④求
17
，那么为 ；
取最小值时，相应的的取值范围是 ；
的最小值。
聚焦绝对值 一、阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。 去绝对值符号法则：
2、恰当地运用绝对值的几何意义 从数轴上看
表示数的点到原点的距离；
表示数、数的两点间的距离。
3、灵活运用绝对值的基本性质
① ②
③ ④ ⑤ ⑥
二、知识点反馈
1、去绝对值符号法则 例1：已知拓广训练： 1、已知2、若
，且
且
，那么
，那么
。（北京市“迎春杯”竞赛题）
且
那么
。
的值是（ ）
A．3或13 B．13或-13 C．3或-3 D．-3或-13
2、恰当地运用绝对值的几何意义 例2：
的最小值是（ ）
A．2 B．0 C．1 D．-1 解法1、分类讨论 当当当
时时，
时，
； 。
的最小值是2，故选A。
表示数所对应的点与数1所对应的点之间的距离；
；
比较可知，
解法2、由绝对值的几何意义知
18
表示数所对
x-1x1x
应的点与数-1所对应的点之间的距离；的最小值是指点到1与-1两点距离和的最小值。如图
易知 当
时，
的值最小，最小值是2故选A。
拓广训练： 已知
的最小值是，
的最大值为，求
的值。
三、培优训练 1、如图，有理数在数轴上的位置如图所示： -2a-10b1则在
中，负数共有（ ）（湖北省荆州市竞赛题）
A．3个 B．1个 C．4个 D．2个 2、若
是有理数，则
一定是（ ）
A．零 B．非负数 C．正数 D．负数 3、如果，那么的取值范围是（ ） A． B．
C．
D．
4、
是有理数，如果，那么对于结论（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（（第15届江苏省竞赛题）
A．只有（1）正确 B．只有（2）正确 C．（1）（2）都正确 D．（1）（2）都不正确 5、已知，则化简
所得的结果为（ ）
A．
B． C．
D．
6、已知，那么
的最大值等于（ ）
A．1 B．5 C．8 D．9
7、已知都不等于零，且，根据的不同取值，有（ ）
A．唯一确定的值 B．3种不同的值 C．4种不同的值 D．8种不同的值 8、满足成立的条件是（ ）（湖北省黄冈市竞赛题） A．
B．
C．
D．
19
）
9、若
，则代数式
的值为 。
10、若，则的值等于 。
11、已知 12、已知
是非零有理数，且，求的值。
是有理数，，且，求的值。
13、阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道
时，可令
，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式和
和
，分别求得
（称
分别为
与
的零点
值）。在有理数范围内，零点值（1）当（2）当（3）当
时，原式=
时，原式=时，原式=
可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
; ； 。
综上讨论，原式=
20
通过以上阅读，请你解决以下问题： 分别求出
14、（1）当取何值时，个最大值是多少？（3）求
有最小值？这个最小值是多少？（2）当取何值时，
的最小值。（4）求
的最小值。
有最大值？这
和
的零点值；（2）化简代数式
15、某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图，现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A，B，C，D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？
ADCB
16、先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的
台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这台机床到供应站P
的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
A2A3A1A1（P）DA2
甲乙丙乙甲P① ②
如图①，如果直线上有2台机床（甲、乙）时,很明显P设在的距离之和等于
到
的距离.
处最合适，因为如果P放
和
之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P
如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P设在中间一台机床
21
在
处，甲和丙分别到P的距离之和恰好为
到
到
的距离；而如果P放在别处，例如D处，那么甲和丙分
到D近段距离，这是多出来的，因此P放在
处
别到P的距离之和仍是的距离，可是乙还得走从
是最佳选择。不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。
问题（1）：有机床时，P应设在何处？ 问题（2）根据问题（1）的结论，求
的最小值。
有理数的运算 一、阅读与思考
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。 数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。 二、知识点反馈
1、利用运算律：加法运算律乘法运算律
例1：计算：
解：原式=拓广训练：
1、计算（1）
（2）
例2：计算：
解：原式=拓广训练：
22
计算：
2、裂项相消
（1）；（2）；（3）
（4）
例3、计算
解：原式=
=
=拓广训练：
1、计算：
3、以符代数
例4：计算：
解：分析：
令=
，则
原式=拓广训练：
23
1、计算：
4、分解相约
例5：计算：
解：原式== =
三、培优训练
1、是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则= 。
2、计算：（1）= ；
（2）= 。3、若与互为相反数，则= 。
4、计算：= 。
5、计算：
= 。
6、
这四个数由小到大的排列顺序是 7、（2007“五羊杯”）计算：
=（ ）
A．3140 B．628 C．1000 D．1200
8、（2005“希望杯”）
等于（ ）
24
。
A．
B．
C．
D．
9、（2006“五羊杯”）计算：=（ ）
A． B． C． D．
的值，可令S＝
，所以
＝
，则2S＝
仿照以上推理计算
10、（2009鄂州中考）为了求
，因此2S-S＝
出
的值是（ ）
A、11、
B、 C、 D、
，
的大小关系是（ ）
都是正数，如果
，那么
A． B． C． D．不确定
12、设三个互不相等的有理数，既可表示为（“希望杯”邀请赛试题）
13、计算 （1）
的形式，又可表示为的形式，求的值
（2009年第二十届“五羊杯”竞赛题）
（2）
25
（北京市“迎春杯”竞赛题）
14、已知求
互为相反数，
互为负倒数，的绝对值等于，
的值
15、已知，求的值（2006，
香港竞赛） 16、（2007，无锡中考）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图
1中所有圆圈的个数为．
第 1层 第2层 …… n层 第
图１ 图2 图3 图4 如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数
，则最底层最左边这个圆圈中的数是
的方式填上一串连续的整数
26
；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4
，，，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
第一讲 和绝对值有关的问题 知识结构框图： 数
绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。
也可以写成：
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ）
27
A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。
yzxxzyzxy例2．已知：x0z，xy0，且， 那么
的值（ C ）
