2021年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x＞7}，则M∩N＝（ ） A．{7，9}
B．{5，7，9}
C．{3，5，7，9}
D．{1，3，5，7，9}
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 3．已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（ ） A．﹣1﹣i
B．﹣1+i
C．﹣+i
D．﹣﹣i
4．下列函数中是增函数的为（ ） A．f（x）＝﹣x
B．f（x）＝（）x
C．f（x）＝x2
D．f（x）＝
5．点（3，0）到双曲线﹣＝1的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（A．1.5
B．1.2
≈1.259） C．0.8
D．0.6
7．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A﹣EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，已知B＝120°，AC＝A．1
B．
，AB＝2，则BC＝（ ）
C．
D．3
9．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝（ ） A．7
B．8
C．9
D．10
10．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A．0.3 11．若α∈（0，A．
B．0.5 ），tan2α＝
B．
C．0.6 ，则tanα＝（ ）
C．
D．
D．0.8
12．设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，则f（）＝（ ） A．﹣
B．﹣
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若向量，满足||＝3，|﹣|＝5，•＝1，则||＝ ． 14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为 ． 15．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（
）＝ ．
16．已知F1，F2为椭圆C：+＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则
四边形PF1QF2的面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
甲机床 乙机床 合计
一级品 150 120 270
二级品 50 80 130
合计 200 200 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：K2＝
P（K2≥k）
k
18．记Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，a2＝3a1，且数列{
19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1．
（1）求三棱锥F﹣EBC的体积；
（2）已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．
}是等差数列，证明：{an}是等差数列．
． 0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
20．设函数f（x）＝a2x2+ax﹣3lnx+1，其中a＞0． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）若y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．
21．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M（2，0），且⊙M与l相切． （1）求C，⊙M的方程；
（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．x轴正半轴为极轴建立极坐标系，在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，曲线C的极坐标方程为ρ＝2（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足并判断C与C1是否有公共点．
＝
，写出P的轨迹C1的参数方程，
cosθ．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|． （1）画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像； （2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围．
参
一、选择题（共12小题）.
1．设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x|2x＞7}，则M∩N＝（ ） A．{7，9}
B．{5，7，9}
C．{3，5，7，9}
D．{1，3，5，7，9}
解：因为N＝{x|2x＞7}＝{x|x＞}，M＝{1，3，5，7，9}， 所以M∩N＝{5，7，9}． 故选：B．
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为（0.02+0.04）×1＝0.06＝6%，故选项A正确； 对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为（0.04+0.02×3）×1＝0.1＝10%，故选项B正确； 对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5万元，故选项C错误；
对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为（0.1+0.14+0.2+0.2）×1＝0.＞0.5， 故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确． 故选：C．
3．已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（ ） A．﹣1﹣i
B．﹣1+i
C．﹣+i
D．﹣﹣i
解：因为（1﹣i）2z＝3+2i， 所以故选：B．
4．下列函数中是增函数的为（ ） A．f（x）＝﹣x
B．f（x）＝（）x
C．f（x）＝x2
D．f（x）＝
．
解：由一次函数性质可知f（x）＝﹣x在R上是减函数，不符合题意； 由指数函数性质可知f（x）＝（）x在R上是减函数，不符合题意； 由二次函数的性质可知f（x）＝x2在R上不单调，不符合题意； 根据幂函数性质可知f（x）＝故选：D．
