2022-2023学年陕西省榆林市绥德县七年级(下)期末数学试卷(含解析)

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

2．计算：﹣x4•（﹣x5）的结果是（　　）A．x9

B．﹣x9

C．x20

D．﹣x20

3．下列事件中，不是必然事件的是（　　）A．垂线段最短B．同位角相等

C．等腰三角形的两个底角相等D．三角形任意两边之和大于第三边

4．如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若AE＝3，则AC的长度为（　　）

A．3B．6C．9D．12

5．一副直角三角板按如图所示的方式放置，点E在边BC的延长线上，BE∥DF，∠B＝∠DEF＝90°，则∠CDE的度数为（　　）

A．30°B．25°C．20°D．15°

6．已知ab＝7，a﹣b＝5，则a2+b2的值为（　　）A．39

B．23

C．18

D．9

7．一根高18厘米的蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）（0≤t≤6）的关系如表，已知平均每小时蜡烛燃掉3厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）（0≤t≤6）之间的关系式是（　　）燃烧时间t（时）剩余的高度h（厘米）A．h＝18﹣t

B．h＝18+t

C．h＝18﹣3t

D．h＝18+3t

18

15

12

9

6

0

1

2

3

4

8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC，延长AE交BC的延长线于F，以下结论不正确的是（　　）

A．BC+AD＝ABC．E为CD的中点

B．BC＝CED．∠AEB＝90°

二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．我国自主研发的北斗导航系统的卫星上配置的新一代国产原子钟，其授时精度达到0.000000001秒，将0.000000001用科学记数法表示为 　 　．10．如图，某试验小组做了转动转盘，当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的试验，试验数据如下表：试验次数n“指针落在灰色区域内”的次数m“指针落在灰色区域内”的频率

0.3

0.275

0.25

0.2625

0.25

0.25

206

4011

6015

8021

10025

1000250

根据表格，可以估计出转动转盘一次，当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率是 　

　．（精确到百分位）

11．已知2x+5y+3＝0，则（2x）2•（25）y的值为 　 　．

12．如图，AB与OM相交于点A，与ON相交于点B，OP⊥AB，垂足为P，添加一个条件 　

　，使△AOP≌△BOP（填一个即可）．

13．如图，点N是四边形ABCD的DC边上一点，沿BN折叠四边形，使点C落在边AD上的点M处，再沿BM，NM折叠这个四边形，若点A，D恰好同时落在BN上的点P处，则∠MBN的度数为 　

　°．

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）14．计算：

．

15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠EOD＝42°，求∠AOC和∠COB的度数．

16．化简：（2x+1）（2x﹣1）﹣（8x3﹣4x2）÷2x．

17．如图，在四边形ABDC中，∠C＝90°，连接AD，且AD平分∠CAB，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝6，AE＝8，求四边形ACDE的面积．

18．如图，以直线l为对称轴，画出轴对称图形的另一半．

19．如图，已知△ABC，利用尺规作∠BAC的平分线AD交BC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）

20．如图，AD、AE分别为△ABC的高线和角平分线，∠B＝30°，∠ACD＝50°，求∠EAD的度数．

21．小明利用一根长3 m的竿子来测量路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选

一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD＝20°，此时测得BD＝11.2m．请根据这些数据，计算出路灯AB的高度．

22．笑笑做掷骰子游戏，她掷一枚质地均匀的骰子．（1）求笑笑掷出的点数小于1的概率；（2）求笑笑掷出的点数是质数的概率；（3）求笑笑掷出的点数不小于3的概率．

23．大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在0℃～15℃时，水的密度ρ（单位：kg/m3）随着温度t（单位：℃）的变化关系图象，看图回答问题．

（1）图中的自变量是什么？因变量是什么？（2）图中A点表示的意义是什么？

（3）当温度在0℃～15℃变化时，水的密度ρ是如何变化的？

24．如图，AB∥CD，点M、N分别在AB、CD上，点P、Q分别在∠AMN、∠DNM的内部，连接MP、PQ、QN，NQ平分∠MND．（1）若∠AMN＝60°，求∠DNQ的大小；（2）若∠P＝∠Q，求证：MP平分∠AMN．

25．如图，在某高铁站广场前有一块长为2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．

（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．

26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边上一点，E为AC延长线上的一点，CE＝CD，F为CB边上一点，连接EF，延长AD交EF于点K，EF⊥AK，过点D作直线DG⊥AB于G，延长GD交EF于点H，作GM平分∠AGH交AD于点M，过点M作MN∥AB交EF于点N，交GD于点O，交BC于点Q，MO＝NO，连接GN．（1）∠DHK与∠BAK相等吗？为什么？（2）试说明MD＝EH+NF．

