2022-2023学年北京市东城区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷

⃗ =(8,−2,1)，⃗ 1. 已知向量𝑎𝑏=(−4,1,𝑘)，且𝑎⃗ //⃗ 𝑏，那么实数k的值为( )

A. 2 A. 45∘

1

1

B. −2 B. 135∘

1

C. −2 D. 2

2. 直线𝑙:𝑥−𝑦−√3=0的倾斜角是( )

C. 60∘

1

D. 90∘

3. 抛物线𝑦2=−2𝑥的准线方程是( ) A. 𝑦=2 B. 𝑦=−1

C. 𝑥=2

D. 𝑥=1

4. 2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向

未来”(英文为：“TogetherforaSharedFuture”)，这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待．“一起向未来”的英文表达是：“TogetherforaSharedFuture”，其字母出现频数统计如表： 字母 频数 t 3 o 2 g 1 e 4 h 2 r 4 f 2 a 2 s 1 d 1 u 2 合计频数为24，那么字母“e”出现的频率是( ) A. 8 A. 4

1

B. 6 B. 5

1

C. 12 C. 7

1

D. 4 D. 9

1

5. 设𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前n项和，已知𝑎1=3，𝑆𝑛+1=𝑆𝑛+2𝑛，那么𝑎3=( )

6. 已知在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐴𝐵=𝐴𝐷=1，𝐴𝐴1=2，那么直线𝐴1𝐶与平面𝐴𝐴1𝐷1𝐷

所成角的正弦值为( )

√6A. 6 B.

√356√3 C. 3 D. 3

√67. 如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．从这个正方形的四个顶点中随机选取两

个，那么这两个点关于点O对称的概率为( )

第1页，共16页

A. 5

1

B. 4

1

C. 3

1

D. 2

1

8. 圆心为(−1,2)，半径𝑟=3的圆的标准方程为( ) A. (𝑥−1)2+(𝑦+2)2=9 C. (𝑥−1)2+(𝑦+2)2=3

面积的最小值为( )

B. (𝑥+1)2+(𝑦−2)2=9 D. (𝑥+1)2+(𝑦−2)2=3

9. 已知正四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，那么△𝐻𝐵𝐷A. √2 B. 2 C. 3 D.

4√2

3

√2√3

10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，

那么事件“2𝑥+𝑦≤16”的概率为( )

1

A. 9 B. 36 C. 6 D. 3

115

11. 地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”

之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失．根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．在一次地

第2页，共16页

震预警中，两地震台A站和B站相距10𝑘𝑚.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6𝑘𝑚.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为( )

A. 8km B. 6km C. 4km D. 2km

12. 对于数列{𝑎𝑛}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有|𝑎𝑛|≤𝑀，则称数列{𝑎𝑛}是

有界的．若这样的正数M不存在，则称数列{𝑎𝑛}是无界的．记数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，下列结论正确的是( )

1

A. 若𝑎𝑛=𝑛，则数列{𝑎𝑛}是无界的 B. 若𝑎𝑛=𝑛sin𝑛，则数列{𝑎𝑛}是有界的 C. 若𝑎𝑛=(−1)𝑛，则数列{𝑆𝑛}是有界的 D. 若𝑎𝑛=2+𝑛2，则数列{𝑆𝑛}是有界的

1

13. 已知空间向量𝑎⃗ =(1,−1,0)，⃗ 𝑏=(𝑚,1,−1)，若𝑎⃗ ⊥⃗ 𝑏，则实数𝑚=______.

14. 在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=2，𝑎4=𝑎2+6，则𝑎𝑛=______.

15. 两条直线𝑙1：3𝑥−4𝑦−2=0与𝑙2：3𝑥−4𝑦+8=0之间的距离是______.

16. 某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作

答．假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为______；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为______.