5．点（3，0）到双曲线
﹣
＝1的一条渐近线的距离为（ ） 在R上单调递增，符合题意．
A． B． C． D．
解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即3x±4y＝0，
结合对称性，不妨考虑点（3，0）到直线3x﹣4y＝0 的距离， 则点（3，0）到双曲线的一条渐近线的距离故选：A．
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（A．1.5
B．1.2
≈1.259） C．0.8
D．0.6
．
解：在L＝5+lgV中，L＝4.9，所以4.9＝5+lgV，即lgV＝﹣0.1， 解得V＝10﹣0.1＝
＝
＝
≈0.8，
所以其视力的小数记录法的数据约为0.8． 故选：C．
7．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A﹣EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）
A． B． C． D．
解：由题意，作出正方体，截去三棱锥A﹣EFG，根据正视图， 可得A﹣EFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影， 可得相应的侧视图是D图形， 故选：D．
8．在△ABC中，已知B＝120°，AC＝A．1
B．
，AB＝2，则BC＝（ ）
C．
D．3
解：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 2×a×2×cos120°， 结合余弦定理，可得19＝a2+4−
15＝0，解得a＝3 （a＝﹣5 舍去）， 即a2+2a−所以BC＝3． 故选：D．
9．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝（ ） A．7
B．8
C．9
D．10
解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，S2＝4，S4＝6， 由等比数列的性质，可知S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列， ∴4，2，S6﹣6成等比数列， ∴22＝4（S6﹣6），解得S6＝7． 故选：A．
10．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A．0.3
B．0.5
C．0.6
D．0.8
00111，01011，01101，01110，10011，10101，10110，11001，解：将3个1和2个0随机排成一行的方法可以是：11010，11100，共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共6种方法，
满足题意的概率为 ，
故选：C． 11．若α∈（0，），tan2α＝
，则tanα＝（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由tan2α＝，得
，
即，
∵α∈（0，
），∴cosα≠0，
则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα＝， 则cosα＝
＝
，
∴tanα＝．
故选：A．
12．设f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）＝f（﹣x）．若f（﹣）＝，则f（）＝（A．﹣
B．﹣
C．
D．
解：由题意得f（﹣x）＝﹣f（x）， 又f（1+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x）， 所以f（2+x）＝f（x）， 又f（﹣）＝，
则f（）＝f（2﹣）＝f（﹣）＝． 故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若向量，满足||＝3，|﹣|＝5，•＝1，则||＝ ．
解：由题意，可得
，
因为||＝3，•＝1，所以，
所以．
故答案为：
．
14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为 39π ．
） 解：由圆锥的底面半径为6，其体积为30π， 设圆锥的高为h，则
，解得
，
所以圆锥的母线长，
所以圆锥的侧面积故答案为：39π．
．
15．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（）＝ ﹣ ．
解：由图可知，f（x）的最小正周期T＝（所以ω＝
＝2，因为f（
）＝0， +φ＝）， ﹣
）＝﹣2cos
﹣）＝π，
所以由五点作图法可得2×所以f（x）＝2cos（2x﹣所以f（
）＝2cos（2×
．
+
，解得φ＝﹣，
＝﹣．
故答案为：﹣
16．已知F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则
四边形PF1QF2的面积为 8 ．
解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|， 所以四边形PF1QF2为矩形， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
由椭圆的定义可得||PF1|+|PF2||＝m+n＝2a＝8， 所以m2+2mn+n2＝，
因为|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝4（a2﹣b2）＝48， 即m2+n2＝48， 所以mn＝8，
所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|＝mn＝8． 故答案为：8．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
甲机床 乙机床 合计
一级品 150 120 270
二级品 50 80 130
合计 200 200 400
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附：K2＝
P（K2≥k）
k
． 0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件， 因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为（2）根据2×2列联表，可得K2＝＝
≈10.256＞6.635．
； ；
所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异． 18．记Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，a2＝3a1，且数列{【解答】证明：设等差数列{由题意得则d＝
﹣＝
；＝2
＝﹣
＝
}的公差为d，
＝，所以
