专题三 新定义和阅读理解题
“新定义”题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，“给什么，用什么”是应用新“定义”解题的基本思路．这类试题的特点：源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等．在解决它们过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．阅读理解题源于课本，高于课本，既考查阅读能力，又综合考查学生的数学意识和数学综合应用能力，尤其侧重于考查学生的数学思维能力和创新意识. 这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，学生通过阅读，将材料所给的信息加以搜集整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答．
新定义
1．(2020·青海)对于任意两个不相等的数a，b定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b＝
a＋ba－b
，
如：3⊕2＝
3＋2
＝5，那么12⊕4＝________． 3－2
2．(2020·荆州)定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝(4＋3)(4－3)－1＝7－1＝6.若x*k＝x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为( C )
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
3．(2019·德州)已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[－0.8]＝－1.现定义：{x}＝x－[x]，例：{1.5}＝1.5－[1.5]＝0.5，则{3.9}＋{－1.8}－{1}＝________.
4．(2020·通辽)用⊕定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m⊕n＝m2n－mn－3n，如：1⊕2＝12×2－1×2－3×2＝－6.
(1)求(－2)⊕3；
(2)若3⊕m≥－6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．
n
5．(2020·宜宾)定义：分数(m，n为正整数且互为质数)的连分数
m
1
a1＋
a2＋
1
(其
1a3＋…
n111
中a1，a2，a3，…为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1)，记作＝ ＋＋ma1a2a371111117
＋…，例如＝ ＝＝＝＝＝，的连分数为
19195111119
2＋2＋2＋2＋2＋777211
1＋1＋1＋
5551
2＋
22
11
2＋
11＋
12＋
2
71111111
，记作＝ ＋＋＋，则________＝ ＋＋.
192122123
⊕
⊕
⊕⊕
6．(2019·深圳)定义一种新运算an·xn1dx＝an－bn，例如k2xdx＝k2－n2，若m－
－
bn5m
x2dx＝－2，则m＝( )
22
A．－2 B. － C．2 D.
55
7．(2020·咸宁)在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是( B )
A．y＝－x B．y＝x＋2 2
C．y＝ D．y＝x2－2x
x
8．(2020·岳阳)对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝－x2－10x＋m(m≠0)有两个不相等的零点x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋10x－m－2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4(x3＜x4)，则下列关系式一定正确的是( A )
x1x1
A．0＜<1 B.>1
x3x3
－
x2x2
C．0<<1 D.>1
x4x4
,
阅读理解题
1．(2019·百色)阅读理解：已知两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中点K(x，y)的坐标公式为：
x1＋x2y1＋y2
x＝，y＝.
22
如图，已知点O为坐标原点，点A(－3，0)，⊕O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P(a，b)，则有a，b满足等式：a2＋b2＝9.
设B(m，n)，则m，n满足的等式是( )
A．m2＋n2＝9 m－3nB.＋2n＝9 C．(2m＋3)2＋(2n)2＝3 D．(2m＋3)2＋4n2＝9
2．(2019·娄底)已知点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离可表示为d＝
2
2
|kx0＋b－y0|
1＋k2
，
例如：点(0，1)到直线y＝2x＋6的距离d＝y＝x和y＝x－4之间的距离为________．
|2×0＋6－1|
1＋22
＝5.据此进一步可得两条平行线
3．(2019·湘西州)阅读材料：设a→＝(x1，y1)，b→＝(x2，y2)，如果a→∥b→，则x1·y2
＝x2·y1.根据该材料填空，已知a→＝(4，3)，b→＝(8，m)，且a→⊕b→，则m＝________.
4．(2019·安顺改编)阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr，1550－1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr，1707－1783年)才发现指数与对
数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525可以转化为指数式52＝25.
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)，理由如下： 设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， ⊕M·N＝am·an＝am
＋n
，
由对数的定义得m＋n＝loga(M·N) 又⊕m＋n＝logaM＋logaN， ⊕loga(M·N)＝logaM＋logaN. 根据阅读材料，解决以下问题：
(1)将指数式34＝81转化为对数式___________________________________； M
(2)loga＝__________.(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)
N(3)拓展运用：计算log69＋log68－log62＝________. 5．(2019·张家界改编)阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为an.所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，….
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2.
根据以上材料，解答下列问题：
(1)等差数列5，10，15，…的公差d为________，第5项是________．
(2)如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝d，….
所以 a2＝a1＋d
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d， ……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式： an＝a1＋(________)d.
(3)－4041是等差数列－5，－7，－9…的第________项． 6．(2019·济宁改编)阅读下面的材料：
如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2， (1)若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是增函数； (2)若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是减函数． 6
例题：证明函数f(x)＝(x＞0)是减函数．
x证明：设0＜x1＜x2，
666x2－6x16（x2－x1）
f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
x1x2x1x2x1x2⊕0＜x1＜x2，⊕x2－x1＞0，x1x2＞0. ⊕
6（x2－x1）
＞0.即f(x1)－f(x2)＞0.
x1x2
⊕f(x1)＞f(x2)．
6
⊕函数f(x)＝(x＞0)是减函数．
x根据以上材料，解答下面的问题： 1
已知函数f(x)＝2＋x(x＜0)，
x
117
f(－1)＝＋(－1)＝0，f(－2)＝＋(－2)＝－. 224（－1）（－2）(1)计算：f(－3)＝________，f(－4)＝________；
1
(2)猜想：函数f(x)＝2＋x(x＜0)是________函数(填“增”或“减”)．
x
参
[类型1]1.2 2.C 3.1.1
4．解：(1)(－2)※3＝(－2)2×3－(－2)×3－33＝43＋23－33＝33.
(2)∵3※m≥－6，∴32·m－3m－3m≥－6. 解得：m≥－2.
将解集表示在数轴上如下：
7
5. 6.B 7.B 8.A 10
[类型2]1.D 2.22 3.6 4.(1)4＝log381(或log381＝4) (2)logaM－logaN (3)2 5.(1)5 25 (2)n－1 (3)2019 6.(1)－2663
－ (2)增 916
