北京市十一学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题1πö1．已知tanq=，则tanæq+÷=（ ）ç34øè1A．9+10217B．2C．2D．32．在VABC中，A=45°,C=60°,a=10，则c=（ ）A．56B．5C．52D．533．在VABC中，cosA=3A，则cos=（ ）52A．55B．255C．-55D．-2554．已知tana=2，则sin2a+sin2a=（ ）A．1B．85C．45D．655．在VABC中，已知B=120°,AC=23,AB=2，则BC=（ ）A．1B．3f(x)=sinx+cosxC．4D．26．函数①，②f(x)=sinxcosxππ，③f(x)=2cos(x+)-1中，周期是42且为奇函数的所有函数的序号是（ ）A．①②B．②C．③D．②③试卷第11页，共33页

π7．如图是函数f(x)=Asin(wx+j)(A>0,w>0,|j|<)的部分图象，则该函数解析式为2（ ）1πA．y=2sin(x+)26B．y=2sin(2x+)π6C．y=2sin(2x+π)12πD．y=2sin(2x-)68．已知VABC的内角A、、BC的对边分别为a、、bc，若VABC222c-a-b的面积为，则4C=（ ）A．p6B．p4C．p2D．3p4πö9．设函数f(x)=cosæçwx-÷(w>0)．若6øè131wæπöfç÷=1，则的最小值为（ ）è4ø23A．B．2C．D．83r10．在VABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点．则uuu（ ）EB=r1uuur3uuuAB-AC44r3uuu43uuur4A．B．AB-ACC．r1uuur3uuuAB+AC44D．AB+ACr3uuu43uuur4试卷第21页，共33页

11．在VABC 中，A=π，则“sinB<42”是“VABC是钝角三角形”的（ ）2A．充分而不必要条件C．充分必要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件12．已知f(x)=3sin(2x+j)(jÎR)既不是奇函数也不是偶函数，若y=f(x+m)为奇函数，y=f(x+n)为偶函数，则|m|+|n|的最小值为（ ）ππ2π4π8A．B．C．D．二、填空题13．函数f(x)=tan(2x-)的单调递增区间为 ；rrrrrra,baa=2b=214．已知向量共线，且，则+b= ．π315．能使“cos(a+b)=cosa+cosb”成立的一组a，b的值可以为 ．16．已知函数y＝sin(2x＋φ)(-ppp点的仰角均为60°，AC=1km．则B，D的距离为 km．三、解答题4519．已知cosa=-,aÎ(0,π),sinb=-,b是第三象限角，求：513(1)sina,cosb的值；(2)sin(a+b)和tan2a的值．(0,0)π20．已知函数f(x)=sin(2x-)+m过原点．6(1)求m的值；f(x)(2)求函数在[0,4π]上的零点；3(3)下表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据．xπ3π65π602x-π2π3π2π2-10π00x-1sin(2)6试卷第41页，共33页

y12121221．如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=26,CD=6,cosA=6,cosÐADB=1，33(1)求cosÐABD；(2)求BC的长．22．已知函数f(x)=cosx(23sinx+cosx)-sin2x．(1)求函数f(x)的单调递增区间和最小正周期；(2)填写由函数y=2sinx的图象变换得到f(x)的图像的过程：先将y=2sinxπ图象上的所有点______，得到y=2sin(x+)的图象；6π再把y=2sin(x+)的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标______，得到6πf(x)=2sin(2x+)的图象．6xmf(x)³mπ(3)若当xÎ[0,]时，关于的不等式______，求实数的取值范围．2请选择①和②中的一个条件，补全问题（3），并求解．其中，①有解；②恒成立．试卷第51页，共33页

23．在VABC中，c=2bcosB,ÐC=2π．3(1)求ÐB；VABC存在且唯一确定，(2)在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使并求BC边上的中线的长．条件①c=2b； 条件②VABC的周长为4+23； 条件③VABC的面积为3．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．试卷第61页，共33页

参：1．C【分析】借助两角和的正切公式计算即可得.1π+1πöæ34==2.【详解】tançq+4÷=π1èø1-tanq×tan1-43tanq+tan故选：C.2．A【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算即得.【详解】在VABC中，A=45°,C=60°,a=10，由正弦定理得ac=，sinAsinC所以c=10sin60°=56.sin45°故选：A3．B【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式计算即得.【详解】在VABC中，cosA=πA3，则00，252由cosA=2cos2故选：B4．BA-1，得cosA=1+cosA=4=25.22255【分析】利用二倍角的正弦公式，结合正余弦的齐次式法计算即得.【详解】由tana=2，得2sinacosa+sin2a2tana+tan2a2´2+228sin2a+sina====.sin2a+cos2atan2a+122+152故选：B答案第11页，共22页