参

一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

【分析】C根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，进行判断即可．

解：选项A，B，D找不到一条直线使图形两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项C可以找到这样一条直线，是轴对称图形；故选：C．

【点评】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．2．计算：﹣x4•（﹣x5）的结果是（　　）A．x9

B．﹣x9

C．x20

D．﹣x20

【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可．解：﹣x4•（﹣x5）＝x4+5＝x9．故选：A．

【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3．下列事件中，不是必然事件的是（　　）A．垂线段最短B．同位角相等

C．等腰三角形的两个底角相等D．三角形任意两边之和大于第三边

【分析】根据必然事件的定义进行逐一判断即可．解：A、垂线段最短，是必然事件，不符合题意；

B、两直线平行，同位角才相等，不是必然事件，符合题意；

C、等腰三角形的两个底角相等，是必然事件，不符合题意；D、三角形任意两边之和大于第三边，是必然事件，不符合题意；故选：B．

【点评】本题主要考查了事件的分类，垂线段最短，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形三边的关系，熟知必然事件的定义是解题的关键：在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件．

4．如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若AE＝3，则AC的长度为（　　）

A．3B．6C．9D．12

【分析】根据中线的性质即可求解．解：∵BE是△ABD的中线，∴AD＝2AE＝6，∵BD是△ABC的中线，∴AC＝2AD＝12，故选：D．

【点评】本题考查中线的性质，熟记知识点是关键．

5．一副直角三角板按如图所示的方式放置，点E在边BC的延长线上，BE∥DF，∠B＝∠DEF＝90°，则∠CDE的度数为（　　）

A．30°B．25°C．20°D．15°

【分析】根据题意可得∠ACB＝60°，∠EDF＝45°，再根据平行线的性质得出∠FDC＝∠ACB＝60°，即可求解．

解：∵△ABC，△EFD为直角三角板，∴∠ACB＝60°，∠EDF＝45°∵BE∥DF，

∴∠FDC＝∠ACB＝60°，

∴∠CDE＝∠FDC﹣∠EDF＝60°﹣45°＝15°，故选：D．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，角度的和差计算，解题的关键是掌握三角板各个角的度数；两直线平行，内错角相等．6．已知ab＝7，a﹣b＝5，则a2+b2的值为（　　）A．39

B．23

C．18

D．9

【分析】由完全平方公式变形得a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，结合条件就可求出a2+b2的值．

解：a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝52+2×7＝39，故选：A．

【点评】本题考查了完全平方公式：（a+b）2＝a2±2ab+b2．掌握公式是解题的关键．7．一根高18厘米的蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）（0≤t≤6）的关系如表，已知平均每小时蜡烛燃掉3厘米，则蜡烛点燃后剩余的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）（0≤t≤6）之间的关系式是（　　）燃烧时间t（时）剩余的高度h（厘米）A．h＝18﹣t

B．h＝18+t

C．h＝18﹣3t

D．h＝18+3t

18

15

12

9

6

0

1

2

3

4

【分析】蜡烛点燃后平均每小时燃掉3厘米，则t小时燃掉3t厘米，已知蜡烛的总高度，即可表达出剩余的高度．

解：∵蜡烛点燃后平均每小时燃掉3厘米，∴t小时燃掉3t厘米，由题意知：h＝18﹣3t故选：C．

【点评】本题考查的是函数关系式，与根据实际问题列方程解应用题具有共性，即都需要确定等量关系，不同点是函数关系是两个变量，而方程一般是一个未知数．

8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC，延长AE交BC的延长线于F，以下结论不正确的是（　　）

A．BC+AD＝ABC．E为CD的中点

B．BC＝CED．∠AEB＝90°

【分析】利用平行线的性质，以及角平分线的定义，得到∠BAF＝∠F，进而得到AB＝BF，利用三线合一，得到AE＝EF，BE⊥AF，证明△ADE≌△FCE，得到AD＝CF，CE＝DE，即可推出BC+AD＝AB，进行判断即可．解：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAF，∴∠BAF＝∠F，∴AB＝BF，∵BE平分∠ABC，∴AE＝EF，BE⊥AF，∴∠AEB＝90°，

