专题三 新定义和阅读理解题-2021年中考数学一轮考点复习练习

专题三 新定义和阅读理解题

类型 新定义

一、新定义运算

a＋b

，a－b

1．(2020·青海)对于任意两个不相等的数a，b定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b＝3＋2如：3⊕2＝＝5，那么12⊕4＝__2____．

3－2

2．(2020·荆州)定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝(4＋3)(4－3)－1＝7－1＝6.若x*k＝x(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为( C ) A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

3．(2020·通辽)用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n－mn－3n，如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6. (1)求(－2)※3；

(2)若3※m≥－6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．

解：(1)(－2)※3＝(－2)2×3－(－2)×3－33＝43＋23－33＝33. (2)∵3※m≥－6，∴32·m－3m－3m≥－6.

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word版 初中数学 解得：m≥－2.

将解集表示在数轴上如下：

二、新定义数

4．(2020·淮安)如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是( D ) A．205 B．250 C．502 D．520

5．对于三个数a，b，c，我们规定用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，－1＋2＋34

c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝＝，min{－1，2，3}＝

33

11－1，如果M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，那么x＝__或__.

23n

6．(2020·宜宾)定义：分数(m，n为正整数且互为质数)的连分数

m

1

a1＋

a2＋

1

(其中a1，

1a3＋…

n△111

a2，a3，…为整数，且等式右边的每一个分数的分子都为1)，记作＝ ＋＋＋…，

ma1a2a37△11111171例如＝ ＝＝＝＝＝，的连分数为，

191951111191

2＋2＋2＋2＋2＋2＋7772111

1＋1＋1＋1＋55511

2＋2＋

222

△

7△11117111记作＝ ＋＋＋，则______＝ ＋＋.

19212210123

7．(2020·乐山)我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[－1.5]＝－2.那么：

(1)当－1<[x]≤2时，x的取值范围是__0≤x<3____；

(2)当－1≤x<2时，函数y＝x2－2a[x]＋3的图象始终在函数y＝[x]＋3的图象下方．则

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word版 初中数学 3

实数a的范围是__a<－1或a≥____．

2三、新定义概念

8．(2020·咸宁)在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是( B ) A．y＝－x B．y＝x＋2 2

C．y＝ D．y＝x2－2x

x

9．(2020·上海)如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( A )

A．平行四边形 B．等腰梯形 C．正六边形 D．圆

10．(2020·岳阳)对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝－x2－10x＋m(m≠0)有两个不相等的零点x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋10x－m－2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4(x3＜x4)，则下列关系式一定正确的是( A ) x1x1A．0＜<1 B.>1

x3x3x2x2

C．0<<1 D.>1

x4x4

11．(2020·临沂)我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，

在平面直角坐标系中，点A(2，1)到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为__5－1____．

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word版 初中数学 四、新定义函数

12．(2019·荆州)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点在一次函数y＝kx＋t(k≠0)的图象上，则称y＝ax2＋bx＋c(a≠0)为y＝kx＋t(k≠0)的伴随函数，如：y＝x2＋1是y＝x＋1的伴随函数．

(1)若y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，求直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若函数y＝mx－3(m≠0)的伴随函数y＝x2＋2x＋n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．

解：(1)∵y＝x2－4，∴其顶点坐标为(0，－4)． ∵y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数， ∴(0，－4)在一次函数y＝－x＋p的图象上． ∴－4＝0＋p.∴p＝－4. ∴一次函数为y＝－x－4.

∴一次函数与坐标轴的交点分别为(0，－4)，(－4，0)．

1

∴直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积为：×4×4＝8.

2

(2)设函数y＝x2＋2x＋n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝n，

∴|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4－4n.

∵函数y＝x2＋2x＋n与x轴两个交点间的距离为4， ∴4－4n＝4.解得n＝－3.

∴伴随函数y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.

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word版 初中数学 ∴其顶点坐标为(－1，－4)．

∵y＝x2＋2x－3是y＝mx－3(m≠0)的伴随函数， ∴－4＝－m－3.∴m＝1.

