山东省德州市重点中学2014届高三5月周考理科数学含答案

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． 1. 若集合A{y|0y2},B{x||x|1}，则ACRB

A．{x|0x1} B．{x|1x2} C．{x|1x0} D．{x|1x2}

1biai（a,bR），其中i为虚数单位，则ab 12iA．4 B．4 C．10 D．10

2. 已知

3. 数列{an}为等差数列，a1,a2,a3为等比数列，a51，则a10 A．5 B．1 C．0 D．1

2 y 0)的图象如图所示,4. 函数f(x)＝Asin(x＋)（A0，0，则f()的值为 A．2 B．0 C．1 D．3 O 6 11 x 122 4 5. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l:xky10与圆若点M在圆CC:x2y24相交于A, B两点，OMOAOB．则实数k

A．2

B．1

C．0

D．1

开始 输入x 上，

6. 如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是 A．0 B．1 C．2 D．3 7. 设ny1x12|yx|1是 输出y 结束 否 x2y2 0 1(4sinxcosx)dx,则二项式(x)n的展开式中x的

x系数

为 A．4 B．10 C．5 D．6

8. 已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x3y10的两侧，且

a0, b0， 则

D．(0,)

a11的取值范围是 A．(,3) B．(,0) C．(3,) b3139. 已知三棱锥DABC中，ABBC1，AD2，BD5，AC2，BCAD，则三棱锥的外接球的表面积为 A.6 B. 6 C. 5 D. 8

210. 已知偶函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且当x[0,1]时，f(x)x，则关于x的方程

f(x)10|x|在[1010,]上根的个数是 A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 10 33第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 抛物线y12. 已知y与x之间具有很强的线性相关关系，现观测得到

12x的焦点坐标为 ； 4x 18 24 13 34 10 38 1 (x,y)的四组观测值并制作了右边的对照表，由表中数据粗略地

得到线性回归直线方程为ybx60，其中b的值没有写上．当

y x不小于5时，预测y最大为 ；

13. 已知|a|2, |b|4，以a, b为邻边的平行四边形的面积为43，则a和b的夹角为 ； 14. 在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 ； 15. 对于下列命题：

①函数f(x)ax12a在区间(0,1)内有零点的充分不必要条件是

12a； 23②已知E,F,G,H是空间四点，命题甲：E,F,G,H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；

③“a2”是“对任意的实数x，|x1||x1|a恒成立”的充要条件； ④“0m1”是“方程mx(m1)y1表示双曲线”的充分必要条件．

22其中所有真命题的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知函数f(x)2sinxcosx23cos2x3，xR． （Ⅰ）求函数yf(3x)1的最小正周期和单调递减区间；

（Ⅱ）已知ABC中的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若锐角A满足f(A)3，且a7，26sinBsinC

133，求ABC的面积． 1417．某大型公益活动从一所名牌大学的四个学院中选出了18名学生作为志愿者，参加相关的活 动事宜．学生来源人数如下表：

学院

外语学院

生命科学学院

化工学院

艺术学院

人数

4 6 3 5

（Ⅰ）若从这18名学生中随机选出两名，求两名学生来自同一学院的概率；

（Ⅱ）现要从这18名学生中随机选出两名学生向观众宣讲此次公益活动的主题．设其中来自外语学院的人数为，令21，求随机变量的分布列及数学期望E().

18．如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD为正方形， AE平面CDE，已知AEDE2，F为线段DE的中点． （Ⅰ）求证：BE//平面ACF；

（Ⅱ）求二面角CBFE的平面角的余弦值.

19．已知数列{an}中，a11，anan1()，记T2n为{an}的前2n项

nBA12CDEF的

和，

bna2na2n1，nN．

（Ⅰ）判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； （Ⅱ）求T2n.

