第二部分 题型研究
题型四 新定义与阅读理解题 类型三 新解题方法型
针对演练
1. 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求91与56的最大公约数 解： 91－56＝35 56－35＝21 35－21＝14 21－14＝7 14－7＝7
所以，91与56的最大公约数是7. 请用以上方法解决下列问题： (1)求108与45的最大公约数；
(2)求三个数78、104、143的最大公约数．
2. (2017青岛节选)数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究：求不等式|x－1|< 2的解集 (1)探究|x－1|的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x－1，由绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x－1|，可记为A′O＝|x－1|.将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1.因为AB＝A′O，所以AB＝|x－1|.因此，|x－1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.
第2题图
(2)求方程|x－1|＝2的解
因为数轴上3和－1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，－1.
(3)求不等式|x－1|<2的解集
因为|x－1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．
请在图②的数轴上表示|x－1|<2的解集，并写出这个解集．
3. (浙教八下第47页阅读材料改编)古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》
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中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解
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等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x＋ax＝b(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则AD的长就是所求方程的解．
(1)请用含字母a、b的代数式表示AD的长．
(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
a2a2
第3题图
4. 请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二的解答．
引例：设a，b，c为非负实数，求证：a＋b＋b＋c＋c＋a≥2(a＋b＋c)， 分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a＋b＋c的正方形来研究．
解：如图①，设正方形的边长为a＋b＋c，
则AB＝a＋b，BC＝b＋c，CD＝a＋c， 显然AB＋BC＋CD≥AD，
∴a＋b＋b＋c＋c＋a≥2(a＋b＋c)．
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探究一：已知两个正数x，y，满足x＋y＝12，求x＋4＋y＋9的最小值(图②仅供参考)；
探究二：若a，b为正数，求以a＋b，4a＋b，a＋4b为边的三角形的面积．
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2222222
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第4题图 答案
1. 解：(1)108－45＝63 63－45＝18 45－18＝27 27－18＝9 18－9＝9
所以，108与45的最大公约数是9； (2)①先求104与78的最大公约数， 104－78＝26 78－26＝52 52－26＝26
所以，104与78的最大公约数是26； ②再求26与143的最大公约数，
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143－26＝117 117－26＝91 91－26＝65 65－26＝39 39－26＝13 26－13＝13
所以，26与143的最大公约数是13.
综上所述，78、104、143的最大公约数是13. 2. 解：在数轴上表示如解图所示．
第2题解图
所以，不等式的|x－1|<2的解集为－12a2ab＋，
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aab＋－＝
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4b＋a－a
； 2
(2)用求根公式求得： －4b＋a－ax1＝；
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4b＋a－ax2＝
2
故AD的长就是方程的正根，
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．
4. 解：探究一：如解图①，构造矩形AECF，并设矩形的两边长分别为12，5，
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第4题解图①
则x＋y＝12，AB＝x＋4， BC＝y2＋9，
显然AB＋BC≥AC，
当A，B，C三点共线时，AB＋BC最小， 即x＋4＋y＋9的最小值为AC，
22∵AC＝12＋5＝13，
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∴x＋4＋y＋9的最小值为13；
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第4题解图②
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探究二：如解图②，设矩形ABCD的两边长分别为2a，2b，E，F分别为AB，AD的中点， 则CF＝4a＋b，CE＝a＋4b， EF＝a2＋b2，
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设以a＋b，4a＋b，a＋4b为边的三角形的面积为S△CEF， ∴S△CEF＝S矩形ABCD－S△CDF－S△AEF－S△BCE 111
＝4ab－×2a×b－ab－a×2b 2223
＝ab， 2
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∴以a＋b，4a＋b，a＋4b为边的三角形的面积为ab.
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