创新型问题
【方法综述】 创新型问题主要包括：
（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）. （Ⅱ）创新性问题
①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键. ②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.
③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解. 【解题策略】 类型一 实际应用问题
【例1】【北京市西城区2019届高三4月一模】团体购买公园门票，票价如下表： 购票人数 门票价格 1~50 13元/人 51~100 11元/人 100以上 9元/人 ，若按部门作
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b
为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数【答案】70 40 【解析】
∵990不能被13整除，∴两个部门人数之和：a+b≥51， （1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，① 由共需支付门票费为1290元可知，11a+13b＝1290 ② 解①②得：b＝150，a＝﹣60，不符合题意．
（2）若a+b≥100，则9 （a+b）＝990，得 a+b＝110 ③ 由共需支付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，
____；
____.
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得11a+13b＝1290 ④， 解③④得：a＝70人，b＝40人， 故答案为：70，40．
【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．
【举一反三】2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入月球球F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：
①a1c1a2c2 ②a1c1a2c2 ③c1a2a1c2 ④其中正确的式子的序号是（ ）
c1c2 a1a2
A． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④ 【答案】B
类型二 创新性问题
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【例2】【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试】定义在
，若对任意
上的“追逐函数”.若
，存在
，使得
是
上的函数，单调递增，是
在
成立，则称在
，则下列四个命题：①上的“追逐函数”；②
若
函数”；④当个数为（ ） A．①③ 【答案】B 【解析】 对于①，可得
是在时，存在
上的“追逐函数”，则，使得
是
；③在
是在上的“追逐
上的“追逐函数”.其中正确命题的
B．②④ C．①④ D．②③
，
存在
在是递增函数，，使得
，此时当k=100时，不存在
，若成立，即，故①错误；
是在
上的“追逐函数”；则
对于②，若
，当则设函数即
，则存在
时，
是，
在上的“追逐函数”，此时在
，即
，解得
是递增函数，若是“追逐函数”
，
，所以②正确；
对于③，在存在
是递增函数，，使得
，若成立，即
是在上的
“追逐函数”；则
，当k=4时，就不存在
对于④，当t=m=1时，就成立，验证如下：
，
逐函数”；则
在存在
是递增函数，
，使得
，故③错误；
，若成立，
是在上的“追
即
此时
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取即故选B
，故存在存在
，所以④正确；
【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略． 【例3】【安徽省宣城市2019届高三第二次调研】数列
的前项和为，定义
的“优值”为
，现已知的“优值”，则_________.
【答案】【解析】
解：由＝2，
n得a1+2a2+…+2n﹣1an＝n•2n，①
n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2an﹣1＝（n﹣1）•2n﹣1，②
①﹣②得2
n﹣1
an＝n•2n﹣（n﹣1）•2n﹣1＝（n+1）•2n﹣1，即an＝n+1，
对n＝1时，a1＝2也成立，
所以 .
【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 【举一反三】【2019年3月2019届高三第一次全国大联考】若数列存在②
；③
，使得；④
B．个
，则称数列
满足：对任意的
且
，总；
是“数列”．现有以下四个数列：①
．其中是“数列”的有( )
C．个
D．个
A．个 【答案】C
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【解析】 令令令令
是“数列”．
综上，“数列”的个数为． 本题选择C选项.
2.【江西师范大学附属中学2019高三上期末】 已知
，
①使②函数
．定义
成立的的取值范围是的定义域为，值域为
；
表示不超过实数的最大整数(
)，如：
，
，则，则，则
，，，则
，，
，所以数列，所以，所以
是“数列”；
，所以数列，所以数列
不是“数列”； 不是“数列”；
，所以数列
，给出如下命题：
；
③
其中正确的命题有( ) A．0个 【答案】B 【解析】 ①由
，
，所以，当
B．1个
．
C．2个 D．3个
；x<2或时.
②当x为整数时所以③因为=
所以n为偶数时=
n为奇数时
的值域为[0,1).