2220．已知动圆P与圆F且与圆F2:(x3)2y21相内切，记圆心P的轨迹为1:(x3)y81相切，

曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于

M,N两个不同的点.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；

2（Ⅲ）记QF2M的面积为S1，OF2N的面积为S2，令SS1S2，求S的最大值. 21．已知函数f(x)xx(xR)，g(x)满足g(x)的底数．

（Ⅰ）已知h(x)e1x32a(aR,x>0)，且g(e)a，e为自然对数xf(x)，求h(x)在(1,h(1))处的切线方程；

2（Ⅱ）若存在x[1,e]，使得g(x)x(a2)x成立，求a的取值范围；

f(x),x1（Ⅲ）设函数F(x)，O为坐标原点，若对于yF(x)在x1时的图象上的任一点P，

g(x),x1在曲线yF(x)(xR)上总存在一点Q，使得OPOQ0，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．

高三周考数学试题（理科）参及评分标准

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． A A D D C C B A B B

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.(0,1) 12.70 13.

2或 14．60 15．①②④

33三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）

f(x)2sinxcosx3(2cos2x1)

sin2x3cos2x2sin(2x)………………………………………………………2分 3yf(3x)12sin(6x)12sin(6x)1

332 ………………………………………3分 yf(3x)1的最小正周期为T63115xk由2k6x2k得：k，kZ，

232336336115yf(3x)1的单调递减区间是[k,k]，kZ ………………6分

336336（Ⅱ）∵f(∵0AA3)3，∴2sin(A)3，∴sinA ………………7分 26332，∴A23．由正弦定理得：sinBsinCbcsinA， a即133bc3，∴bc13 ……………………………………………………9分 1472222由余弦定理abc2bccosA得：a2(bc)22bc2bccosA，

即491693bc，∴bc40 ………………………………………………………11分 ∴SABC113bcsinA40103…………………………………………12分 222

17．（本小题满分12分）

解: (Ⅰ)设“两名学生来自同一学院”为事件A，

22C4C6C32C522则P(A) 2C1即两名学生来自同一学院的概率为

2．……………………………………………………4分 9(Ⅱ) 的可能取值是0,1,2，对应的可能的取值为1，3，5

2C1491, P(1)P(0)2C1815311C4C56, P(3)P(1)214C181532C42P(5)P(2)2, ………………………………………………………10分

C1851所以的分布列为



P

1 91 1533 56 1535 2 51 …………………………………………………………………11分 所以E()1915621735. ……………………………………………12分 15315351918．（本小题满分12分）

证明：(Ⅰ)连结BD和AC交于O，连结OF， …………………………………………1分

ABCD为正方形，O为BD中点，F为DE中点，

OF//BE，…………………………………………………………………………………3分 BE平面ACF，OF平面ACF

BE//平面ACF．…………………………………………………………………………4分

(Ⅱ)AE平面CDE，CD平面CDE，

BzAAECD，

ABCD为正方形，CDAD，

AEADA,AD,AE平面DAE，

OCD平面DAE， DE平

面

xyD，

CDEFCDDE ……………………………………………………6分

以D为原点，以DE为x轴建立如图所示的坐标系，

则E(2,0,0)，F(1,0,0)，A(2,0,2)，D(0,0,0)

AE平面CDE，DE平面CDE，AEDE AEDE2，AD22

ABCD为正方形，CD22，C(0,22,0)

由ABCD为正方形可得：DBDADC(2,22,2)，B(2,22,2)

设平面BEF的法向量为n1(x1,y1,z1)

BE(0,22,2)，FE(1,0,0)

22y12z10n1BE0由，令y11，则z12

x10n1FE0n1(0,1,2) ……………………………………………………………………………8分

设平面BCF的法向量为n2(x2,y2,z2)，

BC(2,0,2)，CF(1,22,0)

2x22z20n2BC0由 ，令y21，则x222，z222 n2CF0x222y20n2(22,1,22) ……………………………………………………………………10分

设二面角CBFE的平面角的大小为，则

coscos(n1,n2)cosn1,n2n1n214551 51|n1||n2|317二面角CBFE的平面角的余弦值为19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）