13．(2017·长沙)若三个非零实数x，y，z满足： 只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和， 则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组” . (1)实数 1 , 2 , 3 可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由；

k

(2)若M(t，y1)，N(t＋1，y2)，R(t＋3，y3)三点均在函数y＝(k为常数，k≠0)的图象上，

x且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三数组”， 求实数t的值；

(3)若直线y＝2bx＋2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2＋3bx＋3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点 .

①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三数组”； cb

②若a>2b>3c，x2＝1，求点Pa，a与原点O的距离OP的取值范围 .

解：(1)不能， 理由如下： 111

由已知1<2<3，∴>>.

123111又∵≠＋，

123

∴实数 1 , 2 , 3 不可以构成“和谐三数组”． kkkt＋1，t＋3，(2)Mt，t，N，R. t＋1t＋3∵y1，y2，y3构成“和谐三数组”， tt＋1t＋3

①若＝＋，解得t＝－4；

kkkt＋1tt＋3②若＝＋，解得t＝－2；

kkk

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word版 初中数学 t＋3tt＋1③若＝＋，解得t＝2.

kkk综上，t＝－4，－2或 2.

(3)①证明：∵直线y＝2bx＋2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)， c∴0＝2bx1＋2c.解得x1＝－.

by＝2bx＋2c，联立

y＝ax2＋3bx＋3c.∴ax2＋bx＋c＝0.

bc

由根与系数的关系，得x2＋x3＝－，x2x3＝.

aab

a11x2＋x3b1

∴＋＝＝＝－＝. x2x3x2x3ccx1

a

－

∴x1，x2，x3构成“和谐三数组”． ②∵x2＝1，

c

∴a＋b＋c＝0，x3＝.

a

又∵a>2b>3c，abc≠0，则必有a>0，c<0，将b＝－a－c代入，可得a>2b>3(－a－b)． 3c2c

解得－<<－，≠－1.

2a5a

b3b1b

同理可求得的取值范围是－<<，≠0.

a5a2acb

∵＋＝－1， aa

cb

∴点Pa，a在直线y＝－x－1上运动．

如图，由勾股定理和面积法易求得

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word版 初中数学 210≤OP<且OP≠1. 22五、新定义图形

14．(2019·达州)箭头四角形 模型规律

如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1＋∠B＝∠A＋∠C＋∠B.

因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用

(1)直接应用：①如图2，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__2α__.

②如图3，∠ABE，∠ACE的2等分线(即角平分线)BF，CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝__85°__.

③如图4，BOi、COi分别为∠ABO，∠ACO的2019等分线(i＝1，2，3，…，2017，2018)．它们的交点从上到下依次为O1，O2，O3、…，O2 018.已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1 1 0191 000m＋n__度． 000C＝__2 0192 019(2)拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD，O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：四边形OBCD是菱形．

图1 图2

图3 图4

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图5

word版 初中数学 解：(2)证明：如图，延长AO交CD于E， ∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO. 又∵∠BOE＝∠ABO＋∠BAO， ∴∠BOE＝2∠BAO. 同理∠DOE＝2∠DAO.

∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)， 即∠BOD＝2∠BAD.

又∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BCD. 连接OC，∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC， ∴△OBC≌△ODC(SSS)． ∴四边形OBCD是平行四边形． 又∵OB＝OD，∴四边形OBCD是菱形．

15．(2019·咸宁)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：

(1)如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD. 求证：四边形ABCD是等补四边形； 探究：

(2)如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由； 运用：

(3)如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线

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word版 初中数学 于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

图1 图2 图3

解：(1)证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形， ∴∠A＋∠C＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD. ︵︵

∴AD＝CD.∴AD＝CD.

∴四边形ABCD是等补四边形． (2)解：AC平分∠BCD，理由如下：

如图1，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F， 则∠AEB＝∠AFD＝90°， ∵四边形ABCD是等补四边形， ∴∠B＋∠ADC＝180°. 又∵∠ADC＋∠ADF＝180°，

∴∠B＝∠ADF. 图1 ∵AB＝AD，

∴△ABE≌△ADF(AAS)．

∴AE＝AF.∴AC是∠BCF的平分线， 即AC平分∠BCD；

(3)解：如图2，连接AC， 图2

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word版 初中数学 ∵四边形ABCD是等补四边形， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. 又∵∠BAD＋∠EAD＝180°， ∴∠EAD＝∠BCD.

