2022-2023学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量A. 2.直线A. 3.抛物线A.
，B.
的倾斜角是( )B.
的准线方程是( )
B.
C.
D.
C.
D.
，且C.
，那么实数k的值为( )
D. 2
4.2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”英文为：“TogetherforaSharedFuture”，这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待．“一起向未来”的英文表达是：“TogetherforaSharedFuture”，其字母出现频数统计如表：字母频数
t3
o2
g1
e4
h2
r4
f2
a2
s1
d1
u2
合计频数为24，那么字母“e”出现的频率是( )A. 5.设A. 4
6.已知在长方体与平面A. B. C. D.
为数列
B.
的前n项和，已知
B. 5
中，
所成角的正弦值为( )
C. ，C. 7
，
D. ，那么D. 9，那么直线
( )
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7.如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点O对称的概率为( )A. B. C. D. 8.圆心为A. C.
9.已知正四棱锥那么A. B. C. D.
，半径
的圆的标准方程为( )
B. D.
的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，
面积的最小值为( )
10.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，那么事件“A.
”的概率为( )
B.
C.
D.
11.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失．根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为少为( )
根据它们收
据此可以判断，震中到地震台B站的距离至
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A. 8km12.对于数列
B. 6kmC. 4kmD. 2km
，则称数列
是有界的．若这
，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有
是无界的．记数列
B. 若D. 若
的前n项和为
，则数列，则数列
样的正数M不存在，则称数列A. 若C. 若
，则数列
，则数列
，下列结论正确的是( )是有界的是有界的
是无界的
是有界的
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。13.已知空间向量14.在等差数列15.两条直线
：
中，
，，与
：
，则
，若
，则实数__________.
之间的距离是__________.
__________.
16.某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答．假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为__________；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为__________.17.试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为18.已知点P是曲线点，且①当②当③当④当
的双曲线方程__________.
上任意两个不同的
其中a，b为常数上的一点，设M，N是直线
则下列结论正确的是__________.时，方程时，方程，，
，且，且
表示椭圆；表示双曲线；时，使得
时，使得
是等腰直角三角形的点P有6个；
是等腰直角三角形的点P有8个．
三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.本小题8分
某超市有A，B，C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如表所示，且两人选择哪个收银台相互．
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收银台
A收银台
顾客甲乙
求a，b的值；
求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率；求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率．20.本小题10分在四棱锥
中，底面ABCD是正方形，Q为棱PD的中点，
，
，再从下
a
bB收银台
C收银台
列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题．条件①：平面条件②：求证：
平面ABCD；
平面ABCD；
求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值；求点B到平面ACQ的距离．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
21.本小题10分已知圆C：判断圆C和圆
的位置关系；
，圆
：
及点
求经过点P且与圆C相切的直线方程．22.本小题10分已知椭圆E：
的离心率为
，一个顶点为
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求椭圆E的方程；
若过点A的直线l与椭圆E的另一个交点为B，且23.本小题8分
，求点B的坐标．
已知无穷数列满足公式设
若若
，求的值；
，求a的值；
，是否存在这样的实数a，使数列
满足：
给定整数①数列②数列
的前M项都不为零；中从第
项起，每一项都是零．
，并写出数列
的通项公式；若不存在，请
若存在，请将所有这样的实数a从小到大排列形成数列说明理由．
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答案和解析
1.【答案】B 【解析】【分析】
本题考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．利用空间向量共线的坐标运算求解即可．【解答】解：
向量
，
故选：2.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．化直线方程为斜截式，求得直线的斜率，可得直线的倾斜角．【解答】解：由直线则直线l的斜率故选：3.【答案】C 【解析】【分析】
本题考查抛物线的准线方程，属基础题．根据抛物线的准线方程直接求解．【解答】解：
抛物线的方程为
，，得
，其倾斜角为
，
，，
，且