551 ……………………………………12分 51an2anbna2na2n1，

11anan1()n，an1an2()n1，

2211，即an2an ………………………………………………………………2分

22bn1a2n2a2n1bna2na2n11所以{bn}是公比为的等比数列.…………………………………………………………5分

2 113a11，a1a2，a2b1a1a2

222313bn()n1n………………………………………………………………………6分

22211（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an2an，所以a1, a3, a5, 是以a11为首项，以为公比的等比数列；

2211a2, a4, a6, 是以a2为首项，以为公比的等比数列 …………10分

2211a2na2n1122

a2na2n12T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)

1111()n[1()n]22233………………………………………………………12分n 112112220．（本小题满分13分）

解：（I）设圆心P的坐标为(x,y)，半径为R

2222由于动圆P与圆F1:(x3)y81相切，且与圆F2:(x3)y1相内切，所以动 22圆P与圆F1:(x3)y81只能内切

|PF|9R|PF1||PF2|8|F1F2|6 ………………………………………2分 1|PF2|R1圆心P的轨迹为以F1, F2为焦点的椭圆，其中2a8, 2c6， a4, c3, b2a2c27

x2y21 …………………………………………………………4分 故圆心P的轨迹C：

167（II）设M(x1,y1), N(x2,y2), Q(x3,y3)，直线OQ:xmy，则直线MN:xmy3

2222112m112mxmyxx32227m167m16 2由x可得：， y1y2112y211216737m2167m216112m2112112(m21)|OQ|x3y3 ……………………………6分 2227m167m167m16222xmy322由x2y2可得：(7m16)y42my490

1167y1y242m49,yy 127m2167m216|MN|(x2x1)2(y2y1)2[(my23)(my13)]2(y2y1)2m21|y2y1|m21(y1y2)24y1y2

42m24956(m21)………………………………8分 m1(2)4(2)27m167m167m16256(m21)2|MN|7m161 |OQ|2112(m21)27m2161|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为……………………………………9分

2（III）

MN//OQ，QF2M的面积OF2M的面积，SS1S2SOMN

O到直线MN:xmy3的距离d3m12 1156(m21)384m21 …………………………11分 S|MN|d222227m16m17m16令m21t，则mt1(t1)

22S84t84t84 7(t21)167t297t9t999314，亦即m时取等号） 7t27t67（当且仅当7t，即tt7tt7当m14时，S取最大值27……………………………………………………13分 721．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）

h(x)(x3x2)e1x，h(x)(x34x22x)e1x

h(1)0，h(1)1

h(x)在(1,h(1))处的切线方程为：y(x1)，即yx1………………………4分

（Ⅱ）

g(x)a(aR,x>0)，g(x)alnxc xg(e)alnecacac0，从而g(x)alnx……………………………5分

由g(x)x(a2)x得：(xlnx)ax2x．

22由于x[1,e]时，lnx1x，且等号不能同时成立，所以lnxx，xlnx0．

x22xx22x)max． ………………………………6分 从而a，为满足题意，必须a(xlnxxlnxx22x(x1)(x22lnx)设t(x)，x[1,e]，则t(x)． 2xlnx(xlnx)x[1,e]，x10,lnx1,x22lnx0，

从而t(x)0，t(x)在[1,e]上为增函数，

所以t(x)maxe22ee22et(e)，从而a． ………………………………………9分

e1e1（Ⅲ）设P(t,F(t))为yF(x)在x1时的图象上的任意一点，则t1

PQ的中点在y轴上，Q的坐标为(t,F(t))，

t1，t1，所以P(t,t3t2)，Q(t,aln(t))，OPOQt2at2(t1)ln(t)．

由于OPOQ0，所以a(1t)ln(t)1． ……………………………………………11分 当t1时，a(1t)ln(t)1恒成立，aR；……………………………………12分 当t1时，a1，

(1t)ln(t)令(t)1(t1)tln(t)(t1)，则(t) 2(1t)ln(t)t[(1t)ln(t)]1在(,1)上为增函数，由于

(1t)ln(t)t1，t10, tln(t)0，(t)0，从而(t)t时，(t)10，(t)0，a0

(1t)ln(t)综上可知，a的取值范围是(,0]．……………………………………………………14分