1

∵AF平分∠EAD，∴∠FAD＝∠EAD.

21

由(2)知，AC平分∠BCD，∴∠FCA＝∠BCD.

2∴∠FCA＝∠FAD.又∵∠AFC＝∠DFA， ∴△ACF∽△DAF.∴∴DF＝52－5.

16．(2019·天水)如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

AFCF5DF＋10＝.即＝， DFAFDF5

图1 图2 图3

(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

(2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD.试证明：AB2＋CD2＝AD2＋BC2；

(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长． 解：(1)四边形ABCD是垂美四边形． 理由：∵AB＝AD，

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word版 初中数学 ∴点A在线段BD的垂直平分线上．

∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上． ∴直线AC是线段BD的垂直平分线． ∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形． (2)证明：∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°. 由勾股定理得，

AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2， AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2， ∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2. (3)如图2，连接CG，BE. ∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE.在△GAB和△CAE中，

AG＝AC，

∠GAB＝∠CAE，∴△GAB≌△CAE(SAS)． AB＝AE，

∴∠ABG＝∠AEC，又∵∠AEC＋∠AME＝90°. ∴∠ABG＋∠AME＝90°，即CE⊥BG. ∴四边形CGEB是垂美四边形． 由(2)得，CG2＋BE2＝CB2＋GE2.

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word版 初中数学 ∵AC＝4，AB＝5，

∴BC＝3，CG＝42，BE＝52. ∴GE2＝CG2＋BE2－CB2＝73. ∴GE＝73.

17．(2020·南通)【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】

(1)如图1，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC.若AC＝AB，求sin∠CAD的值；

(2)如图2，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2＋CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论； 【拓展提升】

(3)在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)，四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°＋∠ABC.设的纵坐标为t，请直接写出μ关于t的函数解析式． 解：

AE

＝μ，点DBE

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word版 初中数学 (1)如图1，过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F. ∵AC＝AB，∴BE＝CE＝3，

在Rt△AEB中，AE＝AB2－BE2＝52－32＝4， ∵CF⊥AD，

∴∠D＋∠FCD＝90°， ∵∠B＋∠D＝90°， ∴∠B＝∠DCF， ∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△AEB∽△DFC，

∴EBAB35CF＝CD，∴CF＝4，∴CF＝125， 12

∴sin∠CAD＝CF512

AC＝5＝25

.

(2)如图2中，结论：四边形ABCD是对余四边形． 理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM. ∵四边形ABCD中， AD＝BD，AD⊥BD， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∵∠DCM＝∠DMC＝45°， ∵∠CDM＝∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝∠BDM，

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word版 初中数学 ∵AD＝DB，CD＝DM， ∴△ADC≌△BDM(SAS)， ∴AC＝BM，

∵2CD2＋CB2＝CA2，CM2＝DM2＋CD2＝2CD2， ∴CM2＋CB2＝BM2，

∴∠BCM＝90°，∴∠DCB＝45°， ∴∠DAB＋∠DCB＝90°， ∴四边形ABCD是对余四边形．

(3)如图3中，过点D作DH⊥x轴于H. ∵A(－1，0)，B(3，0)，C(1，2)，

∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝22， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°，

∴∠CBA＝∠CAB＝45°， ∵四边形ABCD是对余四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝90°， ∴∠ADC＝45°，

∵∠AEC＝90°＋∠ABC＝135°， ∴∠ADC＋∠AEC＝180°， ∴A，D，C，E四点共圆，

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word版 初中数学 ∴∠ACE＝∠ADE，

∵∠CAE＋∠ACE＝∠CAE＋∠EAB＝45°， ∴∠EAB＝∠ACE，∴∠EAB＝∠ADB， ∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA， BEAEAEADAD∴＝，∴＝，∴μ＝， ABADBEAB4设D(x，t)，

由(2)可知，BD2＝2CD2＋AD2，

∴(x－3)2＋t2＝2[(x－1)2＋(t－2)2]＋(x＋1)2＋t2， 整理得(x＋1)2＝4t－t2，

在Rt△ADH中，AD＝AH2＋AD2＝（x＋1）2＋t2＝2t， ADt

∴μ＝＝(042即μ＝

t

(018．(2019·长沙)根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．

①四条边成比例的两个凸四边形相似；(__假命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(__假命题) ③两个大小不同的正方形相似．(__真__命题)

(2)如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，

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word版 初中数学 ABBCCD

＝＝.求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似． A1B1B1C1C1D1

图1 图2

(3)如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F.记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四S2

边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值．

S1(2) 证明：如图1中，连接BD，B1D1.