A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号 解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示： 所以
xzyzxy
xz(yz)(xy)
0
分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x，乙数为y 由题意得：
x3y，
（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：
若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12
例4．（整体的思想）方程
x20082008x 的解的个数是（ D ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个
分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程
aa的解，利用绝
对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。
例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．
111aba1b1a2b21a2007b2007
分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2
28
于是
111aba1b1a2b21a2007b2007
111122334200820091111111223342008200911200920082009 在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果．同学们可以再深入思考， 如果题目变成求 1 1 值，你有办法求解吗？有兴趣的同学可以在课下继1 1续探究。 24466820082010例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2，3与5，2与6，4与3. 并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____相等 . （2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离
1可以表示为 x ( 1 ) x．
分析：点B表示的数为―1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？ 结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x<-1时，距离为-x-1, 当-1 x1 x2x3的最小值为 5 ，取得最小值时x的取值范围为 -3≤x_≤2______. x2即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离。 即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。 x3x(3)如图，x在数轴上的位置有三种可能： 图1 图2 图3 图2符合题意 （4） 满足 x1x43x1的x的取值范围为 x<-4或x>-1 分析： 同理 29 表示数轴上x与-1之间的距离， x4表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x 是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x<-4或x>-1。 说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上， AB 表示的几何意义就是 在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。这是一个很有用的结论，我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了（3）、（4）这两道难题。 小结 1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用 第二讲：代数式的化简求值问题 一、知识链接 1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题 2222mxx5x87x3y5x的值与x无关， 例1．若多项式 22m2m5m4m的值. 求 分析：多项式的值与x无关，即含x的项系数均为零 22222mxx5x87x3y5x2m8x3y8 因为 所以 m=4 222m2m5m4mm4m4161644 将m=4代人， 利用“整体思想”求代数式的值 5353axbxcx6axbxcx6的值。 例2．x=-2时，代数式的值为8，求当x=2时，代数式 分析： 因为axbxcx68 当x=-2时，2a2b2c68 得到2a2b2c68， 532a2b2c8614 所以 53532a2b2c6(14)620 axbxcx6当x=2时，= 535353例3．当代数式x3x5的值为7时,求代数式3x9x2的值. 分析：观察两个代数式的系数 30 22 由x3x57 得x3x2 ，利用方程同解原理，得3x9x6 整体代人，3x9x24 代数式的求值问题是中考中的热点问题，它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握，整体代人的方法就是其中之一。 例4． 已知aa10，求a2a2007的值. 分析：解法一（整体代人）：由aa10 得 aaa0 所以： a32a22007 a3a2a22007 aa22007解法二（降次）：方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型，还具有降次的功能。 2322322222120072aa10，得a21a， 由 2008所以： a32a22007 a2a2a22007(1a)a2a22007aa22a22007aa220071200720082aa1（消元、解法三（降次、消元）：、减项） a32a22007a3a2a22007a(a2a)a22007aa2200712007 2008 例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？ 分析：分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入（元） 第一年：A公司 10000； B公司 5000+5050=10050 第二年：A公司 10200； B公司 5100+5150=10250 第n年：A公司 10000+200(n-1）； B公司：[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50] =10050+200(n-1) 由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元，如不细心考察很可能选错。 31 x例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且则 axbxcx1的值是_______ 。 32abcabacbcabcabacbc， 解：因为abc<0，所以a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数 又因为a+b+c>0，所以a、b、c中只有一个是负数。 不妨设a<0，b>0，c>0 则ab<0，ac<0，bc>0 所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式，得到结果为1。 同理，当b<0，c<0时，x=0。 另：观察代数式 abcabacbcabcabacbc，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代 数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论。有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质。 