高考真题2013年

高考真题2013年

一、单选题

1.（2013•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，

，则（ ）

A. A∩B=∅ B. A∪B=R C. B⊆A D. A⊆B 2.（2013•新课标Ⅰ）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（ ） A. ﹣4 B.

C. 4 D.

3.（2013•新课标Ⅰ）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）

A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 4.（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C： （ ） A. y=

B. y=

C. y=±x D. y=

（a＞0，b＞0）的离心率为

，则C的渐近线方程为

5.（2013•新课标Ⅰ）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）

A. [﹣3，4] B. [﹣5，2] C. [﹣4，3] D. [﹣2，5]

6.（2013•新课标Ⅰ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ） A.

B.

C.

D.

7.（2013•新课标Ⅰ）设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若Sm﹣1=﹣2，Sm=0，Sm+1=3，则m=（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

- 1 -

8.（2013•新课标Ⅰ）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A. 16+8π B. 8+8π C. 16+16π D. 8+16π

9.（2013•新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10.（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E：

的右焦点为F（3，0），过点F的直线交

椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ） A.

B.

C.

D.

11.（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）= ，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）

A. （﹣∞，0] B. （﹣∞，1] C. [﹣2，1] D. [﹣2，0]

12.（2013•新课标Ⅰ）设△AnBnCn的三边长分别为an ， bn ， cn ， △AnBnCn的面积为Sn ， n=1，2，3…若b1＞c1 ， b1+c1=2a1 ， an+1=an ，

，

，则（ ）

A. {Sn}为递减数列 B. {Sn}为递增数列

C. {S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D. {S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列

二、填空题

13.（2013•新课标Ⅰ）已知两个单位向量 t=________．

14.（2013•新课标Ⅰ）若数列{an}的前n项和为Sn=

an+

，则数列{an}的通项公式是an=________．

，

的夹角为60°，

=t

+（1﹣t）

．若

•

=0，则

15.（2013•新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=________． 16.（2013•新课标Ⅰ）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为________．

三、综合题

- 2 -

17.（2013•新课标Ⅰ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°， （1）若

，求PA；

，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°

（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．

18.（2013•新课标Ⅰ）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°． （1）证明AB⊥A1C；

（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

19.（2013•新课标Ⅰ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 件产品是否为优质品相互． （1）求这批产品通过检验的概率；

（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．

，且各

- 3 -

20.（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C． （1）求C的方程；

（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

21.（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2． （1）求a，b，c，d的值；

（2）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．

22.（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣4：坐标系与参数方程） 已知曲线C1的参数方程为

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐

标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ． （1）把C1的参数方程化为极坐标方程； （2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

23.（2013•新课标Ⅰ）（选修4﹣5：不等式选讲） 已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （2）设a＞﹣1，且当

时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

- 4 -

答案解析部分

一、单选题 1.【答案】B

【考点】并集及其运算，一元二次不等式的解法

2

【解析】【解答】解：∵集合A={x|x﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，

∴A∩B={x|2＜x＜ 故选B．

或﹣ ＜x＜0}，A∪B=R，

【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B． 2.【答案】D

【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模

【解析】【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z= 故z的虚部等于 故选：D．

【分析】由题意可得 z= 可得z的虚部． 3.【答案】C

【考点】分层抽样方法

【解析】【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．

了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理． 故选：C．

【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 4.【答案】D

【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：由双曲线C： 则离心率e=

=

= x=

22

，即4b=a ，

= = = + i，

，

= ，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为 + i，由此

（a＞0，b＞0），

故渐近线方程为y=± 故选：D．

x，

22

【分析】由离心率和abc的关系可得b=4a ， 而渐近线方程为y=±

x，代入可得答案．

5.【答案】A

- 5 -

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，程序框图 【解析】【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得： 函数分为两段，即t＜1与t≥1， 又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；

2

不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t

故分段函数的解析式为：s= ，

如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象， 则输出的s属于[﹣3，4]． 故选A．

【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式． 6.【答案】A

【考点】球的体积和表面积

【解析】【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M， 则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．

设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，

222

而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R=（R﹣2）+4 ，

解出R=5，

∴根据球的体积公式，该球的体积V= 故选A．

=

=

．

- 6 -

【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积． 7.【答案】C

【考点】等差数列的前n项和，等差数列的性质 【解析】【解答】解：am=Sm﹣Sm﹣1=2，am+1=Sm+1﹣Sm=3， 所以公差d=am+1﹣am=1， Sm=

=0，得a1=﹣2，

所以am=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5， 故选C．

进而得到公差d， 再【分析】由an与Sn的关系可求得am+1与am ，由前n项和公式及Sm=0可求得a1 ，由通项公式及am=2可得m值． 8.【答案】A

【考点】由三视图求面积、体积

【解析】【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4． ∴长方体的体积=4×2×2=16， 半个圆柱的体积=