∵∠DAE＝∠F，AE＝EF，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AD＝CF，CE＝DE，

∴E为CD的中点，BC+CF＝BC+AD＝BF＝AB；条件不足，无法证明BC＝CE；

故选项A，C，D选项正确，不符合题意；B选项错误，符合题意；故选：B．

【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握平行加角平分线，常常会出现等腰三角形，是解题的关键．二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）

9．我国自主研发的北斗导航系统的卫星上配置的新一代国产原子钟，其授时精度达到0.000000001秒，将0.000000001用科学记数法表示为 　1×10﹣9　．【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．解：0.000000001＝1×10﹣9；故答案为：1×10﹣9．

【点评】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法表示方法为a×10n，1≤|a|＜10，n为整数，是解题的关键．

10．如图，某试验小组做了转动转盘，当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的试验，试验数据如下表：试验次数n“指针落在灰色区域内”的次数m“指针落在灰色区域内”的频率

根据表格，可以估计出转动转盘一次，当转盘停止转动后，“指针落在灰色区域内”的概率是 　0.25　．（精确到百分位）

0.3

0.275

0.25

0.2625

0.25

0.25

206

4011

6015

8021

10025

1000250

【分析】根据图表的信息即可得出答案．

解：根据表格中数据可知，大多数的概率都在0.25左右，∴“指针落在灰色区域内”的概率是0.25，故答案为：0.25．

【点评】本题考查了估算概率，比较简单．

11．已知2x+5y+3＝0，则（2x）2•（25）y的值为 　　．

【分析】根据2x+5y+3＝0，得到2x+5y＝﹣3，利用整体思想代入求值即可．解：∵2x+5y+3＝0，∴2x+5y＝﹣3，

∴（2x）2⋅（25）y＝22x⋅25y＝22x+5y，＝

；

故答案为：．

【点评】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，负整数指数幂．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．

12．如图，AB与OM相交于点A，与ON相交于点B，OP⊥AB，垂足为P，添加一个条件 　OA＝OB（答案不唯一）　，使△AOP≌△BOP（填一个即可）．

【分析】添加OA＝OB，可根据SAS证明△AOP≌△BOP即可．解：添加OA＝OB，理由如下：∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP，在△AOP和△BOP中，

，

∴△AOP≌△BOP（SAS），

故答案为：OA＝OB（答案不唯一）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

13．如图，点N是四边形ABCD的DC边上一点，沿BN折叠四边形，使点C落在边AD上的点M处，再沿BM，NM折叠这个四边形，若点A，D恰好同时落在BN上的点P处，则∠MBN的度数为 　30　°．

【分析】根据折叠的性质可得∠C＝∠BMN，∠AMB＝∠PMB，∠DMN＝∠PMN，可知∠NMB＝90°，进一步可得∠C得度数，再根据折叠的性质及同旁内角互补两直线平行得出AB∥CD，从而可得∠ABC＝90°，根据折叠的性质，可知∠CBN＝∠MBN，∠AMB＝∠MBN，进一步可得∠MBN的度数．

解：根据折叠得性质，可得∠C＝∠BMN，∠AMB＝∠PMB，∠DMN＝∠PMN，∵∠DMN+∠PMN+∠BMP+∠AMP＝180°，∴∠NMB＝90°，∴∠DCB＝90°，

由折叠可知，∠BPM＝∠A，∠NPM＝∠D，∵∠BPM+∠NPM＝180°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠ABC＝90°，

根据折叠的性质，可知∠CBN＝∠MBN，∠AMB＝∠MBN，∴3∠MBN＝90°，∴∠MBN＝30°．故答案为：30．

【点评】本题考查了折叠的性质、平行线的判定及性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）14．计算：

．

【分析】先进行零指数幂，乘方，负整数指数幂的运算，再进行除法运算，最后算加

减．

解：原式＝1+27÷3﹣9＝1+9﹣9＝1．

【点评】本题考查零指数幂，负整数指数幂，含乘方的有理数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．

15．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠EOD＝42°，求∠AOC和∠COB的度数．

【分析】根据垂直的定义得到∠BOE＝90°，利用∠BOD＝∠BOE﹣∠EOD，求出∠BOD的度数，对顶角相等，得到∠AOC＝∠BOD，平角的定义求出∠COB．解：因为OE⊥AB，所以∠BOE＝90°．因为∠EOD＝42°，