规律探索问题： 例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． AB（1）“17”在射线 ____上， 8 “2008”在射线___________上． 7 2 1 （2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的 9 3 C代数式表示为__________________________． 4 O6 12 10 5 11 分析：OA上排列的数为：1，7，13，19，… 观察得出，这列数的后一项总比前一项多6， ED 归纳得到，这列数可以表示为6n-5 因为17=3×6-1，所以17在射线OE上。 因为2008=334×6+4=335×6-2，所以2008在射线OD上 例8． 将正奇数按下表排成5列: 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9 第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25 根据上面规律，2007应在 A．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D. 251行,5列 分析：观察第二、三、四列的数的排列规律，发现第三列数规律容易寻找 第三列数： 3，11，19，27， 规律为8n-5 因为2007=250×8+7=251×8-1 所以，2007应该出现在第一列或第五列 又因为第251行的排列规律是奇数行，数是从第二列开始从小到大排列， 所以2007应该在第251行第5列 32 F 例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时， nnkk结果为2（其中k是使2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： F② F① F② 26 13 44 11 第一次 第二次 第三次 若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________． … nnkk分析：问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算，即当n为偶数时，结果为2（其中k是使2 为 奇数的正整数），要使所得的商为奇数，这个运算才能结束。 449奇数，经过“F①”变为1352；1352是偶数，经过“F②”变为169， 169是奇数，经过“F①”变为512，512是偶数，经过“F②”变为1， 1是奇数，经过“F①”变为8，8是偶数，经过“F②”变为1， 我们发现之后的规律了，经过多次运算，它的结果将出现1、8的交替循环。 再看运算的次数是449，奇数次。因为第四次运算后都是奇数次运算得到8，偶数次运算得到1， 所以，结果是8。 三、小结 用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。 第三讲：与一元一次方程有关的问题 一、知识回顾 一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。 典型例题： 二、典型例题 2xkx3k32=1的解是x=-1，则k的值是（ ） 例1．若关于x的一元一次方程 213A．7 B．1 C．-11 D．0 分析：本题考查基本概念“方程的解” 2xkx3k32=1的解， 因为x=-1是关于x的一元一次方程 2(1)k13k13132所以，解得k=-11 33 1例2．若方程3x-5=4和方程 3ax03的解相同，则a的值为多少？ 分析：题中出现了两个方程，第一个方程中只有一个未知数x，所以可以解这个方程求得x的值；第二个方程 中有a与x两个未知数，所以在没有其他条件的情况下，根本没有办法求得a与x的值，因此必须分析清楚题中的条件。因为两个方程的解相同，所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程，第二个方程也就转化为一元一次方程了。 解：3x-5=4， 3x=9， x=3 1 因为3x-5=4与方程 3ax03的解相同 1所以把x=3代人 3ax03中 1即 3a303 得3-3a+3=0，-3a=-6，a=2 例3.（方程与代数式联系） ab a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算 cd1224adbc. 18（1）则12的值为 ；（2）当(1x)5分析：（1）即a=1，b=2，c=-1，d=2， ab 时，x= . 因为cdadbc12，所以12=2-（-2）=4 4182 （2）由(1x)5 得：10-4（1-x）=18 所以10-4+4x=18，解得x=3 例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ） 不考虑瓶子的厚度. abhhA．ab B．ab C．ab D．ah 分析：左右两个图中墨水的体积应该相等，所以这是个等积变换问题，我们可以用方程的思想解决问题 解：设墨水瓶的底面积为S，则左图中墨水的体积可以表示为Sa 34 设墨水瓶的容积为V，则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb 于是，Sa= V-Sb，V= S(a+b) SaSaaS(ab)ab 由题意，瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为V 例5． 小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。 分析：“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人， 1题中的等量关系为：小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+ 2 解：设开始时，每队有x人在排队， 2分钟后，B窗口排队的人数为：x-6×2+5×2=x-2 xx21262 根据题意，可列方程：4 去分母得 3x=24+2(x-2)+6 去括号得3x=24+2x-4+6 移项得3x-2x=26 解得x=26 所以，开始时，有26人排队。 课外知识拓展： 一、含字母系数方程的解法： 思考：axb是什么方程？ 在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0，所以axb不是一元一次方程 我们把它称为含字母系数的方程。 例6．解方程axb x解：（分类讨论）当a≠0时， ba 当a=0，b=0时，即 0x=0，方程有任意解 当a=0，b≠0时，即 0x=b，方程无解 即方程axb的解有三种情况。 例7．问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。 分析：先解关于x的方程，把x用a、b表示，最后再根据系数情况进行讨论。 解： 将原方程移项得2x+bx=1+a-5，合并同类项得：(2+b)x=a-4 35 x 当2+b0，即b-2时，方程有唯一解 a42b， 当2+b=0且a-4=0时，即b=-2且a=4时，方程有无数个解， 当2+b=0且a-4≠0时，即b=-2且a≠4时，方程无解， x11xababab 例 8． 解方程 分析：根据题意，ab≠0，所以方程两边可以同乘ab 去分母，得b(x-1)-a(1-x)=a+b 去括号，得bx-b-a+ax=a+b 移项，并项得 (a+b)x=2a+2b x 当a+b≠0时， 2a2bab=2 当a+b=0时，方程有任意解 说明：本题中没有出现方程axb中的系数a=0，b≠0的情况，所以解的情况只有两种。 二、含绝对值的方程解法 例9． 解下列方程 5x23 解法1：（分类讨论） 2当5x-2>0时，即x>5， 5x-2=3， 5x=5， x=1 2 因为x=1符合大前提x>5，所以此时方程的解是x=1 2当5x-2=0时，即x=5， 得到矛盾等式0=3，所以此时方程无解 21当5x-2<0时，即x<5， 5x-2= -3，x=5 121 因为x=5符合大前提x<5，所以此时方程的解是x=5 1综上，方程的解为x=1 或x=5 注：求出x的值后应注意检验x是否符合条件 解法2：（整体思想） 联想： a3时，a=±3 36 类比： 5x23，则5x-2=3或5x-2=-3 1解两个一元一次方程，方程的解为x=1 或x=5 2x1513例10． 