，
该抛物线的准线方程为故选：4.【答案】B 【解析】【分析】
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本题主要考查频数分布表，属于基础题．
根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．【解答】
解：字母e的频数为4个，则字母“e”出现的频率是故选：5.【答案】A 【解析】【分析】
本题主要考查根据前n项和的关系式求某项的值，属基础题．先将题干已知条件进行转化，再根据公式【解答】解：依题意，由可知当故选：6.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查棱柱的结构特征和直线与平面所成角，考查空间想象，逻辑推理和运算能力，属于基础题．根据棱柱的结构特征，可得直线【解答】解：连接在长方体故直线在长方形在故选：7.【答案】C 【解析】【分析】
中，与平面
中，
，
，如图所示：
中，所成角为
平面
，
，，
与平面
所成角为
，即可得出答案．
时，
，
，
代入进行计算即可得到
的值．
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本题主要考查了组合及古典概率公式的应用，属于基础题．由已知结合组合及古典概率公式即可求解．【解答】
解：从四个顶点中选两个的情况有
种，
选的两个点关于O对称的情况有A，C与B，D，故所求的概率为故选：8.【答案】B 【解析】【分析】
本题考查圆的标准方程，注意圆的标准方程的形式，属于基础题．根据题意，由圆的标准方程的形式，代入圆心的坐标和半径，即可得答案．【解答】
解：根据题意：所求的圆的标准方程为故选：9.【答案】D 【解析】【分析】
本题主要考查了正四棱锥的结构特征，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．取BD中点O，连接OH，AC，由正四棱锥的性质可知当【解答】
解：取BD中点O，连接OH，AC，如图所示，
时，OH最小，求出此时OH的最小值，从而求出
，
，所以在直角三角形POC中，面积的最小值．
；
四棱锥
为BD的中点，
为正四棱锥，
，
平面ABCD，，
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平面ABCD，，
，
，，
，
，当点H和点P重合时，OH最大，最
在直角三角形POC中，当大为4，
，
又当故选：10.【答案】C 【解析】【分析】
时，
，
时，OH最小，为
的面积最小，为
本题考查古典概型概率计算公式，属于中档题．根据古典概型概率计算公式可解．【解答】
解：根据题意抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有基本事件36个，且将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，又
则满足事件“则事件“故选：11.【答案】A 【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．设震中为P，根据双曲线的定义以及【解答】
解：设震中为P，依题意有近A的一支，因为所以
，当且仅当A，P，B三点共线时，取等号，，所以
，
，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠
可求出结果．
，则
，
”的基本事件为”的概率为
，
，
，
，
，
，
共6种，
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所以震中到地震台B站的距离至少为故选：12.【答案】C 【解析】【分析】
本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界，属于较难题．根据已知
恒成立，A错误；
，
不存在最大值，即数列
无界，B错误；C项分
别在n为偶数和n为奇数情况下求和，由此可确定，C正确；D项采用放缩法可判断．【解答】解：对于A，数列对于B，
，
数列
是有界的，A错误；
，
，即随着n的增大，不存在正数M，使得
恒成立，
恒成立，
存在正数
，使得
恒成立，
是无界的，B错误；
；当n为奇数时，，使得
恒成立，
；
对于C，当n为偶数时，
，
数列对于D，
…
存在正数
是有界的，C正确；
，…
，
在
上单调递增，
恒成立，
数列
随着n增大趋向无穷大，是无界的，D错误．
不存在正数M，使得故选：13.【答案】1 【解析】【分析】
本题考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属于基础题．由
，可建立关于m的方程，解出即可．
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【解答】解：因为所以故答案为：14.【答案】【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．由已知结合等差数列的通项公式即可求解．【解答】解：等差数列所以所以则故答案为：15.【答案】2 【解析】【分析】
本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．由已知结合两平行线间的距离公式即可求解．【解答】解：两条直线故答案为：
16.【答案】 ； 【解析】【分析】
本题主要考查二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，属于中档题．根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，即可求解．【解答】
解：设甲能够答对X道题目，则
，：
与：
之间的距离是
，
中，，
，
，
，解得
，
，
，
，
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，
若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为故答案为：；17.【答案】【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程及几何性质，属于基础题.根据双曲线的渐近线方程及焦点的位置可设双曲线的方程为【解答】
解：因为双曲线方程中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为方程设为故答案为：18.【答案】②③④ 【解析】【分析】
本题主要考查曲线与方程和直线与椭圆的位置关系，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于较难题．对①②，根据方程对③④，求出点 P到直线
表示的曲线直接分析判断即可；
的距离 d的取值范围，对点 P是否为直角顶点进行分类讨论，确定 d， t，当答案不唯一
时得到所求的双曲线之一为：
，所以符合条件的双曲线，任取为一个正数即可.
