2017届辽宁省葫芦岛市六校协作体高三上学期期初考试数学(文)试题

高三数学试题（文）

试卷满分150分 考试时间120分钟

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1.设全集U=R,集合M={x|lgx>0},N={x|2x<1},则下列集合运算正确的是( ) (A)M∩N=R (B)M∪N= (C)M∩CUN=M (D)N∪CUM=N --i|的取值范围是( ) 2.设|z|=1,则|z

(A)[0,2] (B)[0,2] (C)[1,2] (D)[1,2]

3.非零向量→a,→b,→c两两夹角相等,且|→a|=1,|→b|=2,|→c|=3,则|→a+→b+→c|=( ) (A)3 (B)5 (C)5或6 (D) 3或6 4.若tan=2,则sin2=( )

4433

(A) (B)- (C) (D)- 5544

5.设双曲线的实轴长小于虚轴长,又渐近线方程为2xy=0,则离心率是( ) (A) 3 (B)5 (C)

56

(D) 22



6.函数y=sin(x+-)的最小正周期为,且其图像向左平移单位得到的函数为奇函数,则

66的一个可能值是( ) (A)

a11 a12 a13 „ a1



(D)- 6

n 

(B)- (C) 336

a21 a22 a23 „ a2

7.如图,n2(n4,nN+)个数排成n行n列方阵. 符号aij(1in,1jn,I,jN+)表示位于第j列的数.已知每一行的数都成等差数每一列的数都成等比数列,且公比都是q. 11

若a11=,a24=1,a32=,则a28=( )

24

(A)4 (B) 3 (C) 2 (D)1

页

1第

n

„ „ „ „ „ 第i行 an1 an2 an3 „ an

n

列,

8.设点P(x,y)满足x2+y2-|x|-|y|=0,则P点的轨迹所围成的平面区域面积是( ) (A)+2 (B)+4 (C)2+2 (D)2+4

9.右图是从棱长为2的正方体中截出的几何体的三视图,则此几何 体的表面积是( )

(A)16 (B)13 (C)12+26 (D)8+46

10.设直线y=t与曲线y=lnx与直线y=2x分别交于M,N, (第9题图)

则|MN|的最小值是( ) (A)

1+ln21-ln21+ln21-ln2

(B) (C) (D) 2255

1

x+x (x>0)

11.设f(x)=-x-2x+1,g(x)= ,若函数y=g(f(x))-a恰有四个不同零点,

1开始 3-(2) (x0)

2

x

则a的取值范围是( )

555

(A)(2,+∞) (B)[2,) (C)(2,) (D)(,+∞)

22212.空间四点A,B,C,D都在球心为O的球面上,AD平面ABC,AD=2, AB=BC=CA=2,则球O的表面积是( )

322816 (A) (B) (C) (D)4

333输入n S=0,k=2 kn 是 1S=S+2 k-1k=k+2 结束 否 输出S

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,总计20分. 13.执行如图所示的程序框图,若输出的s=

5

,则输入的最小正整数n=_____(第13题图) 11

14.抛物线y2=2px(p>0)的焦点是F,准线为l,过F的直线且与抛物线交于A,B两点, 则以AB为直径的圆与直线l的公共点数目是_______



15.设a,bR,若函数f(x)=asinx+bcosx的最大值是M,且f()=1

3则M的最小值是_________

16.若不等式4x3-ax+10对一切x[-1,1]恒成立,则a的取值范围是______

页

2第

三、解答题：本大题共6小题,总计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分10分)

ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,已知a,b,c成等比数列. (1)求B的最大值B0;

(2)数列{an}满足:an=n2(cos2B0n-sin2B0n)(nN+),求数列{an}的前30项和S30. 18.(本题满分12分)

某市为了解今年高中毕业生的身体素质状况, 从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行实心 球测试,成绩在8米及以上的为合格.把所得数 据整理后,分成六组得到频率分布直方图的一部分 (如图).已知前五个小组的频率分别为

0.06,0.10,0.14,0.28,0.30.第六小组的频数是6. (1)求这次测试合格的人数;

(2)用分层抽样方法在第5、6组的学生中抽取容量为7的一个样本,将该样本看作一个总体,

从中抽取2人,求恰有一人在第六组的概率.

(3)经过多次测试发现,甲的成绩在810米之间,乙的成绩在910米之间 现两人各投一次,求甲投得比乙远的概率. 19.(本题满分12分)

在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD中点,O为AE中点, 以AE为折痕将ADE向上折起,得到四棱锥P-ABCE (折后的点D记为P),且PC=PB. (1)证明:PO平面ABCE

(2)过点C作此棱锥的截面CMN分别交AB,PB

于点M,N,使截面CMN∥平面PAE.试求(3)求三棱锥N-MBC的体积. 20.(本题满分12分)

13

中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆E过点(-3,)及(1,),两个焦点分别是F1,F2.