2

317. 试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为𝑦=±2𝑥的双曲线方程

______.

18. 已知点P是曲线𝑎𝑥2+𝑏𝑦2=1(其中a，b为常数)上的一点，设M，N是直线𝑦=𝑥上任

意两个不同的点，且|𝑀𝑁|=𝑡.则下列结论正确的是______. ①当𝑎𝑏>0时，方程𝑎𝑥2+𝑏𝑦2=1表示椭圆； ②当𝑎𝑏<0时，方程𝑎𝑥2+𝑏𝑦2=1表示双曲线；

第3页，共16页

③当𝑎=

1

，𝑏241

=，且𝑡=4时，使得△𝑀𝑁𝑃是等腰直角三角形的点P有6个；

1

18

④当𝑎=24，𝑏=8，且0<𝑡<4时，使得△𝑀𝑁𝑃是等腰直角三角形的点P有8个．

19. 某超市有A，B，C三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如表

所示，且两人选择哪个收银台相互． 收银台 顾客 甲 乙 A收银台 B收银台 C收银台 a 0.3 b 0.2 0.4 0.3 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅰ)求甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率； (Ⅰ)求甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率．

20. 在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面ABCD是正方形，Q为棱PD的中点，𝑃𝐴⊥𝐴𝐷，𝑃𝐴=𝐴𝐵=2，

再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题． 条件①：平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD； 条件②：𝑃𝐴⊥𝐴𝐵.

(Ⅰ)求证：𝑃𝐴⊥平面ABCD；

(Ⅰ)求平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值； (Ⅰ)求点B到平面ACQ的距离．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

第4页，共16页

21. 已知圆C：𝑥2+𝑦2−2𝑥+4𝑦−4=0，圆𝐶1：(𝑥−3)2+(𝑦−1)2=4及点𝑃(3,1).

(Ⅰ)判断圆C和圆𝐶1的位置关系； (Ⅰ)求经过点P且与圆C相切的直线方程．

𝑥2

𝑦2𝑏

2

22. 已知椭圆E：𝑎2+

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为2，一个顶点为𝐴(0,1).

4

√2

(Ⅰ)若求点A的直线l与椭圆E的另一个交点为B，且|𝐴𝐵|=3√2，求点B的坐标．

23. 已知无穷数列{𝑦𝑛}满足公式𝑦𝑛+1

(Ⅰ)若𝑎=，求𝑦3的值； (Ⅰ)若𝑦3=0，求a的值；

14

2𝑦𝑛,0≤𝑦𝑛<,

2

={设𝑦1=𝑎(0≤𝑎≤1). 1

2−2𝑦𝑛,≤𝑦𝑛≤1.

2

1

(Ⅰ)给定整数𝑀(𝑀≥3)，是否存在这样的实数a，使数列{𝑦𝑛}满足： ①数列{𝑦𝑛}的前M项都不为零；

②数列{𝑦𝑛}中从第𝑀+1项起，每一项都是零．

若存在，请将所有这样的实数a从小到大排列形成数列{𝑎𝑛}，并写出数列{𝑎𝑛}的通项公式；若不存在，请说明理由．

第5页，共16页

答案和解析

1.【答案】B

⃗ =(−4,1,𝑘)，且𝑎⃗ ， 【解析】解：∵向量𝑎⃗ =(8,−2,1)，𝑏⃗ //𝑏∴8=−2=1，∴𝑘=−2， 故选：𝐵.

利用空间向量共线的坐标运算求解即可． 本题考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．

−4

1

𝑘

1

2.【答案】A

【解析】解：由直线𝑙:𝑥−𝑦−√3=0，得𝑦=𝑥−√3， 则直线l的斜率𝑘=1，其倾斜角为45∘. 故选：𝐴.

化直线方程为斜截式，求得直线的斜率，可得直线的倾斜角． 本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．

3.【答案】C

【解析】解：∵抛物线的方程为𝑦2=−2𝑥， ∴该抛物线的准线方程为𝑥=. 故选：𝐶.

根据抛物线的几何性质即可求解． 本题考查抛物线的几何性质，属基础题．

1

2

4.【答案】B

【解析】解：字母e的频数为4个， 则字母“e”出现的频率是故选：𝐵.

根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解． 本题主要考查频数分布表，属于基础题．

424

=.

16

5.【答案】A

第6页，共16页

【解析】解：依题意，由𝑆𝑛+1=𝑆𝑛+2𝑛， 可知𝑆𝑛+1−𝑆𝑛=2𝑛，

当𝑛=2时，𝑎3=𝑆3−𝑆2=22=4. 故选：𝐴.