×22×π×4=8π

所以这个几何体的体积是16+8π； 故选A．

【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积． 9.【答案】B

【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用

- 7 -

【解析】【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=

，

=

．

2m+1

同理，由（x+y）展开式的二项式系数的最大值为b，可得 b=

2m

再由13a=7b，可得13 =7 ，即 13× =7× ，

即 13=7× 故选：B．

，即 13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，

【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值． 10.【答案】D

【考点】椭圆的标准方程

【解析】【解答】解：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），

代入椭圆方程得 ，

相减得 ，

∴ ．

∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2， = = ．

∴ ，

22

，解得a=18，b=9．

22

化为a=2b ， 又c=3=

∴椭圆E的方程为 故选D．

．

【分析】设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），代入椭圆方程得

，利用“点差法”可得

．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得

- 8 -

= = ．于是得到

22

，化为a=2b ， 再利用c=3=

，即

22

可解得a ， b ． 进而得到椭圆的方程．

11.【答案】D

【考点】其他不等式的解法

【解析】【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，

由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x﹣2x， 求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2， 故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0] 故选：D

【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围． 12.【答案】B

【考点】数列的函数特性，数列递推式

【解析】【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1 ， ∴2a1﹣c1＞c1 ， ∴a1＞c1 ， ∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1 ， 又b1﹣c1＜a1 ， ∴2a1﹣c1﹣c1＜a1 ， ∴2c1＞a1 ， ∴ 由题意，

+an ， ∴bn+1+cn+1﹣2an=

， （bn+cn﹣2an），

2

∴bn+cn﹣2an=0，∴bn+cn=2an=2a1 ， ∴bn+cn=2a1 ， 又由题意，bn+1﹣cn+1=

，∴

=a1﹣bn ，

∴bn+1﹣a1= ∴ ∴

，∴bn﹣a1= ，

，cn=2a1﹣bn=

，

- 9 -

[

]

][

= [ ﹣ ]单调递增（可证当n=1时 ＞0）

故选B．

【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的边BnCn为定值a1 ， 由bn+1+cn+1﹣2a1=

及b1+c1=2a1

得bn+cn=2a1 ， 则在△AnBnCn中边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值， 由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，根据bn+1﹣cn+1=

，得bn﹣cn=

，可知n→+∞时bn→cn ， 据此可判断△AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大

而增大，再由三角形面积公式可得到答案． 二、填空题 13.【答案】2

【考点】平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：∵ ∴tcos60°+1﹣t=0，∴1 故答案为2． 【分析】由于

•

=0，对式子

=t

+ （1﹣t）

两边与

作数量积可得

=0，

，

=0，解得t=2．

，∴

=0，

经过化简即可得出． 14.【答案】（﹣2）n﹣1 【考点】等比数列的通项公式 【解析】【解答】解：当n=1时，a1=S1= 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（ 整理可得

，即

）﹣（ =﹣2，

，解得a1=1

）=

，

故数列{an}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，

n1n1故当n≥2时，an=（﹣2）﹣=（﹣2）﹣

经验证当n=1时，上式也适合，

n1

故答案为：（﹣2）﹣

【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案． 15.【答案】-

- 10 -

【考点】两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域 =sinx﹣2cosx= 【解析】【解答】解：f（x）sinα=

），

（

sinx﹣

cosx）=

sin（x﹣α）（其中cosα=

，

∵x=θ时，函数f（x）取得最大值， ∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=

22

又sinθ+cosθ=1，

，

联立得（2cosθ+ 故答案为：﹣

22

）+cosθ=1，解得cosθ=﹣

．

，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函

22

，与sinθ+cosθ=1联立即可求出cosθ的值．

【分析】f（x）解析式提取

数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ= 16.【答案】16

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，函数与方程的综合运用

22

【解析】【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x）（x+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，

∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，

2222

即[1﹣（﹣3）][（﹣3）+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）][（﹣5）+a•（﹣5）+b]=0，

解之得 ，

22432

因此，f（x）=（1﹣x）（x+8x+15）=﹣x﹣8x﹣14x+8x+15，

求导数，得f′（x）=﹣4x﹣24x﹣28x+8， 令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣ 当x∈（﹣∞，﹣2﹣ 当x∈（﹣2，﹣2+

，x2=﹣2，x3=﹣2+

，

，﹣2）时，f′（x）＜0； ，+∞）时，f′（x）＜0

，﹣2）、（﹣

32

）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣ ）时，f′（x）＞0； 当x∈（﹣2+

）、（﹣2，﹣2+

∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣ 2+

，+∞）上是减函数．

）=f（﹣2+

）上是增函数，在区间（﹣2﹣

又∵f（﹣2﹣ ）=16，

∴f（x）的最大值为16． 故答案为：16．

【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=

432

﹣x﹣8x﹣14x+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣

）、（﹣2，

- 11 -

﹣2+ ）上是增函数，在区间（﹣2﹣ ，﹣2）、（﹣2+ ，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣ ）