∵∠BCD＝∠B1C1D1，∴△BCD∽△B1C1D1.

∴∠CDB＝∠C1D1B1，∠C1B1D1＝∠CBD. BDBCCDBDAB

＝＝.∴＝. B1D1B1C1C1D1B1D1A1B1∵∠ABC＝∠A1B1C1，

∴∠ABC－∠CBD＝∠A1B1C1－∠C1B1D1， ∴∠ABD＝∠A1B1D1. ∴△ABD∽△A1B1D1. ADABBD∴＝＝， A1D1A1B1B1D1

∠A＝∠A1，∠ADB＝∠A1D1B1.

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ABBCCD

＝＝， A1B1B1C1C1D1

word版 初中数学 ∴

ABBCCDAD

＝＝＝， A1B1B1C1C1D1A1D1

∠ADC＝∠A1D1C1，∠A＝∠A1， ∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1. ∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似． (3)∵AB∥CD，∴

AOAB

＝. COCDAEAO＝. EDCO

∵EF∥AB∥CD，∴∴

AEAOAB＝＝.① EDCOCD

∵四边形ABFE和四边形EFCD相似， ∴

AEABEF＝＝.② EDEFCD

ABABEF

由①②得＝＝，∴EF＝CD＝AB，

CDEFCD∴四边形ABFE与四边形EFCD的相似比为1. ∴四边形ABFE与四边形EFCD的面积相等． S2

即＝1. S1

︵

19．(2019·北京)在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在︵︵

△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧．例如，图1中DE是△ABC的一条中内弧．

图1 图2

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word版 初中数学 (1)如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝22，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC︵︵

的最长的中内弧DE，并直接写出此时DE的长；

(2)在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(0，0)，C(4t，0)(t＞0)，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．

1︵

①若t＝，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

2

︵︵

②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围． 解：

图1

︵︵

(1)如图1，以DE为直径的半圆弧DE，就是△ABC的最长的中内弧DE，连接DE， ∵∠A＝90°，AB＝AC＝22，D，E分别是AB，AC的中点， AC2211︵1

∴BC＝＝＝4，DE＝BC＝×4＝2，∴弧DE＝×2π＝π.

sin Bsin 45°222

图2

(2)如图2，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE的垂直平分线FP.

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word版 初中数学 1

①当t＝时，C(2，0)，

21

∴D(0，1)，E(1，1)，F2，1，



1

设P2，m，由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1.

∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠ACO＝45°. ∵DE∥OC，∴∠AED＝∠ACO＝45°. 1作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝，

2

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方(含点G)直线FP上时也符合要求， 11

∴m≤.综上所述，m≤或m≥1.

22②如图3，设圆心P在AC上，

图3

∵P在DE的中垂线上，

3∴P为AE的中点，作PM⊥OC于M，则PM＝，

23∴Pt，2，



∵DE∥BC ，∴∠ADE＝∠AOB＝90°. ∴AE＝AD2＋DE2＝12＋（2t）2＝4t2＋1. ∵PD＝PE，∴∠AED＝∠PDE.

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word版 初中数学 ∵∠AED＋∠DAE＝∠PDE＋∠ADP＝90°， 1

∴∠DAE＝∠ADP.∴AP＝PD＝PE＝AE.

2由三角形中内弧定义知，PD≤PM. 13

∴AE≤，AE≤3，即4t2＋1≤3. 22解得t≤2.

∵t＞0，∴0＜t≤2.

图4

如图4，设圆心P在BC上，则P(t，0)． PD＝PE＝OD2＋OP2 ＝4t2＋1.