先将题干已知条件进行转化，再根据公式𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1(𝑛≥2)代入进行计算即可得到𝑎3的值． 本题主要考查根据前n项和的关系式求某项的值．考查了转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数算能力，属基础题．

6.【答案】A

【解析】解：连接𝐴1𝐷，如图所示：

在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐴1𝐷1𝐷， 故直线𝐴1𝐶与平面𝐴𝐴1𝐷1𝐷所成角为∠𝐶𝐴1𝐷，

在长方形𝐴𝐴1𝐷1𝐷中，𝐴1𝐷=√𝐴𝐷2+𝐴1𝐴2=√5，𝐶𝐴1=√𝐴1𝐷2+𝐶𝐷2=√6 在𝑅𝑡△𝐶𝐴1𝐷中，sin∠𝐶𝐴1𝐷=故选：𝐴.

根据棱柱的结构特征，可得直线𝐴1𝐶与平面𝐴𝐴1𝐷1𝐷所成角为∠𝐶𝐴1𝐷，即可得出答案．

本题考查棱柱的结构特征和直线与平面的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

𝐶𝐷

𝐶𝐴1

=

1√6=

√6

6

，

7.【答案】C

2

【解析】解：从四个顶点中选两个的情况有𝐶4=6种，

选的两个点关于O对称的情况有A，C与B，D， 故所求的概率为𝑃==. 故选：𝐶.

由已知结合古典概率公式即可求解．

本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．

2

6

13

8.【答案】B

【解析】解：根据题意：要求的圆的标准方程为(𝑥+1)2+(𝑦−2)2=9； 故选：𝐵.

根据题意，由圆的标准方程的形式，代入圆心的坐标和半径，即可得答案．

第7页，共16页

本题考查圆的标准方程，注意圆的标准方程的形式，属于基础题．

9.【答案】D

【解析】解：取BD中点D，连接OH，PO，OC，如图所示，

∵四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷为正四棱锥，∴𝑃𝑂⊥平面ABCD，𝐷𝐻=𝐵𝐻， ∵𝑂为BD的中点，∴𝑂𝐻⊥𝐵𝐷， ∵𝑂𝐶⊂平面ABCD，∴𝑂𝐶⊥𝑃𝑂，

∵𝐴𝐵=2，𝑃𝑂=4，∴𝐵𝐷=2√2，𝑂𝐶=√2， 在直角三角形POC中，当𝑂𝐻⊥𝑃𝐶时，OH最小，为最大为4， ∴𝑂𝐻∈[,4]，

又∵𝑆△𝐻𝐵𝐷=2×2√2×𝑂𝐻，

∴当𝑂𝐻=3时，△𝐻𝐵𝐷的面积最小，为3. 故选：𝐷.

取BD中点D，连接OH，PO，OC，由正四棱锥的性质可知𝑃𝑂⊥𝑂𝐶，𝑂𝐻⊥𝐵𝐷，所以在直角三角形POC中，当𝑂𝐻⊥𝑃𝐶时，OH最小，求出此时OH的最小值，从而求出△𝐻𝐵𝐷面积的最小值． 本题主要考查了正四棱锥的结构特征，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．

4

4√214

34×√2√42+2

=3，当点H和点P重合时，OH最大，

4

10.【答案】C

【解析】解：根据题意抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有基本事件36个，且将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y， 又2𝑥+𝑦≤16=24，则𝑥+𝑦≤4，

则满足事件“2𝑥+𝑦≤16”的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6种， 则事件“2𝑥+𝑦≤16”的概率为36=6， 故选：𝐶.

6

1

第8页，共16页

根据古典概型概率计算公式可解．

本题考查古典概型概率计算公式，属于基础题．

11.【答案】A

【解析】解：设震中为P，依题意有|𝑃𝐵|−|𝑃𝐴|=6<|𝐴𝐵|=10，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，

因为|𝑃𝐴|+|𝑃𝐵|≥|𝐴𝐵|=10，当且仅当A，P，B三点共线时，取等号， 所以|𝑃𝐵|−6+|𝑃𝐵|≥10，所以|𝑃𝐵|≥8， 所以震中到地震台B站的距离至少为8𝑘𝑚. 故选：𝐴.

