非线性科学
一、分形 分形理论分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科。分形的概念是美籍 数学家曼德布罗特 (B.B.Mandelbort) 首先提出的。 1967 年他在美国权威的《科学》杂志上发 表了题为《英国的海岸线有多长 ?》的著名论文。海岸线作为曲线 ,其特征是极不规则、极不 光滑的，呈现极其蜿蜒复杂的变化。 我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸 有什么本质的不同 ,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性
,说明海岸线在形貌上是自相似的
,在空中拍摄的 100
也就是局部形态和整体态的相似。 在没有建筑物或其他东西作为参照物时
公里长的海岸线与放大了的 10公里长海岸线的两张照片 ,看上去会十分相似。事实上 ,具有自 相似性的形态广泛存在于自然界中 ,如 :连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子 运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层,, 曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形 体称为分形(fractal)。分形(Fractal) —词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支 离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。 由于不规则现象 在自然界是普遍存在的。 1975 年,他创立了分形几何学 (fractalgeometry) 。在此基础上 ,形成 了研究分形性质及其应用的科学 ,称为分形理论。
二、 分维
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线 看成一维。也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间， 要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，
但通常人们习惯于整 1919 年，数学家从测度的
数的维数。分形理论把维数视为分数， 这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要 引入的重角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
三、 混沌
1972 年 12 月 29 日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一
E.N. 洛伦兹在美
国科学发展学会第 139 次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬 的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提 出了天气的不可准确预报性。时至今日，这一论断仍为人津津乐道，更重要的是，它 激发了人们对混沌学的浓厚兴趣。今天，伴随计算机等技术的飞速进步，混沌学已发 展成为一门影响深远、发展迅速的前沿科学。
混沌学研究的是一种非线性科学，而非线性科学研究似乎总是把人们对
“ 正常”
事物“正常”现象的认识转向对 “反常”事物“反常”现象的探索。例如，孤波不是周期性 振荡的规则传播； “多媒体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大 量的“非常规”现象产生所采用的 “非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条 件严格确定系统未来运动的 “常规”，出现所谓各种 “奇异吸引子 ”现象等。
复杂性研究
一、复杂网络理论 在网络理论的研究中，复杂网络是由数量巨大的节点和节点之间错综复杂的关系共同构 成的网络结构。用数学的语言来说，就是一个有着足够复杂的拓扑结构特征的图。 复杂网络 具有简单网络，如晶格网络、随机图等结构所不具备的特性， 而这些特性往往出现在真实世 界的网络结构中。 复杂网络的研究是现今科学研究中的一个热点， 与现实中各类高复杂性系 统，如的互联网网络、神经网络和社会网络的研究有密切关系。
无论在社会科学、 生命科学还是信息科学中， 都存在着拥有十分复杂的拓扑结构特征的 网络结构。 这种网络结构的形式既不是完全规则， 也不是完全随机的， 例如在度分布中出现 肥尾现象，高
集聚系数，边与边之间的相称性或非相称性，社团结构与分级结构( hierarchy structure)等等。在有向图网络中，还会出现相互性，三角显著性等其它方面的特征。然而， 复杂网络的概念出现以前的数学网络模型并没有具备这样的特性。 最著名也是最常被研究的两类复杂网络模型是小世界网络与无尺度网络，
它们也是最为经典
的两类复杂网络模型。 前者的特性是度分布的幂定律递减， 后者的特性则是短特征路径长度 与高集聚系数。 此外， 随着复杂网络研究的不断深化与广泛， 各种具有其他特性的复杂网络 模型也开始受到注意。
、 CAS
复杂适应系统(CAS)，是指由大量的按一定规则或模式进行非线性相互作用的行为主体 所组成的动态系统。行为主体通过 “学习 ”产生适应性生存和发展策略，导致 CAS 进行创造 性演化。复杂适应系统有别于一般系统和复杂系统，关键在 “适应 ”。