由三角形中内弧定义知，PE2＋CE2≤PC2， 即(t2＋1)2＋(4t2＋1)≥(3t)2. ∵t>0，∴02

. 2

综上所述，t的取值范围为0阅读理解题

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word版 初中数学 一、代数阅读理解题

11

1．(2019·济宁)已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝

1－a1－2

11

－1，－1的差倒数是＝.如果a1＝－2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，

1－（－1）2a4是a3的差倒数，……，依次类推，那么a1＋a2＋…＋a100的值是( A ) A．－7.5 B．7.5 C．5.5 D．－5.5

2．(2019·百色)阅读理解：已知两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中点K(x，y)的坐标公式为：x＝

x1＋x2y1＋y2

，y＝. 22

如图，已知点O为坐标原点，点A(－3，0)，⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P(a，b)，则有a，b满足等式：a2＋b2＝9. 设B(m，n)，则m，n满足的等式是( D ) A．m2＋n2＝9 m－32n2

＋＝9 B.

22

C．(2m＋3)2＋(2n)2＝3 D．(2m＋3)2＋4n2＝9

3．(2019·赤峰)阅读下面材料：

我们知道一次函数y＝kx＋b(k≠0，k，b是常数)的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0，A，B，C是常数)的形式，点P(x0，y0)到直线

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word版 初中数学

Ax＋By＋C＝0的距离可用公式d＝

|Ax0＋By0＋C|

A2＋B2

计算．

例如：求点P(3，4)到直线y＝－2x＋5的距离．

解：∵y＝－2x＋5，∴2x＋y－5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝－5. ∴点P(3，4)到直线y＝－2x＋5的距离为：

d＝

|Ax0＋By0＋C||2×3＋1×4－5|

A2＋B2

＝

22＋12

＝5

＝5. 5

根据以上材料解答下列问题：

(1)求点Q(－2，2)到直线3x－y＋7＝0的距离；

(2)如图，直线y＝－x沿y轴向上平移2个单位长度得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．

解：(1)∵3x－y＋7＝0， ∴A＝3，B＝－1，C＝7.

∴点Q(－2，2)到直线3x－y＋7＝0的距离为：

d＝

|－2×3－1×2＋7|

32＋（－1）2

＝

110＝. 1010

(2)直线y＝－x沿y轴向上平移2个单位长度得到另一条直线为y＝－x＋2， 在直线y＝－x上任意取一点P， 当x＝0时，y＝0.∴P(0，0)．

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word版 初中数学 ∵y＝－x＋2，

∴x＋y－2＝0，其中A＝1，B＝1，C＝－2.

∴d＝

|0＋0－2|

2

＝＝2.

212＋12

∴两平行线之间的距离为2. 4．(2019·安顺)阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr，1550—1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr，1707—1783年)才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525可以转化为指数式52＝25.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)，理由如下： 设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an， ∴M·N＝am·an＝am＋n.

由对数的定义得m＋n＝loga(M·N)． 又∵m＋n＝logaM＋logaN， ∴loga(M·N)＝logaM＋logaN. 根据阅读材料，解决以下问题：

(1)将指数式34＝81转化为对数式：__4＝log381__；

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word版 初中数学 M

(2)求证：loga＝logaM－logaN(a＞0，a≠1，

NM＞0，N＞0)；

(3)拓展运用：计算log69＋log68－log62＝__2__. 解：(1)4＝log381(或log381＝4)． (2)证明：设logaM＝m，logaN＝n， 则

M＝am，N＝an，∴

Mam－

＝n＝amn， Na

M

由对数的定义得m－n＝loga，

N又∵m－n＝logaM－logaN， M

∴loga＝logaM－logaN.

N

(3)log69＋log68－log62＝log6(9×8÷2)＝log636＝2. 5．(2019·张家界)阅读下面的材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为an.所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…. 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2. 根据以上材料，解答下列问题：

(1)等差数列5，10，15，…的公差d为__5__，第5项是__25__.

(2)如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到： a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝d，….

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word版 初中数学 所以 a2＝a1＋d

a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d， a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d， …

由此，请你填空完成等差数列的通项公式： an＝a1＋(__n－1__)d.(n为正整数)

(3)－4 041是不是等差数列－5，－7，－9，…的项？如果是，是第几项？ 解：(1)根据题意得，d＝10－5＝5， ∵a3＝15，∴a4＝a3＋d＝15＋5＝20， a5＝a4＋d＝20＋5＝25. (2)∵a2＝a1＋d，

a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d， a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d， …

∴an＝a1＋(n－1)d.