所以∠BOD＝∠BOE﹣∠EOD＝90°﹣42°＝48°，所以∠AOC＝∠BOD＝48°，

所以∠COB＝180°﹣∠BOD＝180°﹣48°＝132°．

【点评】本题考查几何图形中求角度．正确地识图，理清角度之间和差关系是解题的关键．

16．化简：（2x+1）（2x﹣1）﹣（8x3﹣4x2）÷2x．

【分析】根据平方差公式及多项式除以单项式的运算法则化简，再计算加减即可．解：（2x+1）（2x﹣1）﹣（8x3﹣4x2）÷2x＝4x2﹣1﹣4x2+2x＝2x﹣1．

【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

17．如图，在四边形ABDC中，∠C＝90°，连接AD，且AD平分∠CAB，过点D作DE⊥AB于点E，若CD＝6，AE＝8，求四边形ACDE的面积．

【分析】根据垂线的定义及角平分线的性质可得∠CAD＝∠EAD，CD＝DE，利用AAS证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得出AC＝AE＝8，最后根据三角形的面积公式即可得出答案．解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°．

∵∠C＝90°，∠AED＝90°，AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD，CD＝DE．在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC＝AE＝8，∴

．

【点评】本题考查了垂线的定义、角平分线的性质以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．

18．如图，以直线l为对称轴，画出轴对称图形的另一半．

【分析】根据轴对称的性质，画图即可．解：画图如下．

．

【点评】本题考查画轴对称图形．熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．

19．如图，已知△ABC，利用尺规作∠BAC的平分线AD交BC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】根据要求作出图形即可．解：如图，射线AD即为所求．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．

20．如图，AD、AE分别为△ABC的高线和角平分线，∠B＝30°，∠ACD＝50°，求∠EAD的度数．

【分析】三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，角平分线求出∠BAE的度数，高线得到∠ADB＝90°，求出∠BAD的度数，再利用∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE，计算即可．解：在△ABC中，∠B＝30°，∠ACD＝50°．

所以∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．因为AE是∠BAC的平分线，

所以．

又因为AD是BC边上的高，所以∠ADB＝90°，所以∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，所以∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣50°＝10°．

【点评】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，三角形的高线的．熟练掌握相关定义，以及三角形的内角和是180°，是解题的关键．

21．小明利用一根长3 m的竿子来测量路灯AB的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使BP＝3m，并测得∠APB＝70°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3m）在BP的延长线上左右移动，使∠CPD＝20°，此时测得BD＝11.2m．请根据这些数据，计算出路灯AB的高度．

【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB＝DP＝DB﹣PB求出即可．

解：∵∠CPD＝20°，∠APB＝70°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝70°．在△CPD和△PAB中，

，

∴△CPD≌△PAB（ASA）．∴DP＝AB．

∵BD＝11.2m，BP＝3m，

∴DP＝BD﹣BP＝8.2m，即AB＝8.2m．答：路灯AB的高度是8.2m．

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．

22．笑笑做掷骰子游戏，她掷一枚质地均匀的骰子．

（1）求笑笑掷出的点数小于1的概率；（2）求笑笑掷出的点数是质数的概率；（3）求笑笑掷出的点数不小于3的概率．【分析】（1）根据概率公式进行求解即可；（2）根据概率公式进行求解即可；（3）根据概率公式进行求解即可．

解：（1）掷出的点数小于1的情况不存在，是不可能事件，∴P（笑笑掷出的点数小于1）＝0；

（2）掷出的点数共有6种等可能的结果，其中掷出的点数是质数的结果有2，3，5三种等可能的结果，∴

；

（3）掷出的点数共有6种等可能的结果，其中掷出的点数不小于3的结果有3，4，5，6四种等可能的结果，∴

．

【点评】本题考查求概率．熟练掌握概率公式，是解题的关键．

23．大自然中的大部分物质具有热胀冷缩现象，而水则具有反膨胀现象，如图所示是当温度在0℃～15℃时，水的密度ρ（单位：kg/m3）随着温度t（单位：℃）的变化关系图象，看图回答问题．

（1）图中的自变量是什么？因变量是什么？（2）图中A点表示的意义是什么？

（3）当温度在0℃～15℃变化时，水的密度ρ是如何变化的？

【分析】（1）横坐标为自变量，纵坐标为因变量，作答即可；（2）根据点的含义作答即可；

（3）根据图象进行作答即可．

解：（1）由图可知：自变量是温度t，因变量是水的密度ρ；（2）点A点表示当温度t＝4℃时，水的密度为ρ＝1000kg/m3；

（3）由图可知，当温度在0℃～4℃时，水的密度ρ逐渐增大；当温度在4℃～15℃时，水的密度ρ逐渐减小．

【点评】本题考查函数图象．正确的识图，从图象中有效的获取信息，是解题的关键．24．如图，AB∥CD，点M、N分别在AB、CD上，点P、Q分别在∠AMN、∠DNM的内部，连接MP、PQ、QN，NQ平分∠MND．（1）若∠AMN＝60°，求∠DNQ的大小；（2）若∠P＝∠Q，求证：MP平分∠AMN．

