2022学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合𝐴＝{−1, 0, 1}，集合𝐵＝{𝑥∈𝑁|𝑥2＝1}，那么𝐴∩𝐵＝（ ） A.{1}
B.{0, 1}
C.{−1, 1}
D.{−1, 0, 1}
2. 已知𝑓(𝑥)为奇函数，且当𝑥>0时，𝑓(𝑥)＝𝑥−2，则的值为（ ）
A.
B. C. D.
3. 若扇形的半径为1，周长为𝜋，则该扇形的圆心角为（ ）
A.𝜋
B.𝜋−1 C.𝜋−2 D.
4. 下列命题为真命题的是（ ） A.若𝑎>𝑏，则𝑎2>𝑏2
B.若𝑎>𝑏>0，则𝑎𝑐2>𝑏𝑐2
C.若𝑎<𝑏，𝑐>0，则𝑎𝑐>𝑏𝑐
D.若𝑎<𝑏<0，𝑐>0，则
5. 已知tan𝛼＝−1，则2sin2𝛼−3cos2𝛼＝（ ）
A.
B. C. D.
6. 若函数𝑓(𝑥)是𝑅上的减函数，𝑎>0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.𝑓(𝑎2)<𝑓(𝑎) C.𝑓(𝑎)<𝑓(2𝑎)
B.
D.𝑓(𝑎2)<𝑓(𝑎−1)
7. 已知𝑎＝log23，𝑏＝log45，𝑐＝log87，则（ ） A.𝑎<𝑏<𝑐
8. “𝛼＝𝑘𝜋+𝛽，𝑘∈𝑍”是“tan𝛼＝tan𝛽”成立的（ ）
B.𝑐<𝑎<𝑏
C.𝑐<𝑏<𝑎
D.𝑏<𝑐<𝑎
试卷第1页，总12页
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
9. 如图所示，单位圆上一定点𝐴与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿𝑥轴正向滚动一周，则𝐴点形成的轨迹为（ ）
A.
B.
C.
D.
试卷第2页，总12页
10. 已知函数，给出下列结论：
①∀𝑎∈𝑅，𝑓(𝑥)是奇函数；②∃𝑎∈𝑅，𝑓(𝑥)不是奇函数；
③∀𝑎∈𝑅，方程𝑓(𝑥)＝−𝑥有实根；④∃𝑎∈𝑅，方程𝑓(𝑥)＝−𝑥有实根． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A.①③
函数𝑓(𝑥)=
√2−𝑥的定义域为________． 𝑥
B.①④ C.①②④ D.②③④
二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分。
已知函数𝑓(𝑥)是指数函数，若
，则𝑓(−2) < 𝑓(−3)．（用“>”“<”“＝”填空）
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，角𝛼以𝑂𝑥为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点
𝑃，则tan𝛼＝________ ．保持角𝛼始边位置不变，将其终边逆时针
旋转
得到角𝛽，则cos𝛽＝________ ．
已知偶函数𝑓(𝑥)＝𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，写出一组使得𝑓(𝑥)≥2恒成立的𝑏，𝑐的取值：𝑏＝
________，𝑐＝________．
某地原有一座外形近似为长方体且底面面积为150平方米的蓄水池，受地形所限，底面长和宽都不超过18米．现将该蓄水池在原有占地面积和高度不变的条件下，重建为两个相连的小蓄水池，其底面由两个长方形组成（如图所示）．若池壁的重建价格为每平方米300元，池底重建价格每平方米80元，那么要使重建价最低，蓄水池的长和宽分别为________，________．
三、解答题：共5小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
设全集𝑈＝𝑅，集合𝐴＝{𝑥|2𝑥2−𝑥<0}，𝐵＝{𝑥∈𝑅|𝑎𝑥−1>0}． (Ⅰ)当𝑎＝1时，求𝐴∪𝐵，∁𝑈𝐴； (Ⅱ)若𝐵⊆∁𝑈𝐴，求𝑎的取值范围．
试卷第3页，总12页
已知函数𝑓(𝑥)＝．
(Ⅰ)求𝑓（𝑓(3)）的值并直接写出𝑓(𝑥)的零点； (Ⅱ)用定义证明𝑓(𝑥)在区间(−∞, 2)上为减函数．
已知函数𝑓(𝑥)＝sin(𝜔𝑥+𝜑)，其中．
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求： (Ⅰ)𝑓(𝑥)的单调递增区间；
(Ⅱ)𝑓(𝑥)在区间的最大值和最小值．
条件①：函数𝑓(𝑥)最小正周期为𝜋；
条件②：函数𝑓(𝑥)图象关于点对称；
条件③：函数𝑓(𝑥)图象关于
对称．
已知函数是奇函数． (Ⅰ)求𝑎的值；
(Ⅱ)判断𝑓(𝑥)的单调性；（只需写出结论）
(Ⅲ)若不等式𝑓(𝑥−𝑥2)+𝑓(𝑥+𝑚)<0恒成立，求𝑚的取值范围．
中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是𝜃1，环境温度是𝜃0，则经过时间𝑡（单位：分）后物体温度𝜃将满足：𝜃＝𝜃0+(𝜃1−𝜃0)∗𝑒−𝑘𝑡，其中𝑘为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200𝑚𝑙初始温度为98∘𝐶的水在19∘𝐶室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：
从98∘𝐶下降到90∘𝐶所用时间 1分58秒 从98∘𝐶下降到85∘𝐶所用时间 3分24秒 从98∘𝐶下降到80∘𝐶所用时间 4分57秒 (Ⅰ)请依照牛顿冷却模型写出冷却时间𝑡（单位：分）关于冷却后水温𝜃（单位：∘𝐶）的函数关系，并选取一
组数据求出相应的𝑘值（精确到0.01）．
(Ⅱ)“碧螺春”用75∘𝐶左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在(Ⅰ)的条件下，200𝑚𝑙水煮沸后在19∘𝐶室温下为获得最佳口感大约冷却________分钟左右冲泡，请在
试卷第4页，总12页
下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．
(𝐴)5(𝐵)7(𝐶)10
（参考数据：ln79＝4.369，ln71＝4.263，ln66＝4.190，ln61＝4.111，ln56＝4.025）
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参与试题解析