22(1)求椭圆E的方程;

→1PF→21,求P点横坐标的取值范围; (2)若点P在第一象限,且4PF

页

3第

0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0 5 6 7 8 9 10 11 米 频率 组距D O A E C

B

P E O A B C

PN

的值. NB

(3)过点Q(0,2)的直线l与椭圆E交于不同两点M,N,求MON面积的最大值.

21.(本题满分12分)

已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点A(e,f(e))处的切线斜率为3 (1)求a的值;

(2)求f(x)的单调区间;

(3)若不等式f(x)-kx+k>0对任意x(1,+∞)恒成立,求k的最大整数值.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分,做答时请写清题号.

22.(本题满分10分) 选修4－1《几何证明选讲》 已知A、B、C、D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线, AC∥DE,AC与BD相交于H点 (1)求证:BD平分∠ABC;

(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.

23.(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中,以原点为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线C:sin2=2acos(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程是 2x=-2+t2

(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N. 2

y=-4+t;2

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l关于极点对称的直线的极坐标方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值. 24.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

设函数f(x)=|x+1|+|x-5|,xR (1)求不等式f(x)x+10的解集;

2

(2)若不存在实数x使得f(x)页 4第

高三数学试题（文）参

一.选择题: CBDAB; DCACA; BB

二.填空题: 13.10 14.1; 15.1; 16.{3} 三.解答题

17.解(1)∵a,b,c成等比数列，∴b=ac

2

a+c-ba+c-aca+c122

cosB===-,∵a+c2ac,当且仅当a=c时取等号

2ac2ac2ac211

∴cosB1-=,∴B为锐角.而余弦函数减于(0,) 222



∴0332n2222

(2)由(1)知an=n(cosn-sinn)=ncos „„„„„„„„„„6分

3332n1111

注意到f(n)=cos的周期为3,其值依次为-,-,1,-,-,1,„

32222将{an}的前30项从第一项起每连续三项分为一组,则共有10组 152122

考虑第n组的三个数的和bn=-(3n-2)-(3n-1)+(3n)=9n-

222

故知{bn}成等差数列,∴S30=b1+b2+„+b10=470 „„„„„„„„„„10分

18.解:(1)依题知,第六组的频率为1-(0.06+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.12

6

∴测试总人数为=50(人) „„„„„„2分

0.12 第四、五、六组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.12)50=35(人) „„„„4分 (2)由(1)知,第5组有15人,第6组有6人，由于是分层抽样，容量为7 ∴应在第5组抽5人,第6组抽2人.

记第5组中的5人为a,b,c,d,e;第6组的两人为x,y

则基本事件有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,e),(b,x), (b,y),(c,d),(c,e),(c,x),(c,y),(d,e),(d,x),(d,y),(e,x),(e,y),(x,y) 共21种.而恰有1人在第6组的事件有:(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c, y) (d,x),(d,y),(e,x),(e,y)共10种

10

故所求的概率是p= „„„„„„„„„„„„„8分

21

8x10

(3)设甲乙各投一次的成绩分别为x,y米,则基本事件满足于

9y10

2222222

事件“甲投得比乙远”满足条件x>y

页 5第

0.5(10-9)(10-9)1

故所求概率为P== „„„„„„„„„„„„„P 12分 24

O A E F B C

19.解: 解:(1)由题意知,PA=PE,OA=OE,∴POAE

取BC中点F,连OF,PF,∴OF∥AB.∵ABBC,∴OFBC 又PB=PC,∴BCPF, OF∩PF=F,∴BC平面POF PO平面POF,∴BCPO

在直角梯形ABCE中,注意到AE与BC必然相交,∴PO平面ABCE „„„„„„6分 P (2)如图,∵截面CMN∥平面PAE,MC和AE是它们与平面ABCE的交线

∴AE∥MC,同理可得AP∥MN

又EC∥AB,∴四边形AMCE是平行四边形 ∴M是AB的中点

PN

在ABP中,MN∥AP,∴N是PB中点. 即=1 „„„„„10分

NB

(3)由已知及(1)(2)知,N到平面ABCE的距离是P到平面ABCE的距离PO=2的一半 11122

又SMBC=MBBC=22=2,∴VN-MBC=2= „„„„„„„„„„12分

22323=13m+n

41

20.解:(1)设椭圆方程为mx+ny=1,则,解得m=,n=1 34m+n=14

2

2

A O N M

E C

B x2

∴椭圆E的方程是+y=1 „„„„„„„„„„3分

4→PF→=4(x2+y2-3),据题知,4(x2+y2-3)1 (2) 解法一:设P(x,y),则4PF12

132213

x+y,因点P在第一象限,∴P点横坐标的取值范围是(0,]„„„„„„„6分

42

解法二:当P点在椭圆上时

由(1)知,c=3,不妨设F1(-3,0),F2(3,0),设P(x,y)

