指数函数习题(含答案)

一、选择题

1．(2011·济南模拟)定义运算a⊗b＝

a a≤bba>b

，则函数f(x)＝1⊗2的图象大致为( )

x2．函数f(x)＝x－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b)与f(c)的大小关系是( )

xxA．f(b)≤f(c)

xxB．f(b)≥f(c)

xxC．f(b)>f(c)

D．大小关系随x的不同而不同

x3．函数y＝|2－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是( ) A．(－1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－1,1) D．(0,2)

4．设函数f(x)＝ln[(x－1)(2－x)]的定义域是A，函数g(x)＝lg(a－2－1)的定义域是B，若A⊆B，则正数a的取值范围( ) A．a>3 B．a≥3 C．a>5

D．a≥5

xx2xx3－ax－3，x≤7，

5．已知函数f(x)＝x－6

a，x>7.

若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N)，且{an}是递

*

增数列，则实数a的取值范围是( ) 9

A．[，3)

4C．(2,3)

9

B．(，3)

4D．(1,3)

12x6．(2011·龙岩模拟)已知a>0且a≠1，f(x)＝x－a，当x∈(－1,1)时，均有f(x)<，则2实数a的取值范围是( ) 1

A．(0，]∪[2，＋∞)

21

C．[，1)∪(1,2]

2二、填空题

7．函数y＝a(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________．

28．若曲线|y|＝2＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．

|x|

9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x1，x2](x1xx

1

B．[，1)∪(1,4]

41

D．(0，)∪[4，＋∞)

4

a10．求函数y＝2x23x4的定义域、值域和单调区间．

2xx11．(2011·银川模拟)若函数y＝a＋2a－1(a>0且a≠1)在x∈[－1,1]上的最大值为14，求a的值．

xaxx12．已知函数f(x)＝3，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3－4的定义域为[0,1]． (1)求a的值；

(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．

a a≤b

1.解析：由a⊗b＝

ba>b

2 x≤0，x得f(x)＝1⊗2＝

1 x>0.

x

答案：A

2. 解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2. 又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．

xxxx若x≥0，则3≥2≥1，∴f(3)≥f(2)．

xxxx若x<0，则3<2<1，∴f(3)>f(2)．

xx∴f(3)≥f(2)． 答案：A

x3.解析：由于函数y＝|2－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k＋1)内不单调，所以有k－1<0xxxx4. 解析：由题意得：A＝(1,2)，a－2>1且a>2，由A⊆B知a－2>1在(1,2)上恒成立，即ax－2x－1>0在(1,2)上恒成立，令u(x)＝ax－2x－1，则u′(x)＝axlna－2xln2>0，所以函数u(x)在(1,2)上单调递增，则u(x)>u(1)＝a－3，即a≥3. 答案：B

*

5. 解析：数列{an}满足an＝f(n)(n∈N)，则函数f(n)为增函数，

a>18－6

注意a>(3－a)×7－3，所以3－a>0

a8－6>3－a×7－3

答案：C

，解得212x121x1x2

6. 解析：f(x)<⇔x－a<⇔x－2222

1－1

当a>1时，必有a≥，即1211

当0221

综上，≤a<1或12答案：C

a3x2x7. 解析：当a>1时，y＝a在[1,2]上单调递增，故a－a＝，得a＝.当0在[1,2]上单调递减，故a－a＝，得a＝.故a＝或.

2222

13答案：或 22

8. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．

曲线|y|＝2＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． 答案：[－1,1]

9. 解析：如图满足条件的区间[a，b]，当a＝－1，b＝0或a＝0，b＝1时区间长度最小，最小值为1，当a＝－1，b＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：1

22

10. 解：要使函数有意义，则只需－x－3x＋4≥0，即x＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1. ∴函数的定义域为{x|－4≤x≤1}．

322522

令t＝－x－3x＋4，则t＝－x－3x＋4＝－(x＋)＋，

24

253

∴当－4≤x≤1时，tmax＝，此时x＝－，tmin＝0，此时x＝－4或x＝1.

422552

∴0≤t≤.∴0≤－x－3x＋4≤.

42∴函数y＝()xx12x23x4的值域为[

2

，1]． 8

32252

由t＝－x－3x＋4＝－(x＋)＋(－4≤x≤1)可知，

243

当－4≤x≤－时，t是增函数，

23

当－≤x≤1时，t是减函数．

2根据复合函数的单调性知：

y＝()12x23x433

在[－4，－]上是减函数，在[－，1]上是增函数．

22

33

∴函数的单调增区间是[－，1]，单调减区间是[－4，－]．

22

11. 解：令a＝t，∴t>0，则y＝t＋2t－1＝(t＋1)－2，其对称轴为t＝－1.该二次函数

在[－1，＋∞)上是增函数．

1x2

①若a>1，∵x∈[－1,1]，∴t＝a∈[，a]，故当t＝a，即x＝1时，ymax＝a＋2a－1＝14，

x2

2

a解得a＝3(a＝－5舍去)． ②若011x∴t＝a∈[a，]，故当t＝，即x＝－1时，

aaymax＝(＋1)2－2＝14.

a11

∴a＝或－(舍去)．

351综上可得a＝3或.

3

12. 解：法一：(1)由已知得3＝18⇒3＝2⇒a＝log32.

xx(2)此时g(x)＝λ·2－4，

设0≤x1因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，

所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)>0恒成立，即λ<2x2＋2x1恒成立．

00

由于2x2＋2x1>2＋2＝2，

所以实数λ的取值范围是λ≤2. 法二：(1)同法一．

xx(2)此时g(x)＝λ·2－4，

因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，

xx所以有g′(x)＝λln2·2－ln4·4＝ln2[－2·(2x)2＋λ·2x]≤0成立．

x2

设2＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u＋λu≤0恒成立． 因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立，

所以实数λ的取值范围是λ≤2.

a＋2

a1