设震中为P，根据双曲线的定义以及|𝑃𝐴|+|𝑃𝐵|≥|𝐴𝐵|=10可求出结果． 本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．

12.【答案】C

【解析】解：对于A，∵|𝑎𝑛|=||=∴数列{𝑎𝑛}是有界的，A错误； 对于B，|𝑎𝑛|=|𝑛sin𝑛|=𝑛|sin𝑛|，

∵|sin𝑛|≤1，∴|𝑎𝑛|≤𝑛，即随着n的增大，不存在正数M，使得|𝑎𝑛|≤𝑀恒成立， ∴数列{𝑎𝑛}是无界的，B错误；

对于C，当n为偶数时，𝑆𝑛=0；当n为奇数时，𝑆𝑛=−1； ∴|𝑆𝑛|≤1，∴存在正数𝑀=1，使得|𝑆𝑛|≤𝑀恒成立， ∴数列{𝑆𝑛}是有界的，C正确；

对于D，𝑛2=4𝑛2≤(2𝑛−1)(2𝑛+1)=4(2𝑛−1−2𝑛+1)， ∴𝑆𝑛=2𝑛+1+

1)2𝑛+112

21

𝑛1𝑛≤1恒成立，∴存在正数𝑀=1，使得|𝑎𝑛|≤𝑀恒成立，

14411

+

13

2+…+

1𝑛2≤2𝑛+4(1−+−+…+

13131511

−)2𝑛−12𝑛+1=2𝑛+4(1−

=2𝑛+2𝑛+1=2(𝑛−2𝑛+1+2)，

2

在(0,+∞)上单调递增，∴2𝑥+1

8𝑛2

∵𝑦=𝑥−𝑛−

22𝑛+1

∈[,+∞),

13

∴不存在正数M，使得|𝑆𝑛|≤𝑀恒成立，∴数列{𝑆𝑛}是无界的，D错误． 故选：𝐶.

根据已知|𝑎𝑛|≤1恒成立，A错误；𝑎𝑛=𝑛sin𝑛，|𝑎𝑛|不存在最大值，即数列{𝑎𝑛}无界；C项分别在n为偶数和n为奇数情况下求和，由此可确定；D项采用放缩法可判断．

本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进

第9页，共16页

而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界，属于难题．

13.【答案】1

⃗ =(𝑚,1,−1)，𝑎⃗ ， 【解析】解：因为𝑎⃗ =(1,−1,0)，𝑏⃗ ⊥𝑏所以𝑚−1=0，解得𝑚=1， 故答案为：1.

由𝑎⃗ ⊥⃗ 𝑏，可建立关于m的方程，解出即可．

本题考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属于基础题．

14.【答案】3𝑛−1

【解析】解：等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=2，𝑎4=𝑎2+6， 所以𝑎4−𝑎2=2𝑑=6， 所以𝑑=3，

则𝑎𝑛=𝑎1+3(𝑛−1)=3𝑛−1. 故答案为：3𝑛−1.

由已知结合等差数列的通项公式即可求解． 本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．

15.【答案】2

【解析】解：两条直线𝑙1：3𝑥−4𝑦−2=0与𝑙2：3𝑥−4𝑦+8=0之间的距离是故答案为：2.

由已知结合两平行线间的距离公式即可求解．

本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．

|−2−8|√32+42=2.

16.【答案】243 10 【解析】解：设甲能够答对X道题目， 则𝑋∼𝐵(5,)，

2

𝑃(𝑋=2)=𝐶5(3)2×(1−3)3=243，

403

2

32240

若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对， 则乙恰好答对两道题的概率为故答案为：243；10.

40

3

𝐶23𝐶25

=10.

3

第10页，共16页

根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，即可求解． 本题主要考查二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，属于基础题．

17.【答案】𝑥2−

𝑦24

=1(或其它以𝑦=±2𝑥为渐近线的双曲线方程)

【解析】解：∵渐近线方程为2𝑥±𝑦=0， 设双曲线方程为4𝑥2−𝑦2=𝜆，𝜆≠0， 所以双曲线的方程为𝑥

𝑦2

2

𝑦2−4

=1(或其它以𝑦=±2𝑥为渐近线的双曲线方程).

故答案为：𝑥2−4=1(或其它以𝑦=±2𝑥为渐近线的双曲线方程).