解方程 解：去分母 2| x-1|-5=3 移项 2| x-1|=8 | x-1|=4 所以x-1=4或x-1=-4 解得x=5或x=-3 例11． 解方程 x12x1 分析：此题适合用解法2 2 当x-1>0时，即x>1，x-1=-2x+1，3x=2，x=3 2因为x=3不符合大前提x>1，所以此时方程无解 当x-1=0时，即x=1，0=-2+1，0 =-1，此时方程无解 当x-1<0时，即x<1，1-x=-2x+1，x=0 因为x=0符合大前提x<1，所以此时方程的解为x=0 综上，方程的解为x=0 三、小结 1、体会方程思想在实际中的应用 2、体会转化的方法，提升数学能力 第四讲：图形的初步认识 一、相关知识链接： 1．认识立体图形和平面图形 我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆 立体图形和平面图形关系 立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法 （1）画出立体图形的三视图 立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。 （2）立体图形的平面展开图 常见立体图形的平面展开图 圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种） 二、典型问题： （一）正方体的侧面展开图（共十一种） 分类记忆： 37 第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。 第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。 第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。 第四类，两排各三个，只有一种。 基本要求： 1. 在右面的图形中是正方体的展开图的有（ C ） （A）3种 （B）4种 （C）5种 （D）6种 2．下图中, 是正方体的展开图是( B ) A B C D 3．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（ D ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 较高要求： 38 1 6 3 2 4 5 4．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的 一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是( A ) A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 5．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对 两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （ B ） A．40 B.38 C.36 D. 34 分析： 由题意 8+a=b+4=c+25 所以 b=4+a c=a-17 所以 a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38 6．将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ C ） ★★★★c8b25a4 A． B． C． D． 7．下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ D ） ABC ． ． ． 还原正方体，正确识别正方体的相对面。 （二）常见立体图形的平面展开图 8．下列图形是四棱锥的展开图的是 （ C ） D． （A） （B） （C） （D） 9．下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是( A ) A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 10．下列几何体中是棱锥的是（ B ） A. B. C. D. 39 11．如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题： （1）如果A面在长方体的底部，那么哪一个面会在上面？ （2）若F面在前面，B面在左面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）（3）若C面 在右面，D面在后面，则哪一个面会在上面？（字母朝外） 答案：（1）F ；（2）C，A （三）立体图形的三视图 12．如图，从正面看可看到△的是( C ) DABC (2)13．对右面物体的视图描绘错误的是 （ C ） 14．如图的几何体，左视图是 （ B ） BDAC 15．如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个 几何体的小正方体的个数是 ( ) A．3 B．4 C．5 D．6 主视图 左视图 俯视图 （四）新颖题型 16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为 . 分析：正面—黄，右面—红，上面—蓝，后面—紫，下面—白，左面—绿 所以，从右到左，底面依次为：白、绿、黄、紫 数字和为：4+6+2+5=17 17．观察下列由棱长为 1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图⑴ 所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图⑵所示： 共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图⑶所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见……（1）写出第⑹个图中看不见的小立方体有 125 个；（2）猜想并写出第(n)个图形中看不见的小立方体的个数为____ (n-1)3 ______个. 40 分析： 1 1=1 0=03 2 8=23 1=13 3 27=33 8=23 4 64=43 27=33 n n3 (n-1) 3 第五讲：线段和角 一、知识结构图 线段 线段性质 直线 直线性质 角的分类 周角 射线 角 角的比较、度量和画法 角平分线 定义 相关角 余角和补角 性质 同角（或等角） 的余角相等 两点间的距离 线段的比较和画法 线段的中点 平角 直角 锐角 钝角 同角（或等角） 的补角相等 二、典型问题： （一）数线段——数角——数三角形 问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？ 分析： 点 线段 2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1+2+3+4+5 …… nn12 n 1+2+3+ … +(n-1)= 问题2．如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有（ D ）个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 拓展：1、 在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角 1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 41 …… n1n2 n 1+2+3+ … +(n+1)= 2 类比：从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？ 射线 角 2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 …… nn12 n 1+2+3+ … +(n-1)= 类比联想：如图，可以得到多少三角形？ （二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义： 文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点 AMB图形语言： 几何语言： ∵ M是线段AB的中点 AMBM ∴ 1AB2，2AM2BMAB 典型例题： 1．由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（ D ） 11（A）AP=2AB （B）AB＝2PB （C）AP＝PB （D）AP＝PB=2AB AB2．若点B在直线AC上，下列表达式：① 1AC2；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC． 其中能表示B是线段AC的中点的有（ A ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13.如果点C在线段AB上,下列表达式①AC=2AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中, 能表示C是AB中 点的有( C ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR= ______ MN． 分析：据题意画出图形 MRPQN设QN=x，则PQ=x，MP=2x，MQ=3x， 42 3x3MR234x8 所以，MR=2x ，则MN 5．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段 AD的长是（ ） AMBCNDA 2（a-b） B 2a-b C a+b D a-b 分析：不妨设CN=ND=x，AM=MB=y 因为MN=MB+BC+CN 所以a=x+y+b 因为AD=AM+MN+ND 所以AD=y+a+x=a-b+a=2a-b （三）与角有关的问题 1． 已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200， 则∠AOC=____80°或40°________度（分类讨论） 2． A、O、B共线，OM、ON分别为∠ AOC 、∠ BOC的平分线，猜想∠ MON的度数，试证明你的结论． M猜想：_90°______ C N证明：因为OM、ON分别为∠ AOC 、∠ BOC的平分线 11 所以∠MOC=2∠AOC ，∠CON=2∠COB 因为∠MON=∠MOC+∠CON AOB111所以∠MON=2∠AOC +2∠COB=2∠AOB=90° 3．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF34， 求∠BOD的度数． 分析：因为∠COE是直角，∠COF34， 所以∠EOF=56° 因为OF平分∠AOE 所以∠AOF=56° 因为∠AOF=∠AOC+∠COF 所以∠AOC=22° 因为直线AB和CD相交于O点 所以∠BOD=∠AOC=22° 4．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB， 43 （1）若∠A = 60°，求∠O； （2）若∠A =100°，∠O是多少？若∠A =120°，∠O又是多少？ （3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三角形的内角和等于180°） 1答案：（1）120°；（2）140° 、150°（3）∠O=90°+2∠A 5．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有（ B ）对 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 6．互为余角的两个角 （ B ） （A）只和位置有关 （B）只和数量有关 （C）和位置、数量都有关 （D）和位置、数量都无关 7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ C ） 1111A.2（∠1＋∠2） B.2∠1 C.2（∠1－∠2） D.2∠2 1分析：因为∠1＋∠2=180°，所以2（∠1＋∠2）=90° 1190°-∠2= 2（∠1＋∠2）-∠2= 2（∠1－∠2） 第六讲：相交线与平行线 一、知识框架 两条直线相交 相交线 两条直线被第三条直线所截 邻补角、对顶角 对顶角相等 垂线及性质 点到直线的距离 同位角、内错角、同旁内角 判 定 平行公理 性 质 平 移 平行线 二、典型例题 44 1.下列说法正确的有( B ) ①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图所示,下列说法不正确的是( D )毛 A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段AC C.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段 BDC3.下列说法正确的有( C ) ①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. F A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 DC4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ A ） BA A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30° B. 第一次向右拐50°第二次向左拐E130° C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130° 5．如图，若AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则下列结论必定成立的是（ C ） CA. CD>AD B.AC 6．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG•平分∠BEF,若∠1=72°A, D则∠2=____54°___. A7．如图,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( C ) •A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 C 8．如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？ 答案：3对，n(n+1) l1 l2 O l3 EBB2F1GD，2，3的大小关系是_________． 9. 如图，在44的正方形网格中，1 3 1 2 答案：∠1=∠2>∠3 10. 如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想) 答案：36° l111． 如图所示,已知AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P与∠A,∠C的关系,•请你从所得的四个关系中任选l223一个加以说明. 1l3445 AAPCDBBPAPBDACPBD (1) (2) (3) (4) CDC（1）分析：过点P作PE//AB ∠APE+∠A+∠C=360° （2）∠P=∠A+∠C （3）∠P=∠C-∠A, （4）∠P=∠A-∠C 12．如图，若AB//EF，∠C= 90°，求x+y-z 度数。 分析：如图，添加辅助线 证出：x+y-z=90° 13．已知：如图，BAPAPD180，12 求证：EF 分析：法一 法二：由AB//CD证明PAB=APC， 所以EAP=APF 所以AE//FP 所以EF 第七讲：平面直角坐标系 一、知识要点： 1、特殊位置的点的特征 （1）各个象限的点的横、纵坐标符号 46 ABCxyzDEF A B 1 E F C 2 P D （2）坐标轴上的点的坐标：x 轴上的点的坐标为(x,0),即纵坐标为0; y轴上的点的坐标为(0,y)，即横坐标为0; 2、具有特殊位置的点的坐标特征 1(x1,y1)、P2(x2,y2) 设PP1、P2两点关于x轴对称x1x2，且y1y2; P1、P2两点关于y轴对称x1x2，且y1y2; P1、P2两点关于原点轴对称x1x2，且y1y2。 