CAS理论的核心思想 一一适应性造就复杂性霍兰在《隐秩序》一书的序言中开宗明义 地指出： 本书讨论的中心议题，是近来备受关注的一个领域：复杂性。 过程中，我把重点放在复杂性的一个侧面
……在写这本书的
一一围绕,复杂适应系统？研究。”〔3丨正因如此，
霍兰把 适应性造就复杂性”作为《隐秩序》一书的附标题，突出了其CAS理论的核心思想。 当然，造就复杂性的因素可能是多方面的， 所以霍兰强调适应性仅仅是造就复杂性的一个 “侧 面”，即适应性仅是产生复杂性的机制之一，并不排除还会有其他的产生复杂性机制。然而 由适应性产生的复杂性， 即所谓CAS确实是普遍存在的而又十分重要的复杂系统， 缺乏研究会 极大地阻碍我们去解决当今世界存在的一些重大问题 疑是复杂系统研究中的一个重要理论。
对它们
”。基于此，CAS理论无
新三论
一、 耗散结构论
普里戈金( I. Prigogine )从研究偏离平衡态热力学系统的输送过程入手，深入讨论离开 平衡态不远的非平衡状态的热力学系统的物质、 能量输送过程， 即流动的过程， 以及驱动此 过程的热力学力，并对这些流和力的线性关系做出了定量描述，指出非平衡系统(线性区) 演化的基本特征是趋向平衡状态，即熵增最小的定态。耗散结构理论指出，系统从无序 状态过渡到这种耗散结构有几个必要条件，一是系统必须是开放的，即系统必须与外 界进行物质、能量的交换；二是系统必须是远离平衡状态的，系统中物质、能量流和 热力学力的关系是非线性的；三是系统内部不同元素之间存在着非线性相互作用，并 且需要不断输入能量来维持。
二、 协同学论
协同论(synergetics)亦称 协同学\"或 协和学”，是20世纪70年代以来在多学科研究基 础上逐渐形成和发展起来的一门新兴学科 ，是系统科学的重要分支理论 。其创立者是联邦德 国斯图加特大学教授、著名物理学家哈肯( Hermann Haken)。 1971年他提出协同的概念， 1976 年系统地论述了协同理论。
协同论认为，千差万别的系统，尽管其属性不同，但在整个环境中，各个系统间存在 着相互影响而又相互合作的关系 。其中也包括通常的社会现象 ，如不同单位间的相互配合与 协作，部门间关系的协调，企业间相互竞争的作用，以及系统中的相互干扰和制约等。协同 论指出，大量子系统组成
的系统，在一定条件下，由于子系统相互作用和协作，这种系统会 研究内容， 可以概括地认为是研究从自然界到人类社会各种系统的发展演变 ，探讨其转变所 遵守的共同规律。应用协同论方法，可以把已经取得的研究成果，类比拓宽于其它学科，为 探索未知领域提供有效的手段， 还可以用于找出影响系统变化的控制因素， 进而发挥系统内 子系统间的协同作用。
三、突变论
突变论的创始人是法国数学家雷内托姆，他于 1972 年发表的《结构稳定性和形态 发生学》一书阐述了突变理论，荣获国际数学界的最高奖 --- 菲尔兹奖章。突变论的出 现引起各方面的重视，被称之为 “是牛顿和莱布尼茨发明微积分三百年以来数学上最 大的 ”。
突变论认为，系统所处的状态，可用一组参数描述。当系统处于稳定态时，标志 该系统状态的某个函数就取唯一的值。当参数在某个范围内变化，该函数值有不止一 个极值时，系统必然处于不稳定状态。雷内托姆指出：系统从一种稳定状态进入不稳 定状态，随参数的再变化，又使不稳定状态进入另一种稳定状态，那么，系统状态就 在这一刹那间发生了突变。突变论给出了系统状态的参数变化区域。
旧三论
一、系统论
系统思想源远流长，但作为一门科学的系统论，人们公认是美籍奥地利人、理论
生物学家 L.V. 贝塔朗菲( L.Von.Bertalanffy )创立的。他在 1952 年发表 “抗体系统论 ”， 提出了系统论的思想。 1937 年提出了一般系统论原理，奠定了这门科学的理论基础。
系统论认为，整体性、关联性，等级结构性、动态平衡性、时序性等是所有系统 的共同的基本特征。这些，既是系统所具有的基本思想观点，而且它也是系统方法的 基本原则，表现了系统论不仅是反映客观规律的科学理论，具有科学方的含义， 这正是系统论这门科学的特点。贝塔朗菲对此曾作过说明，英语 SystemApproach 直 译为系统方法，也可译成系统论，因为它既可代表概念、观点、模型，又可表示数学 方法。他说，我们故意用 Approach 这样一个不太严格的词，正好表明这门学科的性 质特点。
二、控制论
自从1948年诺伯特 维纳发表了著名的 《控制论一一关于在动物和机中控制和通讯的科 学》一书以来， 控制论的思想和方法已经渗透到了几乎有的自然科学和社会科学领域。 维纳 把控控制论制论看作是一门研究机器、 生命社会中控制和通讯的一般规律的科学， 是研究动 态系统在变的环境条件下如何保持平衡状态或稳定状态的科学。
在控制论中， “控制 ”的定义是：为了 “改善 ”某个或某些受控对象的功能或发展， 需要获得并使用信息， 以这种信息为基础而选出的、 于该对象上的作用， 就叫作控制。 由此可见，控制的基础是信息，一切信息传递都是为了控制，进而任何控制又都有赖 于信息反馈来实现。信息反馈是控制论的一个极其重要的概念。通俗地说，信息反馈 就是指由控制系统把信息输送出去，又把其作用结果返送回来，并对信息的再输出发 生影响，起到制约的作用，以达到预定的目的。
三、信息论
1948 年贝尔研究所的香农在题为《通讯的数学理论》的论文中系统地提出了关 于信息的论述，创立了信息论。维纳提出的关于度量信息量的数学公式开辟了信息论 的广泛应用前景。 1951 年美国无线电工程学会承认信息论这门学科。
信息论是运用概率论与数理统计的方法研究信息、 信息熵、 通信系统、 数据传输、 密码学、数据压缩等问题的应用数学学科。信息论将信息的传递作为一种统计现象来 考虑，给出了估算通信信道容量的方法。信息传输和信息压缩是信息论研究中的两大 领域。这两个方面又由信息传输定理、信源－信道隔离定理相互联系。