首先根据条件中的渐近线方程，可设双曲线方程为4𝑥2−𝑦2=𝜆，𝜆≠0，写出结果即可． 本题考查了求双曲线的简单性质，设出标准形式，求出参数即可，属于基础题型．

18.【答案】②③④

【解析】解：方程𝑎𝑥2+𝑏𝑦2=1中，当𝑎=𝑏>0时，可表示圆； 当𝑎𝑏<0时，𝑎𝑥2+𝑏𝑦2=1表示双曲线，故①错误，②正确；

𝑥2𝑦2

在③④中：椭圆方程为24+8

=1椭圆与直线𝑦=𝑥均关于原点对称，

设点𝑃(2√6cos𝜃,2√2sin𝜃)，则点P到直线𝑦=𝑥的距离 𝑑=

|2√6cos𝜃−2√2sin𝜃|√2=4|sin(𝜃−)|∈[0,4]；

𝜋3

对③：𝑡=4时，若P为直角顶点，如图1，则|𝑀𝑁|=𝑡=4，𝑑=2√2<4， 满足△𝑀𝑁𝑃为等腰直角三角形的点P有四个，

图1

若P不是直角顶点，如图2，则|𝑀𝑁|=𝑡=4，𝑑=4，满足△𝑃𝑀𝑁是等腰直角三角形的非直角顶点P有两个，

第11页，共16页

图2

故𝑡=4时，使得△𝑀𝑁𝑃是等腰直角三角形的点P有6个，③正确； 对④：0<𝑡<4时，若P为直角顶点，如图1，则|𝑀𝑁|=𝑡，𝑑=满足△𝑀𝑁𝑃为等腰直角三角形的点P有四个． 若P不是直角顶点，如图3，则|𝑀𝑁|=𝑡，𝑑=𝑡<4， 满足△𝑀𝑁𝑃是等腰直角三角形的非直角顶点P有四个，

𝑡√2<4，

图3

故0<𝑡<4时，使得△𝑀𝑁𝑃是等腰直角三角形的点P有8个，④正确； 故答案为：②③④．

对①②，根据方程𝑎𝑥2+𝑏𝑦2=1表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断即可； 对③④，求出点 P到直线𝑦=𝑥的距离 d的取值范围，对点 P是否为直角顶点进行分类讨论，确定 d， t的等量关系，综合可得出结论．

本题主要考查曲线与方程和直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题．

第12页，共16页

19.【答案】解：(Ⅰ)由表可知，甲选择A收银台的概率为𝑎=1−0.2−0.4=0.4，

乙选项B收银台的概率为𝑏=1−0.3−0.3=0.4；

(Ⅰ)甲、乙两人在结账时都选择C收银台的概率为0.4×0.3=0.12；

(Ⅰ)甲、乙两人在结账时至少一人选择C收银台的概率为1−(1−0.4)×(1−0.3)=0.58. 【解析】(𝐼)根据已知条件，结合概率和为1，即可求解；

(Ⅰ)根据已知条件，结合相互事件的概率乘法公式，即可求解；

(Ⅰ)根据已知条件，结合对立事件的概率公式，以及相互事件的概率乘法公式，即可求解； 本题主要考查对立事件的概率公式，以及相互事件的概率乘法公式，属于基础题．

20.【答案】解：(Ⅰ)选取条件①：平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，

证明：∵平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，𝑃𝐴⊥𝐴𝐷，𝑃𝐴⊂平面PAD，且平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷， ∴𝑃𝐴⊥平面ABCD； 选取条件②：𝑃𝐴⊥𝐴𝐵，

证明：∵𝑃𝐴⊥𝐴𝐵，𝑃𝐴⊥𝐴𝐷，𝐴𝐵⊂平面ABCD，𝐴𝐷⊂平面ABCD，𝐴𝐵∩𝐴𝐷=𝐴， ∴𝑃𝐴⊥平面ABCD；

(Ⅰ)由(Ⅰ)得𝑃𝐴⊥平面ABCD，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷， ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)， 则平面ABCD的一个法向量为𝐴𝑃

则建立以A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系𝐴−𝑥𝑦𝑧，如图所示：

𝑃𝐴=𝐴𝐵=2，则𝐴(0,0,0)，𝑃(0,0,2)，𝐶(2,2,0)，𝑄(0,1,1)，

⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，⃗⃗⃗⃗⃗ 设平面ACQ的一个法向量为𝑛⃗ =(𝑥,𝑦,𝑧)，𝐴𝐶𝐴𝑄=(0,1,1)， ⃗⃗⃗ =2𝑥+2𝑦=0⃗ ⋅⃗⃗𝑛𝐴𝐶