时，[x]=n，
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=所以=
=1010
综上，只有命题①正确，故选B. 【强化训练】 一、选择题
1．【北京市顺义区2019届高三第二次统练】已知集合
，使得
，若对于
，
成立，则称集合是“互垂点集”．给出下列四个集合： ； ；
；
．
其中是“互垂点集”的集合为 A．
,
B．
,
C．
,
D．
,
【答案】D 【解析】 设：当
，为
上任意一点
使得：
，即
，此时无解，可知
不是“互垂点
时，需存在
集”，可排除和选项； ：当
时，需存在
使得：
，即
，无意义，可知
不是“互垂点集”，
可排除选项； 本题正确选项：
2．【安徽省江南十校2019届高三3月检测】计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应.现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第个0和第
个0之间有
个1（
），即
，则该数的所有数字之和为（ ） ．．．．
A．1973 【答案】C 【解析】
B．1974 C．1975 D．1976
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将数字从左只有以为分界进行分组 第一组为第二组为第三组为数字共则前
，数字和为； ，数字之和为；
，数字之和为；以此类推 位，则，前位数字之和为：
组共有
位
剩余数位为：则所有数字之和为：本题正确选项：
3．【北京市第四中学2019届高三高考调研卷（二)】若函数
，其坐标满足条件：
函数”，则下列函数：①
其中为“柯西函数”的个数为 （ ） A．1 【答案】B 【解析】
由柯西不等式得对任意的实数
都有
B．2
C．3 ；②
在其图象上存在不同的两点
的最大值为0，则称；③
；④
为“柯西
．
D．4
≤0，
当且仅当时取等，此时即A,O,B三点共线，
结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数f(x)的图像上存在两点A与B，使得A,O,B三点共线过原点直线与f(x)有两个交点. ①
,画出f(x)在x＞0时，图像若f(x)与直线y=kx有两个交点，则必有k≥2，此时，
，所以
西函数； ②
，曲线
（x＞0），此时仅有一个交点，所以不是柯
过原点的切线为，又（e,1）不是f(x)图像上的点，不是；
故f(x)图像上不存在两点A,B与O共线，所以函数
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③故选：B
；④．显然都是柯西函数.
4．【北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第一次模拟】正方形在边
上，
的边长为1，点在边上，点
．动点从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角
等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为( ) A．4 【答案】D 【解析】
B．3
C．8
D．6
根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，
在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G， G在DA上，且DG
，
， ， ，
第三次碰撞点为H，H在DC上，且DH第四次碰撞点为M，M在CB上，且CM第五次碰撞点为N，N在DA上，且AN第六次回到E点，AE故需要碰撞6次即可． 故选：D．
．
5．【山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次诊断】设函数
，使
；
对一切实数均成立，则称
；
的定义域为，若存在常数
；
为“倍约束函数”现给出下列函数：
是定义在实数集上的奇函数，且对一切，均有
其中是“倍约束函数”的序号是
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A．【答案】D 【解析】
B． C． D．
对于①，是任意正数时都有对于②，对于③，要使
，
成立，即
，，即
是倍约束函数，故①正确；
，不存在这样的对一切实数均成立，故②错误； ，当
时，可取任意正数；当
时，只须
，因为，所以故③正确．
对于④，是定义在实数集上的奇函数，故成立，存在
，使
是偶函数，因而由
对一切实数均成立，符合题意，故正确．
得到，
本题正确选项：
6．【湖南省岳阳市2019届高三二模】已知
，则称函数
与
互为“度零点函数”.若
与
，若存在
，使
互为“1度零点
函数”，则实数的取值范围为（ ） A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】 由题意可知所以函数即函数由令所以
在区间
，得
，
上单调递增，在区间，且
在上单调递减，
只有一个零点. ，得
. 在区间
.
，
上单调递减，
上存在零点，
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，
所以只需故选B.
7．【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试】定义在
，若对任意
上的“追逐函数”.若
，存在
，使得
是
在上的函数
，
单调递增，
是
在
即有零点，
成立，则称
，则下列四个命题：①上的“追逐函数”；②
若
函数”；④当个数为（ ） A． 【答案】B 【解析】
是在时，存在
上的“追逐函数”，则，使得
是
；③在
是在上的“追逐
上的“追逐函数”.其中正确命题的
B． C． D．
对于①，易得M＝1，∀k＞1，有即为
，＝log2（k+1），
2
1＝k，
当k＝100时，即不存在＜． 对于②，∀k＞1，有即为即有
2
log2（k+1），
，得m=M＝1，只需检验m=1时，是否符合题意，
＝1+ln＝k，
k﹣1
，＝e，
ek﹣1⇔k＜e2k﹣2，
由x＞1时，x﹣e2x﹣2的导数为1﹣2e2x﹣2＜0， 即有x＜e2x﹣2
，则存在＜；∴m=1满足题意
对于③，易得M＝1，∀k＞1，有即为
，
，
2
＝2k，
当k＝4，不存在＜x2．
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对于④，由题意又有
2
，取t=m+
,此时
，且k>,
时，存在
＝k，
即为，，令g（k）==，k>, ∴
,又t=m+
，
, ∴g（）=0，
∴g（k）在（）单调递减，∴g（k）即g（k）<0，∴<，故f（x）在[1，+∞）上的“追逐函数”有②④ 故选：B．
8．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模】定义区间
，
，
的长度为
.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为（其中
，
，为自
然对数的底数），那么称这个函数为“函数”.下列四个命题： ①函数②函数③函数
不是“函数”； 是“函数”，且是“函数”；
；
④函数是“函数”，且.