5．D【分析】根据给定条件，利用余弦定理列出方程并求解即得.【详解】在VABC中，B=120°,AC=23,AB=2，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcosB，则12=4+BC2-4×BCcos120°，整理得BC2+2BC-8=0，而BC>0，所以BC=2.故选：D6．D【分析】利用辅助角公式及二倍角的余弦公式化简函数式并逐一判断即得.πππππ【详解】对于①，f(x)=2sin(x+)，显然f(-)=0，f()=2，f(-)¹-f()，44444因此函数f(x)=sinx+cosx不是奇函数，①不是；111对于②，f(x)=sin2x的定义域为R，f(-x)=sin2(-x)=-sin2x=-f(x)，222函数f(x)=sinxcosx是奇函数，周期为π，②是；f(-x)=-sin2(-x)=sin2x=-f(x)π对于③，f(x)=cos(2x+)=-sin2x的定义域为R，，2ππ函数f(x)=2cos2(x+)-1是奇函数，周期为，③是，4故选：D7．B【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出各参数即可.A=2f(x)【详解】观察图象知，，函数的周期T=2(2ππ2π=2，-)π=，则w=T36答案第21页，共22页

πππππkkÎZ，而|j|<，则k=0,j=，由f()=2，得2´+j=+2π,26266所以f(x)=2sin(2x+6).故选：B8．D【分析】根据三角形面积公式列出相应等式，结合余弦定理化简，即可得到答案.1c2-a2-b2【详解】由题意可得：absinC= ，24πtanC=-11abcosC即absinC=-，则 ，22CÎ(0,p)由于 ，故C=3p ,4故选：D9．C【分析】借助余弦型函数的性质计算即可得.ππ【详解】由题意可得´w-=2πk46(kÎZ)，即w=w>022，故wmin=.+8k(kÎZ)，又33故选：C.10．A【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.【详解】因为VABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，uuuruuuruuurrruuuruuur3uuur1uuur1uuuruuu11uuu所以EB=EA+AB=-AD+AB=-´AB+AC+AB=AB-AC，22244()故选：A．答案第31页，共22页

11．AVABC【分析】先判断如果sinB<2 能不能推出 是钝角三角形，2VABC再判断如果 是钝角三角形，是否一定有sinB<2即可.2pp【详解】如果sinB<2，由于B是三角形的内角，并且A=, 则02 ，322所以sinB<2不是必要条件；2故选：A.12．C【分析】利用函数的奇偶性，结合诱导公式及五点作图法分析计算得解.【详解】依题意，j¹kπ且j¹f(x)πT=π+kπ,kÎZ，函数的最小正周期，2答案第41页，共22页

令j0ππj=2πk1+j0k1ÎZ,f(x)=3sin(2x+j0)满足j0Î(0,)U(,π), 且（）则，22由2x+j0=0，得五点作图法的最左边端点为(-j0,0)，2由f(x+m)=3sin(2x+2m+j0)是奇函数，得|m|min=min(|-j0ππ-j0j-j0|,||)=min(0,)，2222由f(x+n)=3sin(2x+2n+j0)是偶函数，得|n|min=|-j0ππ2-j0+|=||,244jπ2-j0ππ当j0Î(0,)时，|m|min=0，|n|min=，此时(|m|+|n|)min=；4422π-j02πj-π当j0Î(,π)时，|m|min=，|n|min=0422ππ-j02j0-+24，此时(|m|+|n|)min==π,4所以|m|+|n|的最小值为π.4故选：C【点睛】方法点睛：用“五点法”作y=Asin(wx＋j)的简图，主要是通过变量代换，设z=wx+jπ3π，由z取 0,,π,,2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标.2213．(-p15p1+kp,+kp),kÎZ122122【分析】利用正切函数的单调性，直接代换即可求出．y=tanx【详解】因为ppö的单调增区间是æ-+kp,+kpç÷,kÎZ，2è2ø由-pppp15p1+kp,kÎZ，+kp<2x-<+kp，解得-+kpπp15p1故函数f(x)=tan(2x-)的单调递增区间为(-+kp,+kp),kÎZ．3122122【点睛】本题主要考查正切函数单调区间的求法，利用函数的单调性的性质进行代换是常用的解题方法．14．或13【分析】借助向量共线，分向量同向与反向计算即可得.rr共线，故向量rr可能同向、可能反向，【详解】由向量a,ba,brrrrrrrra,b当向量同向时，由a=2b=2，则a+b=2b+b=3，rrrrrrrra,ba=2b=2a+b=-2b+b=1.当向量反向时，由，则rr13a即+b可能为或.故答案为：1或3.ππ15．a=-,b=（答案不唯一）33【分析】根据给定的等式，写出一组a，b的值并代入验证作答.cos(a+b)=cos0=1ππ【详解】取a=-,b=，则，33ππ11cosa+cosb=cos(-)+cos=+=1，3322因此cos(a+b)=cosa+cosb成立.答案第61页，共22页