则{，取𝑦=−1，则𝑥=1，𝑧=1，

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⋅𝐴𝑄=𝑦+𝑧=0𝑛∴平面ACQ的一个法向量为𝑛⃗ =(1,−1,1)， 设平面ACQ与平面ABCD夹角为𝛼，

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑛⃗ ||𝐴𝑃⃗⃗⃗ ,𝑛则cos𝛼=|cos<⃗⃗𝐴𝑃⃗ >|=⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =

⃗ ||𝐴𝑃|⋅|𝑛

22×√3=3，

√3

故平面ACQ与平面ABCD夹角的余弦值为3； (Ⅰ)由(Ⅰ)得平面ACQ的一个法向量为𝑛⃗ =(1,−1,1)， 𝐵(2,0,0)，则⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=(2,0,0)，

∴点B到平面ACQ的距离|𝑛==3. ⃗ |√3【解析】(Ⅰ)分别选取条件①、②，根据线面垂直的判定定理和面面垂直的性质，即可证明结论； (Ⅰ)由(Ⅰ)得𝑃𝐴⊥平面ABCD，𝐴𝐵⊥𝐴𝐷，建立以A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系𝐴−𝑥𝑦𝑧，利用向量法，即可得出答案；

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗ ⋅𝐴𝐵|𝑛

√3

22√3

第13页，共16页

(Ⅰ)由(Ⅰ)得平面ACQ的一个法向量为𝑛⃗ =(1,−1,1)，利用向量法，即可得出答案．

本题考查直线与平面垂直、二面角及点到平面的距离，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

21.【答案】解：(𝐼)圆C：𝑥2+𝑦2−2𝑥+4𝑦−4=0，配方为(𝑥−1)2+(𝑦+2)2=9，

可得圆心𝐶(1,−2)，半径𝑅=3.

圆𝐶1：(𝑥−3)2+(𝑦−1)2=4，可得圆心𝐶1(3,1)，𝑟=2. ∴|𝐶𝐶1|=√(1−3)2+(−2−1)2=√13， ∵3−2<√13<3+2， ∴圆C和圆𝐶1相交．

(𝐼𝐼)由点𝑃(3,1)，可知切线的斜率存在，

设切线方程为𝑦−1=𝑘(𝑥−3)，即𝑘𝑥−𝑦+1−3𝑘=0， 则|𝑘+2−3𝑘+1|√1+𝑘2=3，解得𝑘=0或𝑘=−

12

， 5∴要求的切线方程为𝑦−1=0或12𝑥+5𝑦−41=0.

【解析】(𝐼)圆C：𝑥2+𝑦2−2𝑥+4𝑦−4=0，配方为(𝑥−1)2+(𝑦+2)2=9，可得圆心C，半径𝑅.圆𝐶1：(𝑥−3)2+(𝑦−1)2=4，可得圆心𝐶1，𝑟.求出圆心距离|𝐶𝐶1|，与半径的和差比较即可得出位置关系．

(𝐼𝐼)由点𝑃(3,1)，可知切线的斜率存在，设切线方程为𝑦−1=𝑘(𝑥−3)，根据直线与圆相切的性质即可得出𝑘.

本题考查了两圆的位置关系的判定、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22.【答案】解：(𝐼)因为椭圆𝐸:𝑎2+

所以𝑏=1,𝑎=2，即𝑎=√2𝑐，

因为𝑎2=𝑏2+𝑐2，所以2𝑐2=𝑏2+𝑐2，所以𝑏=𝑐=1， 所以𝑎=√2， 所以椭圆E的方程为

𝑥42𝑐

√2𝑥2𝑦2𝑏

2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为2，上顶点为𝐴(0,1)，

√2+𝑦2=1.