3、距离 （1）点A(x,y)到轴的距离：点A到x轴的距离为|y|；点A到y轴的距离为|x|； （2）同一坐标轴上两点之间的距离： A(xA,0)、B(xB,0)，则AB|xAxB|；A(0,yA)、B(0,yB)，则AB|yAyB|； 二、典型例题 1、已知点M的坐标为（x，y），如果xy<0 , 则点M的位置( ) (A)第二、第三象限 (B)第三、第四象限 (C)第二、第四象限 (D)第一、第四象限 2．点P（m，1）在第二象限内，则点Q（-m，0）在（ ） A．x轴正半轴上 B．x轴负半轴上 C．y轴正半轴上 D．y轴负半轴上 3．已知点A（a，b）在第四象限，那么点B（b，a）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．点P（1，-2）关于y轴的对称点的坐标是（ ） A．（-1，-2） B．（1，2） C．（-1，2） D．（-2，1） 5．如果点M（1-x，1-y） 在第二象限，那么点N（1-x，y-1）在第 象限， 点Q（x-1，1-y）在第 象限。 6．如图是中国象棋的一盘残局，如果用(4，o)表示帅的位置， 用(3，9)表示将的位置，那么炮的位置应表示为 A．(8，7) B．(7，8) C．(8，9)D．(8，8) 7．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为（0，0）， （5，0），（2，3）则顶点C的坐标为（ ） A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2） 8．已知点P（x, x），则点P一定 （ ） A．在第一象限 B．在第一或第四象限 C．在x轴上方 D．不在x轴下方 9．已知长方形ABCD中，AB=5，BC=8，并且AB∥x轴，若点A的坐标为（－2，4），则点C的坐标为___(3,-4)(-7,-4)(3,12)(-7,12)______。 10．三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（-4，-1），B（1，1），C（-1，4），将三角形ABC向右平移2个单 47 位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ C ） A．（2，2），（3，4），（1，7） B．（-2，2），（4，3），（1，7） C．（-2，2），（3，4），（1，7） D．（2，-2），（3，3），（1，7） x1x2y1y22，11．“若点P、Q的坐标是（x1，y1）、（x2，y2），则线段PQ中点的坐标为（2）．” 已知点A、B、C的坐标分别为（-5，0）、（3，0）、（1，4），利用上述结论求线段AC、BC的中点D、E的坐 标，并判断DE与AB的位置关系． 解：由“中点公式”得D（-2，2），E（2，2），DE∥AB． 4)，12．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，将OA绕原点O逆时针 旋转90得到OA，则点A的坐标是（ ） 3) Ｂ．(3，4) Ｃ．(3，4) Ｄ．(4，3) Ａ．(4，分析： 13．如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（-4，-6）， （-6，-3），求三角形AOB的面积 解：做辅助线如图． S△AOB=S梯形BCDO-（S△ABC+S△OAD） 111 =2×（3+6）×6-（2×2×3+2×4×6）=27-（3+12）=12． 14．如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为 （–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）。 （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的? 48 （2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变， 横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？ 分析： y（2）面积不变 15．如图，已知A1(1,0)、 A2（1，1）、A3（-1，1）、A4（-1，-1）、 A10A7A5（2，-1），…，则点A2007的坐标为______________________. A6A2 A3答案：(-502,502) oA1xA4A5 A9A8 第八讲：与三角形有关的线段 一、相关知识点 1．三角形的边 三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边 即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短） 由上式可变形得到： a>c－b，b>a－c，c>b－a 即有：三角形的两边之差小于第三边 高 由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 中线： 连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线 角平分线 三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线 二、典型例题 （一）三边关系 1．已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a的取值范围是( ) A.1 分析：设第三根木棒的长度为x， 则3 A 49 BDC 3：已知：△ABC中，AD是BC边上的中线 1 求证：AD+BD>2（AB+AC） 分析：因为 BD+AD>AB、CD+AD>AC 所以 BD+AD+ CD+AD >AB+AC 因为AD是BC边上的中线，BD=CD 1 所以AD+BD>2（AB+AC） A（二）三角形的高、中线与角平分线 D问题：（1）观察图形，指出图中出现了哪些高线？ （2）图中存在哪些相等角？ 1 2B注意基本图形：双垂直图形 C 4．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， 垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 分析： 5．如图，⊿ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D， DF⊥CE，求∠CDF的度数。 分析：∠CED=40°+34°=74° 所以∠CDF=74° 6．一块三角形优良品种试验田，现引进四种不同的种子进行对比试验，需要将这块地分成面积相等的四块，请你设计出四种划分方案供选择，画图说明。 AA分析： EF BDC BEDFC 50 AAAEFEFBDCBDCBDEC A7．⊿ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O。 （1）若∠ABC = 40°，∠ACB = 50°，则∠BOC = 。 （2）若∠ABC +∠ACB =116°，则∠BOC = 。 （3）若∠A = 76°，则∠BOC = 。 （4）若∠BOC = 120°，则∠A = 。 （5）你能找出∠A与∠BOC 之间的数量关系吗？ 8．已知: BE, CE分别为 △ABC 的外角 ∠ MBC, ∠NCB的角平分线, 求: ∠E与∠A的关系 DB12C1分析：∠E=90°-2∠A 9．