＝2
＝
，
+（n﹣1）
＝n
，
}是等差数列，证明：{an}是等差数列．
所以Sn＝n2a1①；
当n≥2时，有Sn﹣1＝（n﹣1）2a1②．
由①②，得an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2a1﹣（n﹣1）2a1＝（2n﹣1）a1③， 经检验，当n＝1时也满足③． 所以an＝（2n﹣1）a1，n∈N+，
当n≥2时，an﹣an﹣1＝（2n﹣1）a1﹣（2n﹣3）a1＝2a1，
所以数列{an}是等差数列．
19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，BF⊥A1B1．
（1）求三棱锥F﹣EBC的体积；
（2）已知D为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE．
解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥A1B1， 又BF⊥A1B1，BB1∩BF＝B，BB1，BF⊂平面BCC1B1， ∴A1B1⊥平面BCC1B1， ∵AB∥A1B1， ∴AB⊥平面BCC1B1， ∴AB⊥BC， 又AB＝AC，故∴
，
，
而侧面AA1B1B为正方形， ∴∴
，
，即三棱锥F﹣EBC的体积为；
（2）证明：如图，取BC中点G，连接EG，B1G，设B1G∩BF＝H， ∵点E是AC的中点，点G时BC的中点， ∴EG∥AB， ∴EG∥AB∥B1D，
∴E、G、B1、D四点共面， 由（1）可得AB⊥平面BCC1B1， ∴EG⊥平面BCC1B1， ∴BF⊥EG， ∵
，且这两个角都是锐角，
∴∠CBF＝∠BB1G，
∴∠BHB1＝∠BGB1+∠CBF＝∠BGB1+∠BB1G＝90°， ∴BF⊥B1G，
又EG∩B1G＝G，EG，B1G⊂平面EGB1D， ∴BF⊥平面EGB1D， 又DE⊂平面EGB1D， ∴BF⊥DE．
20．设函数f（x）＝a2x2+ax﹣3lnx+1，其中a＞0． （1）讨论f（x）的单调性；
（2）若y＝f（x）的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围． 解：（1）f′（x）＝2a2x+a﹣＝因为a＞0， 所以﹣
＜0＜，
＝
，x＞0，
所以在（0，）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 在（，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
综上所述，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上f（x）单调递增． （2）由（1）可知，f（x）min＝f（）＝a2×（）2+a×﹣3ln+1＝3+3lna， 因为y＝f（x）的图像与x轴没有公共点， 所以3+3lna＞0， 所以a＞，
所以a的取值范围为（，+∞）．
21．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M（2，0），且⊙M与l相切． （1）求C，⊙M的方程；
（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
解：（1）因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2＝2px（p＞0）， 令x＝1，则
，
，
根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故因为OP⊥OQ，故
抛物线C的方程为：y2＝x，
因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M：（x﹣2）2+y2＝1． （2）设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）．
当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点时）， 设直线A1A2方程为kx﹣y＝0，根据点M（2，0）到直线距离为1可得联立直线A1A2与抛物线方程可得x＝3， 此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切，
当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1≠x2≠x3，直线A1A2的方程为x−（y1+y2）y+y1y2＝0， 此时有，
，即
，
＝1，解得k＝
，
，
同理，由对称性可得，所以y2，y3是方程
， 的两根，
依题意有，直线A2A3的方程为x−（y2+y3）y+y2y3＝0，
令M到直线A2A3的距离为d，则有，
此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切， 综上，直线A2A3与⊙M相切．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．x轴正半轴为极轴建立极坐标系，在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，曲线C的极坐标方程为ρ＝2（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足并判断C与C1是否有公共点．
＝
，写出P的轨迹C1的参数方程，
cosθ．
解：（1）由极坐标方程为ρ＝2化为直角坐标方程是x2+y2＝2即
cosθ，得ρ2＝2x，
ρcosθ，
+y2＝2，表示圆心为C（，0），半径为的圆．
（2）设点P的直角坐标为（x，y），M（x1，y1），因为A（1，0）， 所以由即
＝（x﹣1，y），＝
，
，
＝（x1﹣1，y1），
解得，
所以M（（x﹣1）+1，y），代入C的方程得+＝2，
化简得点P的轨迹方程是化为参数方程是计算|CC1|＝|（3﹣
）﹣
+y2＝4，表示圆心为C1（3﹣，θ为参数；
|＝3﹣2
＜2﹣
，
，0），半径为2 的圆；
所以圆C与圆C1内含，没有公共点． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|． （1）画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像； （2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围．
解：（1）函数f（x）＝|x﹣2|＝，
g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|＝．
画出y＝f（x）和y＝g（x）的图像； （2）由图像可得：f（6）＝4，g（）＝4，
若f（x+a）≥g（x），说明把函数f（x）的图像向左或向右平移|a|单位以后，f（x）的图像不在g（x）的下方，由图像观察可得：a≥2﹣+4＝∴a的取值范围为[
，+∞）．