(Ⅰ)由题意易知，斜率不存在时不符合要求．

当直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l：𝑦=𝑘𝑥+1， 𝑦=𝑘𝑥+1由{2，整理得(1+2𝑘2)𝑥2+4𝑘𝑥=0， 𝑥+2𝑦2=2因为𝐴(0,1)，

第14页，共16页

则𝐵(

−4𝑘

22𝑘+12𝑘+1

4√2,

1−2𝑘

22

)，

−4𝑘

4√2由|𝐴𝐵|=3，得|𝐴𝐵|=√1+𝑘2⋅|2|=3，

2𝑘+1化简得𝑘4+𝑘2−2=0， 解得𝑘2=1或−2(舍)， 所以点B的坐标为(±,−).

【解析】(Ⅰ)根据椭圆中a，b，c的关系求解即可；

(Ⅰ)易知斜率不存在时不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l：𝑦=𝑘𝑥+1，联立直线与椭圆的方程，求出B点坐标，由|𝐴𝐵|=√2，化简可得k的方程，解方程求出𝑘2的值即可求出B点

3坐标．

本题考查了椭圆的方程和性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．

4

4313

23.【答案】解：(Ⅰ)无穷数列{𝑦𝑛}满足公式𝑦𝑛+1

1

1

2𝑦𝑛,0≤𝑦𝑛<2,={𝑦1=𝑎(0≤𝑎≤1)， 1

2−2𝑦𝑛,≤𝑦𝑛≤1.

21

∵𝑦1=𝑎=4，∴𝑦2=2𝑦1=2，𝑦3=2−2𝑦2=1. (Ⅰ)𝑦3=0，

(1)当0≤𝑦2<2时，𝑦3=2𝑦2，∴𝑦2=0， 此时，若0≤𝑦1<2，则𝑦2=2𝑦1，𝑎=𝑦1=0， 若≤𝑦1≤1，则𝑦2=2−2𝑦1，𝑎=𝑦1=1，. (2)当2≤𝑦2≤1时，𝑦3=2−2𝑦2，∴𝑦2=1， 此时，若0≤𝑦1<，则𝑦2=2𝑦1，𝑎=𝑦1=∉[0,). 若2≤𝑦1≤1，则𝑦2=2−2𝑦1，𝑎=𝑦1=2. 综上，𝑎=0，1，. (Ⅰ)存在这样的𝑎.

∵𝑦𝑀+1=0，𝑦𝑀≠0，∴由(Ⅰ)可知𝑦𝑀=1，𝑦𝑀−1=， (1)当0≤𝑦𝑀−2<时，𝑦𝑀−1=2𝑦𝑀−2，∴𝑦𝑀−2=， (2)当2≤𝑦𝑀−2≤1时，𝑦𝑀−1=2−2𝑦𝑀−2，∴𝑦𝑀−2=4， 依次类推，𝑦1=𝑦𝑀−(𝑚−1)=

12𝑀−12

1

3

121412121

1

12

12

12

11211

，

3

2𝑀−1，52𝑀−1，⋅⋅⋅，

2𝑀−1−12𝑀−1，

∴数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=

2𝑛−1

𝑀−1，𝑛

=1，2，3，⋅⋅⋅，2𝑀−2.

第15页，共16页

【解析】(Ⅰ)由𝑦1=𝑎=，能求出𝑦2和𝑦3.

(Ⅰ)𝑦3=0，当0≤𝑦2<2时，𝑦3=2𝑦2，求出𝑦2=0，若0≤𝑦1<2，推导出𝑎=𝑦1=0，若2≤𝑦1≤1，推导出𝑎=𝑦1=1；当2≤𝑦2≤1时，求出𝑦2=1，若0≤𝑦1<2，推导出𝑎=𝑦1=2∉[0,2).若2≤𝑦1≤1，推导出𝑎=𝑦1=2.

(Ⅰ)存在这样的𝑎.由(Ⅰ)可知𝑦𝑀=1，𝑦𝑀−1=2，当0≤𝑦𝑀−2<2时，求出𝑦𝑀−2=4，当2≤𝑦𝑀−2≤1时，求出𝑦𝑀−2=

3

，依次类推，𝑦141

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

14=𝑦𝑀−(𝑚−1)=

12𝑀−1，

32𝑀−1，

52𝑀−1，⋅⋅⋅，

2𝑀−1−12𝑀−1，由此能求出数

列{𝑎𝑛}的通项公式．

本题考查数列的递推公式、数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．

第16页，共16页