已知: BF为∠ABC的角平分线, CF为外角∠ACG的角平分线, 求: ∠F与∠A的关系 分析： 1∠F=2∠A 思考题：如图：∠ABC与∠ACG的平分线交于F1；∠F1BC与∠F1CG的平分线交于F2；如此下去, ∠F2BC与∠F2CG的平分线交于F3；…探究∠Fn与∠A的关系（n为自然数） 51 第九讲：与三角形有关的角 一、相关定理 （一）三角形内角和定理：三角形的内角和为180° （二）三角形的外角性质定理： 三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和 三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 （三）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n2)180 多边形外角和定理：多边形的外角和为360° 二、典型例题 问题1：如何证明三角形的内角和为180°？ AE1A2FNEB2134OMFC BC 1．如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,求∠CDE的度数. 分析：∠CDE=∠ADC-∠2 B ∠1=∠B+40°-∠2 ∠1=∠B+40°-（∠1+∠C） 2∠1=40° ∠1=20° 2．如图：在△ABC中，∠C>∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC AEDCA1 求证：∠EAD＝2（∠C－∠B） 52 BEDCEABCD 3．已知：CE是△ABC外角∠ACD的角平分线，CE交BA于E 求证：∠BAC>∠B 分析： 问题2：如何证明n边形的内角和为(n2)180 AEBAEBMBAEMDCDCMD C 4．多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数。 5．科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图4中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ） A. 6米 B. 8米 C. 12米 D. 不能确定 第十讲：二元一次方程组 一、相关知识点 二元一次方程的定义： 经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。 2、二元一次方程的标准式： 一元一次方程的解的概念： 使二元一次方程左右两边的值相等的一对x和y的值，叫做这个方程的一个解。 二元一次方程组的定义： 方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。 二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 二、典型例题 53 axbyc0a0,b0 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ C ） ，xy1，，xy1x1yx，xy0．xy0．y23．Ａ． Ｂ． Ｃ．Ｄ．x2y1． x3，x2y50，2．有这样一道题目：判断y1是否是方程组2x3y50的解？ x3，x2y50，y1x2y50y1x3小明的解答过程是：将，代入方程，等式成立．所以是方程组2x3y50的解． 小颖的解答过程是：将x3，y1分别代入方程x2y50和2x3y50中，得x2y50， x3，x2y50，2x3y50．所以y1不是方程组2x3y50的解． 你认为上面的解答过程哪个对？为什么？ 3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k的取值应是（ B ） A、k=-4 B、k=4 C、k=-3 D、k=3 分析：利用方程3x-y=7和2x+3y=1组成方程组，求出x、y，再代入y=kx-9求出k值。 3xy7①x22x3y1②y1 解 得：x2y1代入y=kx-9，k=4 将6m3n103m2n1004．解方程组 12 方法一：（代入消元法） n解：由（2），得 103m23m 把（3）代入（1），得 43 4m34mn33代入（3）把，得 n3 ∴ 方法二：（加减消元法） 解：（2）×2： 6m+4n-20=0 (3) (3)-(1): 7n=21 n=3 4m34mn3n33把代入（3），得 ∴ 方法三：（整体代入法） 54 解：由（1）得：23m2n7n103 由（2）得： 3m2n104 把（4）代入（3） ，得 n3 44m3把n3m代入（4），得 3 ∴ n3 方法三：（整体代入法） 解：由（1）得： 23m2n107n2103 由（2）代入（3），得n3 m4m43把n3代入（2），得 3 ∴ n3 2a3b13a8.32x23y1135．已知方程组3a5b30.9的解是b1.2，则方程组3x25y130.9的解是（x8.3x10.3x6.3x10.3A．y1.2 B．y2.2 C．y2.2 D．y0.2 45xy13456．xy3 a114a51解：设 x,byb13，则原方程组可化为4a5b32 a2解得：b1 x1∴2y1 x:y3:217．解方程组 3x5y32 x3解：（参数法）∵ y2 ∴设x3k,y2k。 55 C ） 把x3k,y2k代入（2），得：k3 x9y6 ∴8．解三元一次方程组 x2yz8xy1x2z2y3分析： 三元一次方程组 消元 转化 二元一次方程组 解：由（２）得： (1)(2)(3)方程段(下一个) 节 1 消元 一元一次方程组 转化 xy1(4) 3yz9y2z4把（４）分别代入（1）、（3）得，由（6）得 y2z4(5)(6) (7) 3(2z4)z96z12z97z21把（７）代入（５）得： z3 y234把z3代入（７）得： y2 把y2代入（4）得： x211 ∴ 9．字母系数的二元一次方程组 x1y2z3 ax2y13xy3有唯一的解 a（1）当为何值时，方程组分析： （2）×2：6x+2y=6 (3) (3)-(1): (6-a)x=5 x当a≠6时，方程有唯一的解 56 56a x2y12xmy2有无穷多解 当m为何值时，方程组分析： （1）×2：2x+4y=2 (3) (3)-(2): (4-m)y=0 4-m=0即m=4，有无穷多解 10．一副三角板按如图方式摆放，且1的度数比2的度数大50，若设1的度数为x， 2的度数为y，则得到的方程组为 xy50，xy50，xy50，xy50，xy180xy180xy90xy90 A． B． C． D．1211．为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A、B两套楼房，A套楼房在第3层楼，B套楼房在第5层楼，B套楼房的面积比A套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同。第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍。为了计算两套楼房的面积，小亮设A套楼房的面积为x 平方米，B套楼房的面积为y平方米，根据以上信息列出下列方程组，其中正确的是（ ） 0.9x1.1y1.1x0.9y0.9x1.1y1.1x0.9yyx24xy24xy24yx24 A． B． C． D．12．某水果批发市场香蕉的价格如下表： 购买香蕉数 （千克） 每千克价格 不超过20千克 6元 20千克以上但不超过40千克 5元 40千克以上 4元 张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？ 分析：由题意知，第一次购买香蕉数小于25千克，则单价分为两种情况进行讨论。 解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克，由题意0 （1）当0 （3）当20 1．不等式的基本性质 通过对比不等式和方程的性质，使学生学会用类比的方法看问题。 57 性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。 若a>b，则a+c>b+c（a-c>b-c）。 性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若a>b且c>0，则ac>bc。 性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 若a>b且c<0，则ac 像2x76x，3x9等只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。 4．