答案不唯一
的等量关系，综合可得出结论．【解答】解：方程当
时，
中，当
时，可表示圆；
表示双曲线，故①错误，②正确；
椭圆与直线，则点P到直线
均关于原点对称，的距离；
在③④中：椭圆方程为设点
对③：满足
时，若P为直角顶点，如图1，则为等腰直角三角形的点P有四个，
，，
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图1
若P不是直角顶点，如图2，则有两个，
，
，满足
是等腰直角三角形的非直角顶点P
图2故对④：满足
时，使得
是等腰直角三角形的点P有6个，③正确；
，
，
时，若P为直角顶点，如图1，则为等腰直角三角形的点P有四个．
，
，
若P不是直角顶点，如图3，则满足
是等腰直角三角形的非直角顶点P有四个，
图3故
时，使得
是等腰直角三角形的点P有8个，④正确；
故答案为：②③④．19.【答案】解：
由表可知，甲选择A收银台的概率为
；
，
乙选择B收银台的概率为
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甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率为甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率为
；
【解析】本题主要考查对立事件的概率公式，以及相互事件的概率乘法公式，属于基础题．根据已知条件，结合概率和为1，即可求解；
根据已知条件，结合相互事件的概率乘法公式，即可求解；
根据已知条件，结合对立事件的概率公式，以及相互事件的概率乘法公式，即可求解；20.【答案】解：证明：
平面
选取条件①：平面平面ABCD，
平面ABCD，，
平面PAD，且平面
平面
，
平面ABCD；
选取条件②：证明：
，
平面ABCD；由
得
平面ABCD，
，
，如图
，
，
平面ABCD，
平面ABCD，
，
则建立以A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系所示：
，则
，
，
，，
，
，
，
，
则平面ABCD的一个法向量为设平面ACQ的一个法向量为
则，取
平面ACQ的一个法向量为
，则，
，
，，
设平面ACQ与平面ABCD夹角为则
，
故平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为
由
得平面ACQ的一个法向量为，则
点B到平面ACQ的距离
，
；
，
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【解析】本题考查线面垂直的证明、平面与平面所成角的向量求法，向量法求点到平面的距离，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
分别选取条件①、②，根据线面垂直的判定定理和面面垂直的性质，即可证明结论；由
得
平面ABCD，
，建立以A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y，利用向量法，即可得出答案；
，利用向量法，即可得出答案．，配方为
，
轴、z轴的空间直角坐标系
由
得平面ACQ的一个法向量为
圆C：，半径
，可得圆心
，
，
，
21.【答案】解：可得圆心圆
：
圆C和圆由点设切线方程为则
相交．
，可知切线的斜率存在，
，即
，解得
或或
，
，
要求的切线方程为
【解析】本题考查了两圆的位置关系的判定、圆的切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．圆C：
，可得圆心
由点出
22.【答案】解：所以因为所以
，
因为椭圆，即，所以
，
，所以
，
的离心率为
，上顶点为
，
，配方为，
求出圆心距离
，可得圆心C，半径
圆
：
，与半径的和差比较即可得出位置关系．
，根据直线与圆相切的性质即可得
，可知切线的斜率存在，设切线方程为
所以椭圆E的方程为
由题意易知，斜率不存在时不符合要求．
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当直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l：由因为则由化简得解得
或
，得
，舍，故
，
，
，
，
，整理得
，
，
所以点B的坐标为
【解析】本题考查了椭圆的方程和性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．根据椭圆中a，b，c的关系求解即可；
易知斜率不存在时不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l：求出B点坐标，由
，化简可得k的方程，解方程求出
，联立直线与椭圆的方程，
的值即可求出B点坐标．
23.【答案】解：无穷数列满足公式，
，，当此时，若若
当此时，若若综上，
，则或1或，则
时，，则时，，则
，
，，，
，，，
，
，，.，
存在这样的
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，
当当依次类推，数列
，时，时，，
由可知
，
，
，
，
，
，，
，2，3，
，
，，，
，
的通项公式为
【解析】本题考查数列的递推公式、数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．由
，当
推导出
；当，推导出存在这样的时，求出项公式．
由
可知
，
，
，当，
，
，
时，求出
，当
的通
，能求出
和时，
，求出时，求出
，若，若
，推导出，推导出
，若若
，
，依次类推，，由此能求出数列
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