[: 创新类题
1．(2018·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 C．8
B．6 D．10[:
2．(2018·郑州市质量预测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5 120颗，正方形的内切圆区域有豆4 009颗，则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)( )[:
A．3.13 C．3.15
B．3.14 D．3.16
3．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝[x [x]]在(－1,1)上( ) A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．是增函数
4．(2018·福建质量检查)设数集S＝{a，b，c，d}满足下列两个条件：
(1)∀x，y∈S，xy∈S；(2)∀x，y，z∈S且x≠y，则xz≠yz现给出如下论断：
①a，b，c，d中必有一个为0；②a，b，c，d中必有一个为1；③若x∈S且xy＝1，则y∈S；④存在互不相等的x，y，z∈S，使得x＝y，y＝z.
其中正确论断的个数是( ) A．1 C．3
B．2 D．4
面的高度h随时间t
2
2
5.如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水变化的图像可能是( )
6．(20183·长春调研)若直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：
①M，N都在函数y＝f(x)的图像上；②M，N关于原点对称，则称点对[M，N]为函数y＝f(x)的一对“友好点对”．(注：点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”)
log3
已知函数f(x)＝2
－x－
，
，
此函数的“友好点对”有( )
A．0对 C．2对
B．1对 D．3对
x
y
7．(2018·福建质量检查)定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝lg(10＋10)，x，y∈R.对任意实数a，b，c，给出如下结论：
①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)． 其中正确结论的个数是( ) A．0 C．2
B．1 D．3
8．已知函数f(x)＝2x－1(x∈R)．规定：给定一个实数x0，赋值x1＝f(x0)，若x1≤257，则继续赋值x2＝f(x1)；若x2≤257，则继续赋值x3＝f(x2)；……以此类推．若xn－1≤257，则xn＝f(xn－1)，否则停止赋值．已知赋值k(k∈N)次后该过程停止，则x0的取值范围是( )
A．(2B．(2C．(2D．(2
7－k*
＋1,2＋1,2＋1,22
8－k
＋1] ＋1] ＋1]
8－k9－k
9－k10－k
8－k,9－k
]
9．(2018·湖南五市十校联考)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知
1π向量m＝2，，n＝，0，点P(x，y)在y＝sin x的图像上运动．Q是函数y＝f(x)图像上的点，且满足OQ23
＝m⊗OP＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．
10．(2018·辽宁五校联考)设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x＋k∈D，且f(x＋k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝|x－a|－2a，若f(x)为R上的“2 013型增函数”，则实数a的取值范围是________．
[:
答 案
1．选D 列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．
12
π·
24 009
2．选A 根据几何概型的定义有＝，得π≈3.13.
15 120
3．选C 当－14．选C 取满足题设条件的集合S＝{1，－1，i，－i}，即可迅速判断②③④是正确的论断．5．选B 由三视图可知此几何体为一个底朝上的圆锥，向容器中匀速注水，说明单位时间内注入水的体积12
相等，设为V0，由锥体的体积公式可知V＝πrh，又r＝htan θ(其
3
中θ为圆锥轴截
1132
面两母线夹角的一半)，所以V＝πhtanθ＝tV0，即h＝kt(k为常数)，所以选B.
33
6．选C 由题意，当x>0时，将f(x)＝log3x的图像关于原点对称后可知g(x)＝－log3(－x)(x<0)的图像与x<0时f(x)＝－x－4x存在两个交点，故“友好点对”的数量为2.
7．选D 因为(a*b)*c＝[lg(10＋10)]*c＝lg(10lg(10＋10)＋10)＝lg(10＋10＋10)，a*(b*c)＝a*[lg(10＋10)]＝lg(10＋10lg(10＋10))＝lg(10＋10＋10)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，即①对；因为a*b＝lg(10＋10)，b*a＝lg(10＋10)，所以a*b＝b*a，所以②对；(a*b)＋c＝lg(10＋10)＋c＝lg[(10＋10)×10]＝lg(10
a＋ca
b
b
a
a
b
a
b
c
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
a
b
c
a
b
c
2
＋10
b＋c
)＝(a＋c)*(b＋c)，即③对．
n
n
8．选B 依题意得xn＝2xn－1－1，则xn－1＝2(xn－1－1)，于是xn－1＝2(x0－1)，即xn＝2(x0－1)＋1.依题
xk－1≤257，
意有
xk>257，
2即k
2
k－1
00
2
即k
2
88
k－1
00
－＋1≤257，＋1>257，
8－k
－
－
，
，
－
由此解得2＋19－k＋1，即x0的取值范围是(2
8－k
＋1,2
9－k
＋1]．[:
9．解析：令Q(c，d)，由新的运算可得
1＋π，0＝2x＋π，1sin x， 2x，sin xOQ＝m⊗OP＋n＝3232π
c＝2x＋，31d＝2sin x，
消去x得
π11
d＝sinc－，
622
11π所以y＝f(x)＝sinx－，
622
11易知y＝f(x)的值域是－，. 2211答案：－， 22
10．解析：由题意得，当x>0时，
x－
f(x)＝
－x－
，
当a≥0时，函数f(x)的图像如图(1)所示，考虑极大值f(－a)＝2a，令x－3a＝2a，得x＝5a，所以只需满足5a－(－a)＝6a<2 013，
671
即0≤a<；当a<0时，函数f(x)的图像如图(2)所示，且f(x)为增函数，因为x＋2 013>x，所以满足f(x
2＋2 013)>f(x)．综上可知，a<
671
. 2
答案：671
－∞，2