其中正确的命题的个数为（ ） A．4个 【答案】B 【解析】 分析命题①：
，函数
定义域为
在
，
，
上是单调递增，显然这个区间没有长度，因此函数
B．3个
C．2个
D．1个
不是“函数”，故命题①是真命题.
分析命题②：当
时，函数
，定义域为是增函数，
，
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构造两个函数，，图象如下图所示：
通过图象可知当函数
，而，即显然有
， ，所以当时，
是增函数，增区间的长度为，又因为
即
成立，所以函数是“m函数”，
成立，故命题②是真命题. 定义域为
，
，而区间
没有长度，故函
分析命题③： 函数显然数
时，
，此时函数是单调递增函数，增区间为
不是“函数”，故命题③是假命题.
分析命题④：函数当
时，
定义域
是增函数，故只需
，
成立，
是增函数，
也就是成立，是增函数，构造二个函数， 如下图所示：
通过图象可知：当时，函数
时，，而长度为，而
，所以.从而有时，
是增函数，显然区间
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所以函数是“函数”，又，即.故命题④是真命题.
综上所述：正确的命题的个数为3个，故本题选B. 二、填空题
9.【山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断】定义：若函数且存在非零常数，对任意
，
恒成立，则称
为线周期函数，为
的定义域为，的线周期若
为线周期函数，则的值为______.
【答案】1 【解析】 若
则满足对任意即即则
本题正确结果：
10.【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》】如图所示，有三根和套在一根针上的片且自上而下由小到大的金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根上，每次只能移动一个金属片，且在移动过程中较大的金属片不能放在较小的金属片的上面.则把个金属片从号针全部移到号针,最少要_次．
为线周期函数 ，
恒成立 ，
【答案】31 【解析】 设
是把个金属片从柱移到柱过程中移动金属片最少次数 时,
;
柱,大金属片
柱,小金属片从柱
柱,完成,
；
时,小金属片
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时, 小金属片用
柱,中小金属片柱,小金属片从柱柱,
种方法把中、小两金属片从柱柱,完成，
种方法把中、小两金属片移到柱,大金属片到柱;再用
同样方法，依次可得：
11．【北京延庆区2019届高三一模】已知集合都恰有5个元素;② （
），则
，集合
满足①每个集合
．集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为
的最大值与最小值的和为_______.
【答案】96 【解析】 易知，当
的最大值为57.
当
的最小值为39.
故答案为：96
12．【四川省成都市2019届高三二诊】在平面直角坐标系离为【答案】 【解析】
d（O，C）＝|x|+|y|＝1， 首先证明：变形为
，两边平方得到
，由重要不等式，显然此不等式成立，
．
，已知点
,
,
中，定义两点
，则
，
间的折线距
的最小值为___.
故根据不等式的性质得到：故答案为：．
13．【四川省成都市2019届高三二诊】在平面直角坐标系中,定义两点间的折线距离
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为【答案】【解析】
d（O，C）＝|x|+|y|＝1，令 |x|=故故答案为：
．
,已知点,则的取值范围为___.
，|y|= ,则|x|，|y|
14．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(如图所示)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若AB＝1m，AD＝0.5m，则五边形ABCEF的面积最大值为____m2.
【答案】【解析】
以O为坐标原点，AD所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设边缘线OM上一点
，则
,
，
，
设EF与边缘线OM的切点为因为
，所以
，故EF所在直线方程为
因此，其中，
从而因为当即当
时，时
，当
时，
，
.
取最小值，从而五边形ABCEF的面积取最大值
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15．【北京师范大学附属实验中学2019届高三下学期第一次质量评估】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段
的长度为a，在线段
上取两个点，，使得
，以
为一边在线段作相同的操作，
的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段
得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，现给出有关数列①数列②数列
是等比数列； 是递增数列；
； ．
的四个命题：
③存在最小的正数，使得对任意的正整数 ，都有④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有
其中真命题的序号是________________（请写出所有真命题的序号）. 【答案】②④ 【解析】
由题意，得图1中线段为，即图2中正六边形边长为，则图3中的最小正六边形边长为，则图4中的最小正六边形边长为，则
；
；
； ；
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由此类推，所以因为
，
为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；
，
即存在最大的正数即④正确；③错误， 综上可知正确的由②④.
，使得对任意的正整数，都有，
16．【河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联考】若函数的图象存在经过原点的对称轴，则称
为“旋转对称函数”，下列函数中是“旋转对称函数”的有_________.（填写所有正确结论的序号）
①
【答案】①② 【解析】 对于①中，
的反函数为：
，所以函数
关于直线
对
；②
；③
.
称，故①是“旋转对称函数”. 对于②，
它关于轴对称，故②是“旋转对称函数”. 对于③，能关于直线的图像关于直线
对称，又
，当
时，，当
，则函数时，
，这与函数
的图像只可
，所以函数
是偶函数，
对称矛盾，故③不是“旋转对称函数”.
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