=f（﹣2+ 三、综合题

）=16，即可得到f（x）的最大值．

17.【答案】（1）解：在Rt△PBC中，

222

在△PBA中，由余弦定理得PA=PB+AB﹣2PB•ABcos30°=

= ，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．

= ．

∴PA= ．

（2）解：设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα． 在△PBA中，由正弦定理得

，即

，

化为 ．∴

【考点】正弦定理，余弦定理

【解析】【分析】（1）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（2）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得

，即

，化简即可求出．

18.【答案】（1）解：取AB的中点O，连接OC，OA1 ， A1B， 因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1 ， ∠BAA1=60°， 所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB， 又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C， 又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；

（2）解：由（1）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB， 所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1 ， OC两两垂直． 以O为坐标原点，

的方向为x轴的正向，|

|为单位长，建立如图所示的坐标系，

），B（﹣1，0，0）， ，0），

=（0，﹣

，

），

可得A（1，0，0），A1（0， 则

=（1，0，

），

，0），C（0，0，

=（﹣1，

设

=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则 ，即 ，

- 12 -

可取y=1，可得 =（ ，1，﹣1），故cos＜ ， ＞= =- ，

又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值， 故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：

．

【考点】直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，用空间向量求直线与平面的夹角

【解析】【分析】（1）取AB的中点O，连接OC，OA1 ， A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（2）易证OA，OA1 ， OC两两垂直．以O为坐标原点， |

|为单位长，建立坐标系，可得

，

，

的坐标，设

的方向为x轴的正向，

=（x，y，z）为平面BB1C1C的法

向量，则 ，可解得 =（ ，1，﹣1），可求|cos＜ ， ＞|，即为所求正弦值．

19.【答案】（1）解：设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1 ， 第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2 ，

第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1 ， 第二次取出的1件产品是优质品为事件B2 ， 这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥， 所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2） =

=

，P（X=500）=

，

（2）解：X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）= P（X=400）=1﹣ X P 故EX=400×

+500×

﹣

= 400 ，故X的分布列如下：

500 800 +800× =506.25

【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差

- 13 -

【解析】【分析】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1 ， 第一次取出的4件产品 第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1 ， 第二次取出的1件产品是优质全是优质品为事件A2 ，

品为事件B2 ， 这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（2）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．

20.【答案】（1）解：由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3． 设动圆的半径为R，

∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，

而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，

222

∴a=2，c=1，b=a﹣c=3．

∴曲线C的方程为 （x≠﹣2）．

（2）解：设曲线C上任意一点P（x，y），

由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程

22

为（x﹣2）+y=4．

①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=2 ．

②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行， 设l与x轴的交点为Q，则

，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），

由l于M相切可得： ，解得 ．

当 时，联立

2

，得到7x+8x﹣8=0．

∴ ， ．

∴|AB|= = =

由于对称性可知：当 时，也有|AB|= ．

综上可知：|AB|=2 或 ．

【考点】轨迹方程，直线与圆的位置关系

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【解析】【分析】（1）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，当且仅当⊙P

22

的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）+y=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重

合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据

，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数

的关系利用弦长公式即可得出．

21.【答案】（1）解：由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，

x

而f′（x）=2x+a，g′（x）=e（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，

从而a=4，b=2，c=2，d=2；

2x

（2）解：由（1）知，f（x）=x+4x+2，g（x）=2e（x+1）

x

2

设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke（x+1）﹣x﹣4x﹣2， 则F′（x）=2ke（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke﹣1）， 由题设得F（0）≥0，即k≥1， 令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，

2

①若1≤k＜e ， 则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1 ， +∞）时，F′（x）

x

x

＞0，

即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1 ， +∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1）， 而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．

22x2

②若k=e ， 则F′（x）=2e（x+2）（e﹣e﹣），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，

即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．

22x2

③若k＞e时，F′（x）＞2e（x+2）（e﹣e﹣），

2

而F（﹣2）=﹣2ke﹣+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立， 2

综上，k的取值范围是[1，e]．

【考点】函数恒成立问题，利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】（1）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（2）由（1）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．

22.【答案】（1）解：曲线C1的参数方程式

22

得（x﹣4）+（y﹣5）=25即为圆C1的普通方程， 22

即x+y﹣8x﹣10y+16=0．

（t为参数），

将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．

ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；

22

（2）解：曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x+y﹣2y=0，

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由 ，解得 或 ．

∴C1与C2交点的极坐标分别为（

， ），（2， ）．

【考点】极坐标刻画点的位置，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程

22

【解析】【分析】（1）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sint+cost=1即可得到圆C1的普通方程；

再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（2）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．

23.【答案】（1）解：当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．

设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则 y= ，它的图象如图所示：

结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）． （2）解：设a＞﹣1，且当 都成立． 故﹣

≥a﹣2，解得 a≤

，故a的取值范围为（﹣1，

]．

时，f（x）=1+a，不等式化为 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2对

【考点】函数单调性的性质，绝对值不等式的解法

【解析】【分析】（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（2）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2对

都成立．故﹣

≥a﹣2，由此解得a的取值范围．

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