(3)等差数列－5，－7，－9，…的通项公式为：an＝－5－2(n－1)，则－5－2(n－1)＝－4 041，解之得n＝2 019.

∴－4 041是等差数列－5，－7，－9，…的项，它是此数列的第2 019项． 6．(2019·济宁)阅读下面的材料：

如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，

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word版 初中数学 (1)若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是增函数； (2)若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是减函数． 6

例题：证明函数f(x)＝(x＞0)是减函数．

x证明：设0＜x1＜x2，

666x2－6x16（x2－x1）

f(x1)－f(x2)＝－＝＝.

x1x2x1x2x1x2∵0＜x1＜x2， ∴x2－x1＞0，x1x2＞0. ∴

6（x2－x1）

＞0.即f(x1)－f(x2)＞0.

x1x2

∴f(x1)＞f(x2)．

6

∴函数f(x)＝(x＞0)是减函数．

x根据以上材料，解答下面的问题： 1

已知函数f(x)＝2＋x(x＜0)，

xf(－1)＝

117

＋(－1)＝0，f(－2)＝＋(－2)＝－.

4（－1）2（－2）2

2663__，f(－4)＝__－__； 916(1)计算：f(－3)＝__－1

(2)猜想：函数f(x)＝2＋x(x＜0)是__增__函数(填“增”或“减”)；

x(3)请仿照例题证明你的猜想． 1

解：(1)∵f(x)＝2＋x(x＜0)，

x126

∴f(－3)＝－3＝－，

9（－3）2

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word版 初中数学 f(－4)＝

163

－4＝－.

16（－4）2

(2)∵－4＜－3，f(－4)＜f(－3)， 1

∴函数f(x)＝2＋x(x＜0)是增函数．

x(3)设x1＜x2＜0，

11

∵f(x1)－f(x2)＝2＋x1－2－x2

x1x2x1＋x2

＝(x1－x2)1－22.

x1x2

∵x1＜x2＜0，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜0. x1＋x2∴(x1－x2)1－22<0.

x1x2∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)． 1

∴函数f(x)＝2＋x(x＜0)是增函数．

x二、几何阅读理解题

7．(2019·山西)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2＝R2－2Rr.

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word版 初中数学

图1 图2

如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O(三角形三边垂直平分线的交点)与内心I(三角形三条角平分线的交点)之间的距离OI＝d，则有d2＝R2－2Rr. 下面是该定理的证明过程(部分)：

延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN. ∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI(同弧所对的圆周角相等)， ∴△MDI∽△ANI.∴∴IA·ID＝IM·IN.①

如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF. ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°. ∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°. ∴∠DBE＝∠IFA.

∵∠BAD＝∠E(同弧所对的圆周角相等)， ∴△AIF∽△EDB，∴∴IA·BD＝DE·IF.② …… 任务：

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IAIF＝. DEBDIMID＝. IAIN

word版 初中数学 (1)观察发现：IM＝R＋d，IN＝__R－d__(用含R，d的代数式表示)； (2)请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；

(3)请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

(4)应用：若△ABC的外接圆的半径为5 cm，内切圆的半径为2 cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为__5__ cm. 解：(1)∵O，I，N三点共线， ∴OI＋IN＝ON. ∴IN＝ON－OI＝R－d. (2)BD＝ID.理由如下： ∵点I是△ABC的内心，

∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI.

∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD＋∠ABI， ∠DBI＝∠DBC＋∠CBI， ∴∠BID＝∠DBI. ∴BD＝ID.

(3)由(2)知：BD＝ID， ∴IA·ID＝DE·IF. 又∵IA·ID＝IM·IN， ∴DE·IF＝IM·IN， ∴2R·r＝(R＋d)(R－d)．

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word版 初中数学 ∴R2－d2＝2Rr. ∴d2＝R2－2Rr.

(4)由(3)知：d2＝R2－2Rr. 将R＝5，r＝2代入得： d2＝52－2×5×2＝5， ∵d＞0， ∴d＝5.

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word版 初中数

学

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