ππ故答案为：a=-,b=3316．-p6ppp2p代入函数中，得f()=sin(+j)=±1，化简得：j=kp-,kÎZ，进6333【解析】将x＝一步求出j的值.p2p【详解】由题意得f()=sin(+j)=±1，332pp+j=kp+,kÎZ，32∴∴j=kp-p,kÎZ6∵jÎ(-pp,)，32p.6∴取kÎ0得j=-故答案为：-p.617．0.51/2【分析】分a为第一象限角及a为第四象限角进行讨论，并结合两角差的余弦公式、三角函数基本关系计算即可得.答案第71页，共22页

ab1【详解】由cosa=，故为第一或第四象限角，则为第二或第三象限角，2a当为第一象限角时，sina=1-cos2a=3，213，cosb=cosπ(-a)=-，22sinb=sinπ(-a)=此时cos(a-b)=cosacosb+sinasinb=1´æ-1ö+3´3=1；ç÷2è2ø222当a为第四象限角时，sina=-1-cos2a=-3，23，cosb=cos(3π-a)=-1，22sinb=sin(3π-a)=-3öæ3ö1；此时cos(a-b)=cosacosb+sinasinb=1´æ-1ö+æ-´-ç÷çç÷÷ç2÷÷=22è2øç2èøèø故cos(a-b)=1.2故答案为：1.218．32+62【分析】根据给定条件，求出AD，再利用正弦定理、余弦定理求出BD.【详解】依题意，在VACD中，ÐCAD=30°,ÐACD=120°，则ÐADC=30°，CD=AC=1，AD=2×ACcos30°=3，在VABC中，ÐBAC=105°,ÐACB=60°，则ÐABC=15°，答案第81页，共22页

而cos75°=sin15°=sin(45°-30°)=2´3-2´1=6-2，22224由正弦定理得AB=ACsinÐACB=sinÐABC1´32=32+6，26-24在△ABD中，ÐBAD=75°，由余弦定理得BD=(32+6232+66-232+6.)+(3)2-2´´3´=2242故答案为：32+6231219．(1)sina=,cosb=-；513(2)sin(a+b)=-1624，tan2a=-.765【分析】（1）根据平方关系，结合三角函数的符号求解可得；（2）利用正弦的两角和公式求sin(a+b)，利用商数关系求tana，再由正切的二倍角公式求tan2a即可.45【详解】（1）因为cosa=-,aÎ(0,π),sinb=-,b是第三象限角，513所以312.æ4öæ5ösina=1-ç-÷=,cosb=-1-ç-÷=-513è5øè13ø22答案第91页，共22页

312（2）由（1）知，sina=,cosb=-，513312ö4æ5ö16所以sin(a+b)=sinacosb+cosasinb=´æç-÷-´ç-÷=-，5è13ø5è13ø65tana=因为sina3=-cosa4æ3ö2´ç-÷2tanaè4ø=-24.=，所以tan2a=21-tan2a7æ3ö1-ç-÷è4ø20．(1)m=1；22ππ(2)，，；30(3)填表见解析.【分析】（1）把原点坐标代入求出m值.（2）由（1）的解析式，结合零点的意义及正弦函数的性质求出零点.（3）根据五点法作图完善表格.f(0)=0【详解】（1）依题意，π1，即sin(-)+m=0，即m-=0，62所以m=1.2f(x)=0π1π1（2）由（1）知，f(x)=sin(2x-)+，由，得sin(2x-)=-，6262当xÎ[0,ππ5ππ11π4ππ7πππ或2x-=，]时，2x-Î[-,]，则2x-=-或2x-=6626636666答案第101页，共22页

