带电粒子在磁场中运动练习题

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如图所示，在直角坐标系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中的直角三角形区域内，分布着磁感应强度均为B=5.0×10 -2 T

如图所示，在直角坐标系的第Ⅱ象限和第Ⅳ象限中的直角三角形区域内，分布着磁感应强度均为B=5.0×10 -2 T的匀强磁场，方向分别垂直纸面向外和向里．质量为m=6.×10 -27 ㎏、电荷量为q=+3.2×10 -19 C的α粒子（不计α粒子重力），由静止开始经加速电压...展开



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如图所示，MN、PQ是平行金属板，板长为L，两板间距离为d，在PQ板的上方有垂直纸面向里的匀强磁场。一个电荷量为q、质量为m的带负电粒子以速度v0从MN板边缘沿平行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从PQ板左边缘飞进磁场，然后又恰好从PQ板的右边缘飞进电场。不计粒子重力。试求：

（1）两金属板间所加电压U的大小； （2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；

（3）在图中正确画出粒子再次进入电场中的运动轨迹，并标出粒子再次从电场中飞出的速度方向。

解：（1）设带电粒子在平行金属板匀强电场中运动的时间为t，由类平抛运动可知：

①

②

③

④

联立求解①～④式解得： ⑤

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或由动能定理和运动的合成、分解的方法，联立求解得出正确的结果同样给分。设带电粒子第一次飞出

电场时的速度为v，由动能定理；；和①③④联立可得

（2）带电粒子以速度v飞出电场后射入匀强磁场做匀速圆周运动，由

⑥

⑦

⑧ ⑨

联立求解①③④⑤⑥⑦⑧⑨可得 ⑩

或由下列常规方法求解：

⑴

⑵

⑶

⑷

⑸

联立以上有关方程求解可得： ⑹

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（3）

如图，在xOy平面内，MN和x轴之间有平行于y轴的匀强电场和垂直于xOy平面的匀强磁场，y轴上离坐标原点4L的A点处有一电子，可以沿+x方向射出速度为v0的电子（质量为m，电荷量为e）。如果电场和磁场同时存在，电子将做匀速直线运动。如果撤去电场，只保留磁场，电子将从x轴上距坐标原点3L的C点离开磁场。不计重力的影响，求： （1）磁感应强度B和电场强度E的大小和方向；

（2）如果撤去磁场，只保留电场，电子将从D点（图中未标出）离开电场，求D点的坐标； （3）电子通过D点时的动能。

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解：（1）只有磁场时，电子运动轨迹如图1所示

洛伦兹力提供向心力：Bev0=m

由几何关系：R2=(3L)2+（4L－R）2

求出：B=，垂直纸面向里

电子做匀速直线运动Ee=Bev0

求出：E=，沿y轴负方向

（2）只有电场时，电子从MN上的D点离开电场，如图2所示

设D点横坐标为x：x=v0t，2L=

求出D点的横坐标为x=≈3.5L，纵坐标为y=6L

（3）从A点到D点，由动能定理Ee·2L=EKD－mv02

求出：EkD=mv02

如图所示，在y＞0的空间中，存在沿y轴正方向的匀强电场E；在y＜0的空间中，存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小也为E，一电

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子（-e，m）在y轴上的P（0，d）点以沿x轴正方向的初速度v0开始运动，不计电子重力，求： （1）电子第一次经过x轴的坐标值；

（2）请在图上画出电子在一个周期内的大致运动轨迹； （3）电子在y方向上分别运动的周期；

（4）电子运动的轨迹与x轴的各个交点中，任意两个相邻交点间的距离．

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如图所示，一个质量为m =2.0×10-11 kg，电荷量q=+1.0×10-5 C的带电微粒（重力忽略不计），从静止开始经U1=100V电压加速后，水平进入两平行金属板间沿竖直方向的偏转电场中，偏转电场的电压U2=100V。金属板长L=20cm，两板间距d =（1）微粒进入偏转电场时的速度v0大小； （2）微粒射出偏转电场时的偏转角θ； （3）若该匀强磁场的宽度为D=少多大。