一元一次不等式的标准形式 一元一次方程的标准形式：axb0（a0）或axb0（a0）。 5．一元一次不等式组的解集确定 若a>b xaxb时，则xa，即“大大取大” 则（1）当xaxb时，则xb，即“小小取小” （2）当xaxb时，则bxa，即“大小小大取中间” （3）当xaxb时，则无解，即“大大小小取不了” （4）当二、典型例题： 1．下列关系不正确的是（ ） A．若ab，则ba B．若ab，bc，则ac C．若ab，cd，则acbd D．若ab，cd，则acbd 2．已知xy且xy0，a为任意有理数，下列式子中正确的是（ ） 22axay C．xaya D．xy xyA． B． 3．下列判断不正确的是（ ） 11ab0bc0ac0ab0ab A．若，，则 B．若，则ab110C．若a0，b0，则b D．若ab，则ab 58 b4．若不等式ax＞b的解集是x＞a，则a的范围是（ ） A、a≥0 B、a≤0 C、a＞0 D、a＜0 5．解关于x的不等式 解： mx23m5xm5 mx5x3m2m5x3m21当m5时，m50,则3m2m52当m5时，m50,则xx3m2m5 6．解关于x的不等式 2axa1。 xa12a 解：2-a>0，即a<2时， x2-a<0，即a>2时， a12a 2-a=0，即a=2时，不等式即 0x<3 ，不等式有任意解 7．若不等式解： mx2x1和3x50是同解不等式，求m的值。 由3x50得513由mx2x1得xm1x2m121、2两不等式为同解不等式。m102m15m13m1m8m8。5另解：因为方程3x-5=0的解是x=3 59 5所以方程m(x-2)=x+1的解是x=3 5将x=3代入，解得m=-8 2x73x1x20的解集为________________. 8．不等式组解：2x8 x84x1xm9．若不等式组的解是x>3，则m的取值范围是（ ） A．m3 B．m3 C．m3 D．m3 分析： 2x3(x3)13x2xa410． 关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是（ ） 115115115115aaaa2 B．42 C．42 D．42 A．4 x8x24a 分析：不等式组可化为 所以 115a1224a13，解得：42 x2ya1xy2a1的解适合不等式2xy1，求a的取值范围. yx11．已知关于、的方程组解法一：由方程组可得 60 5a1x3ya232xy15a1a21331a3 ∴ a的取值范围是 a13。 解法二：（1）+（2）：2x-y=3a a 由题意：3a>1 所以12．解下列不等式（1）解：（1） 不等式解集为：524a5 （2） 不等式解集为 x2或x2 13 x5 （2） x2 思考题：解下列含绝对值的不等式。 2x142x133（1） （2） 第十二讲：一元一次不等式（组）的应用 一、能力要求： 1．能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。 2．能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。 3．能够用分类讨论思想解有关问题。 4．能利用不等式解决实际问题 二、典型例题 1x1m1．m取什么样的负整数时，关于x的方程2的解不小于－3. 分析：解方程得：x=2m+2 由题意：2m+2≥-3，所以m≥-2.5 61 符合条件的m值为-1，-2 x2yaxy2a10x3y12．已知x、y满足且，求a的取值范围. 2x2ya0x5a2xy2a10y3a1 分析：解方程组 得a 代入不等式，解得 221 2 3．比较a3a1和a2a5的大小 （作差法比大小） 解： a23a1a22a5a23a1a22a5a6（1）当a60,即a6时,a23a1a22a5（2）当a60,即a6时,a23a1a22a5（3）当a60,即a6时,a23a1a22a5 4．若方程组 的解为x、y，且2 kx2y3x03xky4y0. k5．取怎样的整数时，方程组的解满足62 解：（1）当k＝0时，4x=x>03此时，不满足3y<0y=2（2）当k0时，由13，得3kx6y9由2k，得3kxk2y4k由43，得34k26y4k9y4k9k264k9把y2代入2，得k64k9k43xk263k8x2k6x>0y<03k8>0k264k9<0k26k260原不等式组可化为 3k8>04k9<089－k34k取整数值为：k2,1,1,2。 2aax456．若2(a-3)＜3，求不等式＜x-a的解集 63 2a20分析：解不等式2(a-3)＜3 得：a<7 ax45由＜x-a 得（a-5）x<-a 20 因为a<7 所以a-5<0 ax4a5 于是不等式＜x-a的解集为x>a5 7．阅读下列不等式的解法，按要求解不等式. x10x2不等式的解的过程如下： x10x10x20x20○ 解：根据题意，得○1或2 解不等式组○1，得x2；解不等式组○2，得x1 所以原不等式的解为x2或x1 x20请你按照上述方法求出不等式x5的解. 分析：典型错误解法： x20x20x20x50x50 由不等式x5得： 或所以原不等式的解为x5或x2 x20x20x20x50x50 正确解法：由不等式x5得： 或所以原不等式的解为x5或x2 8．目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊8元，然后每月必须缴50元的占号费，除此之外，打市话1分钟付费0.4元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话1分钟0.6元．若每月通话时间为x分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为和 y1y2，请算一算，哪种对用户合算． 64 解： 若 y1580.4x y20.6x y1y2 则580.4x0.6x 解得：x290 所以当通话时间小于290分钟时，第二种方式合算。 若 y1y2 则580.4x0.6x 解得：x290 所以当通话时间等于290分钟时，两种方式相同。 若 y1y2 则580.4x0.6x 解得：x290 所以当通话时间大于290分钟时，第一种方式合算。 9．某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶，设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？ 原料名称 饮料名称 A B 甲 20克 30克 乙 40克 20克 20x30100x280040x20100x2800 分析：（1）据题意得： 解不等式组，得 20x40 因为其中的正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种。 （2）由题意得： y2.6x2.8100x 整理得：y0.2x280 因为y随x的增大而减小，所以x=40时，成本额最低 10．某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产40台，已知生产这些家电产品每 家电名称 空调器 彩电 冰箱 台所需工时和每台产值如下表： 111 问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高， 工时（个） 最高产值是多少万元？ 3 2 4 产值（万元/台） 0.4 0.3 0.2 解：设每周应生产空调器、彩电、冰箱分别是x台、y台、z台，设此时的产值为P万元。 65 xyz360(1)111xy120(2)2340x360,0y360,40z360x,y,z均为整数(4)根据题意得：(3) 102z36013xz0360z3602240z360y3603z2……（5）把（5）代入（3）得：由（1）和（2）知 解得：40z240 130.4z0.3(360z)0.2zP0.4x0.3y0.2z＝22＝1080.05z 要使P最大，只需z最小 当z40时 P最大＝108－0.05×40＝106(万元) x此时 1z202（台） 3y360z3002 （台） 答：每周应生产空调器20台、彩电300台、冰箱40台，才能使产值最高，最高产值是106万元？ 66 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