解得x=0或x=x=π2π或，3所以函数f(x)04π2ππ在[0,]上的零点为，，.33（3）根据“五点法”作图，填表如下：xππ123π67π5π13π1261202x-π2π3π2π2-10π00x-1sin(2)6y123212-112221．(1)6；9(2)11.【分析】（1）计算出sinA、sinÐADB，利用两角和的余弦公式可求得cosÐABD的值.（2）在△ABD中，利用正弦定理可求出BD的长，然后在△BCD中利用余弦定理可求得BC的长.AÐADB1中，cosA=6，cosÐADB=，则、均为锐角，33【详解】（1）在△ABD则sinA=1-cos2A=3，sinÐADB=1-cos2ÐADB=22，33cosÐABD=cos(π)-A-cos(ÐADB=-)Asin+ÐADBsin=AcosÐcosADB-AÐADB答案第111页，共22页

=322616.×-×=33339△ABD（2）在中，由正弦定理得ABBD=sinÐADBsinA，BD=ABsinA=sinÐADB26´22333=3，由AB//CD，得ÐBDC=ÐABD，在△BCD中，由余弦定理得：BC2=BD2+CD2-2BD×CDcosÐBDC=9+6-2×3×6×6=11，9所以BC=11.ππ22．(1)[π,π](-+kZ)+k36kÎπ，；(2)左平移1π个单位长度，变为原来的2；6(3)答案见解析.【分析】（1）先将函数整理，得到f(x)=2sin(2x+6)，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递增区间与最小正周期；（2）由（1）中函数，利用三角函数图象变换求解即得.（3）若选①，可得m£f(x)，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，maxπ即可得出结果；若选②，可得m£f(x)，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的min最小值，即可得出结果.答案第121页，共22页

22f(x)=23sinxcosx+cosx-sinx=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π)，【详解】（1）依题意，6所以函数f(x)的最小正周期T=π；πππ+2π2k£x+£2π,+kZkÎ262由-，得-ππ+kππ,£x£Z+kkÎ，36所以函数f(x)ππ的单调增区间为[π,π](-+kZ)+k36kÎ.（2）先将y=2sinx图象上的所有点向左平移ππ个单位长度，得到y=2sin(x+)的图象；661π再把y=2sin(x+)的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2，得到6πf(x)=2sin(2x+)的图象.6（3）若选择①，不等式f(x)³m有解，即m≤f(x)max，ππ7ππ2x+由xÎ[0,]，得≤≤6626，f(x)ππππ则当2x+=，即x=时，取得最大值，且最大值为f()=2，6266所以m£2.若选择②，不等式f(x)³m恒成立，即m£f(x)min．ππ7ππ2x+由xÎ[0,]，得≤≤6626，答案第131页，共22页

则当2x+=f(x)π7πππ，即x=时，取得最小值，且最小值为f()=-1．6622所以m£-1．【点睛】思路点睛：求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.23．(1)π6(2)答案见解析【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可求得各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）因为c=2bcosB，所以sinC=2sinBcosB，所以sinC=sin2B，因为C=2π，3所以当C=2B时，B=πC+B=π，所以，3不合题意，舍去，所以C+2πB=，ππ，所以B=；36所以2B=（2）选①：csinC==3，与已知条件矛盾，bsinB故VABC不存在；答案第141页，共22页

选②：因为C=2πππ，B=，所以A=，366因为abc===2R，sinAsinBsinC所以a=R，b=R，c=3R，所以a+b+c=(2+3)R=4+23，所以R=2，所以a=2，b=2，c=23，BCD11BC=a=1，22设中点为，所以CD=因为在VACD中由余弦定理有，æ1öAD2=AC2+CD2-2AC×CD×cosÐC=22+12-2´2´1´ç-÷=7，è2ø所以AD=7，所以BC边上的中线长度为7；选③：因为SVABC=113absinC=a2´=3，222所以a=b=2，c=23，11BC=a=122同理CD=因为AD2=AC2+CD2-2×AC×CD×cos2π122æö=2+1-2´2´1´ç-÷=7，3è2ø所以AD=7.答案第151页，共22页