cm，为使微粒不会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度B至

cm。求：

解：（1）微粒在加速电场中由动能定理得：qU1=解得：v0=1.0×104m/s

mv02 ①

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（2）微粒在偏转电场中做类平抛运动，有：；而

飞出电场时，速度偏转角的正切为：tanθ=解得θ=30°

（3）进入磁场时微粒的速度是：v=v0/cosθ ③ 轨迹如图，由几何关系有：

④

②

洛伦兹力提供向心力：Bqv=mv2/r ⑤ 由③～⑤联立得：B=mv0(1+sinθ)/qDcosθ 代入数据解得：B =0.4T

所以，为使微粒不会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度B至少为0.4T

真空中有一半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，ox为磁场边界上的切线，如图所示．从o点在纸面内向各个方向发射速率均为v0的带负电的粒子，设带电粒子间相互作用可忽略，且此种带负电的粒子在磁场中的偏转半径也是r．

（1）所有从磁场边界射出的带负电的粒子，速度方向有何特征？请通过几何关系来说明此种带负电粒子的速度方向特征．

（2）速度方向分别与ox轴正方向成60°与90°的带负电粒子，在磁场中的运动时间分别是多少？ （3）已知电子的质量为m，电量为e．今在某一平面内有M、N两点，MN=l，从M点向平面内各个方向发射速率均为v0的电子，请在图中设计一个匀强磁场分布，使得由M点发出的电子都能够汇聚到N点（要求在图中画出磁场的范围），并求出匀强磁场的磁感应强度B的最小值．

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如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒子以速度V0从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°．粒子的重力不计，求：

圆形匀强磁场区域的最小面积？ 粒子在磁场中运动的时间？ （3）b点到O点的距离？

点b试（1）（2）

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如图所示，一质量为m，带电荷量为+q的粒子以速度

从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆

形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从点b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强为E、方向沿x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图所示．粒子的重力不计，试求： ⑴圆形匀强磁场的最小面积．

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⑵粒子在磁场中运动的时间. ⑶c点到b点的距离d．

（1）（2）（3）

⑴粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径为R，则有R=

粒子经过磁场区域速度偏转角为120°，这表明在磁场区域中轨迹为半径为R的

圆弧，此圆弧应与入射和

出射方向相切．作出粒子运动轨迹如图中实线所示．轨迹MN为以O′为圆心、R为半径，且与两速度方向

相切的圆弧，M、N两点还应在所求磁场区域的边界上．

在过M、N两点的不同圆周中，最小的一个是以MN为直径的圆周，所求圆形磁场区域的最小半径为

2分

面积为S= 2分

⑵带电粒子在磁场中轨迹圆弧对应的圆心角为1200，带电粒子在磁场中运动的时间为转动周期的，

(2分)

⑶粒子进入电场做类平抛运动,设从b到c垂直电场方向位移x′，沿电场方向位移y′,所用时间为t,则有x′

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=v0t

2分

又解得 x′=

2分 mv02/Eq

y′=6mv02/Eq 2分

2分

如图所示，第二象限内充满了垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，第一、第四象限内充满了一匀强电场，其方向如图所示。一个质量为m，电荷量为+q的带电粒子从x轴上的P点以初速度v0沿垂直于磁场方向进入匀强磁场中，初速度方向与x轴负方向的夹角θ=30°，粒子恰好从y轴上的C处垂直于电场强度的方向射入匀强电场，经过x轴的Q点，已知OQ=OP，不计粒子的重力，求：

（1）粒子从P运动到C所用的时间t； （2）电场强度E的大小； （3）粒子到达Q点时的动能Ek。

【解析】

试题分析：（1）带电粒子在电磁场运动的轨迹如图所示，由图可知，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹为半个圆周

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由,得：

又T=得带电粒子在磁场中运动的时间：

(3分)

(

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如图所示. 半径分别为a 、b的两同心虚线圆所围空间分别存在电场和磁场，中心O处固定一个半径很小（可忽略不计）的金属球，在小圆空间内存在沿半径向内的辐向电场，小圆周与金属球间电势差U，两圆之间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，设有一个带负电的粒子从金属球表面沿x轴正方向以很小的初速度逸出，粒子质量为m，电荷量为q.（不计粒子的重力，忽略粒子逸出的初速度）

试求：（1）粒子到达小圆周上时的速度为多大？

（2）粒子以（1）中的速度进入两圆间的磁场中，当磁感应强超过某一临界值时，粒子将不能到达大圆周，求此磁感应强度的最小值B.