→PF→=(-3-x,-y)(3-x,-y)=x2+y2-3,∵x+y2=1,∴PF→PF→=3x-2 则PF1212

443x1

据题知, -2,解得-3x3

44

因点P在第一象限,∴P点横坐标的取值范围是(0,3] „„„„„„„5分 当P点不在椭圆上时

2

2

2

2

页 6第

→PF→=4(x2+y2-3),据题知,4(x2+y2-3)1 则4PF12

132213

x+y,因点P在第一象限,∴P点横坐标的取值范围是(3,]

42 综上所述,P点横坐标的取值范围是(0,

13

]„„„„„„„„6分 2

以上两种情况答对的就可以赋分。

(3)设直线l的方程为y=kx+2,代入椭圆方程,消去y整理得

(4k+1)x+16kx+12=0,由题意知，>04k-3>0 ① „„„„„„„„8分

设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得,x1+x2=-44k-3

∴|x1-x2|=(x1+x2)-4x1x2= 2

4k+1

2

22

2

2

16k12

,x1x2=2 2

4k+14k+1

144k-3

于是SMON=|OQ||x1-x2|= „„„„„„„„„„„„„„„10分 2

24k+1令t=4k-3,则4k=t+3,由①知,t>0 ∴SMON=

4t4

,∵t>0,∴t+4,当且仅当t=2时取等号, ∴SAOB1 2

t+4t

2

2

2

2

即AOB面积最大值是1 „„„„„„„„„„„„„„„12分 21. 解:(1)f(x)=lnx+a+1,由题意得,f(e)=3,即lne+a+1=3,∴a=1 „„„„2分 (2)由(1)知f(x)=x+xlnx,定义域为(0,+∞).f(x)=1+lnx, f(x)=0得,x=e

-2

易知,当x>e时,f(x)>0;当0-2

-2

∴f(x)的增区间是(e,+∞);减区间是(0,e) „„„„„„6分 x+xlnx

(3)由(1)知f(x)-kx+k>0k<对任意x>1恒成立

x-1x+xlnxx-2-lnx

令g(x)=,则g(x)=2 x-1(x-1)

x-1

令h(x)=x-2-lnx,则h(x)=>0,∴h(x)增于(1,+∞) „„„„„„8分

x 由于h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-2ln2>0,所以方程h(x)=0在(0,+∞)上有唯一根 设h(x0)=0,则x0(3,4) „„„„„„„„„10分 当1x0时,h(x)>0,g (x)>0 ∴g(x)在(1,x0)上是减函数,在(x0,+∞)上是增函数 于是g(x)min=g(x0)=

x0(1+lnx0)

=x0(3,4)

x0-1

-2-2

而由题应有k页

7第

故DBA=DBC,即BD平分∠ABC „„„„„„„„„„„„„5分 AHAB

(2)∵CAB=CDB,且DBA=DBC,∴ABH∽DBC,∴= CDBD

又EDC=DAC=DCA,∴AD=DC „„„„„„„„„„„8分 AHAB

∴=, ∵AB=4,AD=6,BD=8∴AH=3 „„„„„„„„„„„10分

ADBD23.解:(1)∵sin=2acos(a>0),当0时,sin=2acos,∴y=2ax(a>0) 当=0时,极点坐标(0,0)也适合上述方程

∴曲线C的直角坐标方程是y=2ax(a>0) „„„„„„„„3分

消去t得直线l的普通方程是x-y-2=0,∴其极坐标方程是cos-sin-2=0 故其关于极点对称的直线的极坐标方程是cos(+)-sin(+)-2=0 即=

2

„„„„„„„„5分

sin-cos

2

2

2

2

2

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程,消去x,y整理得 t-22(a+4)t+8(a+4)=0,∵a>0,∴=8(a+4)>0

设M,N对应的分别为t1,t2,则t1+t2=22(a+4),t1t2=8(a+4) ∴|MN|=|t1-t2|=8a(a+4),|PM||PN|=|t1t2|=8(a+4)

∵|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,∴|MN|=|PM||PN|,∴a=1„„„„„„„„10分

2

2

2

2

-2x+4 (x<-1)

24.解:(1)∵f(x)=6 (-1x<5) ∴

2x-4 (x5)

当x<-1时,-2x+4x+10x2,∴-2x<-1 当-1x<5时,6x+10x-4,∴-1x<5 当x5时,2x-4x+10x14,∴5x14

综上所述,不等式的解集是[-2,14] „„„„„„„„5分

(2)∵不存在实数x使f(x)设g(x)=a-(x-2),则问题等价于f(x)g(x)恒成立

易得当x=2时,g(x)max=a, 而由(1)可知,f(x)min=6,故只要6a即可 ∴实数a的取值范围是(-∞,6] „„„„„„„„10分

注：以上答案仅供参考,如有不当请批评指正！如有不同解法,请酌情赋分,谢谢!

2

2

2

页 8第