【分析】（1）由平行线的性质得到∠MND＝∠AMN＝60°，再由角平分线的性质即可得到

；

（2）先证明PM∥NQ得到∠MNQ＝∠PMN，再根据角平分线的定义证明

，进而证明

解：（1）∵AB∥CD，∠AMN＝60°，∴∠MND＝∠AMN＝60°，又∵NQ平分∠MND，∴

（2）∵∠P＝∠Q，∴PM∥NQ，∴∠MNQ＝∠PMN，∵NQ平分∠MND，∴

又∵AB∥CD，∴∠MND＝∠AMN，

，；

，即可证明MP平分∠AMN．

∴，

∴MP平分∠AMN．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．

25．如图，在某高铁站广场前有一块长为2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．

（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．

【分析】（1）根据长方形的面积列式并计算即可；

（2）根据“长为2a+b，宽为a+b的长方形空地，两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道”列式计算即可；

（3）把a＝200，b＝100代入（2）中得到结果计算即可．解：（1）（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，答：该长方形空地的面积为2a2+3ab+b2．

（2）（a+b﹣2b）（2a+b﹣3b）＝（a﹣b）（2a﹣2b）＝2a2﹣4ab+2b2．答：这两个长方形喷泉池的总面积为2a2﹣4ab+2b2．

（3）当a＝200，b＝100时，这两个长方形喷泉池的总面积为2a2﹣4ab+2b2＝2×2002﹣4×200×100+2×1002＝20000．

即这两个长方形喷泉池的总面积为20000．

【点评】此题考查了列代数式、多项式乘法的应用、代数式的值等知识，根据题意正确列出代数式是解题的关键．

26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边上一点，E为AC延长线上的一点，CE＝CD，F为CB边上一点，连接EF，延长AD交EF于点K，EF⊥AK，过点D作直

线DG⊥AB于G，延长GD交EF于点H，作GM平分∠AGH交AD于点M，过点M作MN∥AB交EF于点N，交GD于点O，交BC于点Q，MO＝NO，连接GN．（1）∠DHK与∠BAK相等吗？为什么？（2）试说明MD＝EH+NF．

【分析】（1）AK⊥EF，得到∠AKE＝90°，进而得到∠HDK+∠DHK＝90°，HG⊥AB，得到∠ADG+∠BAK＝90°，对顶角得到∠ADG＝∠HDK，即可得到∠DHK＝∠BAK；

（2）证明△ACD≌△FCE，得到AD＝FE，推出DG垂直平分MN，得到MG＝NG，证明△AMG≌△HNG，得到AM＝HN，进而得到MD＝AD﹣AM＝FE﹣HN＝EH+NF．解：（1）∠DHK＝∠BAK．理由如下：因为AK⊥EF，所以∠AKE＝90°，所以∠HDK+∠DHK＝90°．因为HG⊥AB，

所以∠ADG+∠BAK＝90°．因为∠ADG＝∠HDK，所以∠DHK＝∠BAK．

（2）因为∠ACB＝∠AKF＝90°，

所以∠CAD+∠ADC＝90°，∠KDF+∠CFE＝90°．因为∠ADC＝∠KDF，所以∠CAD＝∠CFE．在△ACD和△FCE中，

因为∠CAD＝∠CFE，∠ACD＝∠ECF，CD＝CE，所以△ACD≌△FCE（AAS），所以AD＝FE．因为MN∥AB，

所以∠MOD＝∠AGH＝90°，∠AGM＝∠GMN．因为OM＝ON，

所以DG垂直平分MN，所以MG＝NG．因为∠AGH＝90°，GM平分∠AGH，

所以∠AGM＝∠GMN＝45°，∠AGM＝∠HGN＝45°．由（1）可知，∠DHK＝∠BAK，即∠MAG＝∠NHG．在△AMG和△HNG中，

因为∠MAG＝∠NHG，∠AGM＝∠HGN，MG＝NG，所以△AMG≌△HNG（AAS），所以AM＝HN．因为AD＝FE，

所以MD＝AD﹣AM＝FE﹣HN＝EH+NF．

【点评】本题考查三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质．熟练掌握相关知识点，从复杂图形中得到线段和角之间的等量关系，证明三角形全等，是解题的关键．