2022学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 【答案】 A
【考点】 交集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 2. 【答案】 C
【考点】 求函数的值 函数的求值
函数奇偶性的性质与判断【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 3. 【答案】 C 【考点】 弧长公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 4. 【答案】 D
【考点】
不等式的基本性质 命题的真假判断与应用 【解析】 此题暂无解析
试卷第6页，总12页
【解答】 此题暂无解答 5. 【答案】 B
【考点】
同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 6. 【答案】 D
【考点】
函数单调性的性质与判断 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 7. 【答案】 C
【考点】
对数值大小的比较 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8. 【答案】 B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9. 【答案】 A 【考点】 轨迹方程 【解析】
试卷第7页，总12页
此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 10. 【答案】 B
【考点】
命题的真假判断与应用 函数奇偶性的性质与判断 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答
二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分。 【答案】
{𝑥|𝑥<0或0<𝑥≤2} 【考点】
函数的定义域及其求法 【解析】
通过函数的分母不为0，开偶次方被开方数非负，列出不等式组求解即可． 【解答】
𝑥≠0
解：要使函数有意义，必有：{，
2−𝑥≥0可得𝑥≤2且𝑥≠0．
所以函数的定义域为：{𝑥|𝑥<0或0<𝑥≤2} 故答案为：{𝑥|𝑥<0或0<𝑥≤2}． 【答案】 <
【考点】
指数函数的图象与性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 ,-
【考点】
任意角的三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答
试卷第8页，总12页
【答案】 0,2
【考点】
二次函数的性质 二次函数的图象 函数恒成立问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 15,10
【考点】
根据实际问题选择函数类型 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答
三、解答题：共5小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 【答案】
（1）∵ 全集𝑈＝𝑅，集合𝐴＝{𝑥|2𝑥2−𝑥<4}＝{𝑥|0<𝑥<当𝑎＝1时，𝐵＝{𝑥∈𝑅|𝑎𝑥−1>7}＝{𝑥|𝑥>1}．
}，
∴ 𝐴∪𝐵＝{𝑥|0<𝑥<或𝑥>1}，
∁𝑈𝐴＝{𝑥|𝑥≤5或𝑥
}．
（2）当𝑎>6时，当𝑎＝0时，𝐵＝⌀𝑈𝐴；
，若𝐵⊆∁𝑈𝐴，则有
，此时0<𝑎≤3；
当𝑎<0时，
综上，𝑎的取值范围是(−∞． 【考点】
交、并、补集的混合运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
，满足𝐵⊆∁𝑈𝐴．
试卷第9页，总12页
（1）𝑓(3)＝log22＝2，则𝑓（𝑓(3)）＝𝑓(1)＝(2)∀𝑥8，𝑥2∈(−∞, 2)2<𝑥2，则
，𝑓(𝑥)的零点为1和2．
＝-＝
，
由𝑥4<𝑥2<2，
得𝑥2−𝑥1>0，𝑥8−2<0，𝑥6−2<0， 所以𝑓(𝑥5)−𝑓(𝑥2)>0， 即𝑓(𝑥7)>𝑓(𝑥2)，
所以𝑦＝𝑓(𝑥)在区间(−∞, 2)上为减函数． 【考点】
函数单调性的性质与判断 分段函数的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
选择条件①②解答如下：
（1）由函数𝑓(𝑥)最小正周期，得𝜔＝2．
又𝑓(𝑥)图象关于点对称，有，
又已知，故．
因此．
，
解得，𝑘∈𝑍．
所以𝑓(𝑥)的单调递增区间为．
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（2）因为，所以．
当，即时，𝑓(𝑥)取得最大值1；
当，即时，𝑓(𝑥)取得最小值．
如果选择条件①③解答如下：
由函数𝑓(𝑥)最小正周期，得𝜔＝2．
又函数𝑓(𝑥)图象关于对称，有，
又已知
【考点】
三角函数的最值 正弦函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
，故．下同．
注：选择②③不能确定函数最小正周期，无法确定函数．
（I）因为𝑓(𝑥)为奇函数，定义域为𝑅，
所以𝑓(0)＝0，即，解得．
则＝，
验证＝＝−𝑓(𝑥)．
（2）为增函数． (Ⅲ)由奇函数𝑓(𝑥)在定义域𝑅上单调递增， 不等式𝑓(𝑥−𝑥2)+𝑓(𝑥+𝑚)<7恒成立， 得𝑓(𝑥2−𝑥)>𝑓(𝑥+𝑚)恒成立，
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即𝑥2−𝑥>𝑥+𝑚恒成立．
由𝑥7−2𝑥−𝑚>0恒成立，有△＝5+4𝑚<0． 所以，𝑚的取值范围是(−∞． 【考点】
函数单调性的性质与判断 奇偶性与单调性的综合 函数恒成立问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 𝐵
【考点】
根据实际问题选择函数类型 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答
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