（3）若当磁感应强度取（2）中最小值，且

时，粒子运动一段时间后恰好能沿x轴负方向

回到原出发点，求粒子从逸出到第一次回到原出发点的过程中，在磁场中运动的时间.（设粒子与金属球正碰后电量不变且能以原速率原路返回）

（1）（2）（3）

（1）粒子在电场中加速，根据动能定理得：

………………3分

所以………………3分

（2）粒子进入磁场后，受络伦兹力做匀速圆周运动，

有…………………………2分

要使粒子不能到达大圆周，其最大的圆半径为轨迹圆与大圆周相切，如图.

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则有…………2分 所以

联系解得……………………2分

（3）由图可知 则粒子在磁场中转

………………2分

，然后沿半径进入电场减速到达金属球表面，再经电场加速原路返回磁场，如

此重复，恰好经过4个回旋后，沿与原出射方向相反的方向回到原出发点.

因为， …………2分

将B代入，得粒子在磁场中运动时间为 ……2分

19分）在图所示的坐标系中，x轴水平，y轴垂直，x轴上方空间只存在重力场，第Ⅲ象限存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直xy平面向里的匀强磁场，在第Ⅳ象限由沿x轴负方向的匀强电场，场强大小与第Ⅲ象限存在的电场的场强大小相等。一质量为m，带电荷量大小为q的质点a，从y轴上y=h处的P1点以一定的水平速度沿x轴负方向抛出，它经过x= -2h处的P2点进入第Ⅲ ]象限，恰好做匀速圆周运动，又经过y轴上的y= -2h的P3点进入第Ⅳ 象限，试求：

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⑴质点到达P2点时速度的大小和方向；

⑵第Ⅲ象限中匀强电场的电场强度和匀强磁场的磁感应强度的大小； ⑶质点a进入第Ⅳ象限且速度减为零时的位置坐标

（1）v=2，其方向与轴负向夹角 θ=45°（2）（3）（19分）如图所示。

（1）质点在第Ⅱ象限中做平抛运动，设初速度为v0，由

……① （2分）

2h=v0t…… ② （2分） 解得平抛的初速度

（1分）

在P2点，速度v的竖直分量（1分）

所以，v=2

，其方向与轴负向夹角 θ=45° （1分）

（2）带电粒子进入第Ⅲ象限做匀速圆周运动，必有

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mg=qE……③ （2分） 又恰能过负y轴2h处，故

为圆的直径，转动半径

R= …… ④（1分）

又由 ……⑤ （1分）．

可解得 E =\"mg/q\" （1分）；

B = （2分）

，方

（3）带电粒以大小为v，方向与x轴正向夹45°角进入第Ⅳ象限，所受电场力与重力的合力为向与过P3点的速度方向相反，故带电粒做匀减速直线运动，设其加速度大小为a，则：

…… ⑥（2分）；

由

由此得出速度减为0时的位置坐标是

（2分） （1分）

如图，在x>0的空间中，存在沿x轴方向的匀强电场，电场强度E＝10 N/C；在x<0的空间中，存在垂直xOy平面方向的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T。一带负电的粒子（比荷q/m＝160 C/kg），在x＝0.06 m处的D点以v0＝8 m/s的初速度沿y轴正方向开始运动，不计带电粒子的重力．求： （1）带电粒子开始运动后第一次通过y轴时距O点的距离； （2）带电粒子进入磁场后经多长时间返回电场；

（3）带电粒子在xOy平面内做周期性运动的周期。（保留两位有效数字）

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解：（1）粒子在第一象限做类平抛运动，加速度a＝

＝1 600 m/s2

运动时间t1＝＝8.7×10－3 s

沿y轴方向的位移y＝v0t1＝m＝6.9×10－2 m

（2）粒子通过y轴进入磁场时在x方向上的速度vx＝at1＝8 m/s 因此，tanθ＝

，θ＝60°

粒子在第二象限以O′为圆心做匀速圆周运动，圆弧所对的圆心角为2θ＝120°，运动时间

t2＝＝2.6×10－2 s

（3）粒子从磁场返回电场后的运动是此前由电场进入磁场运动的逆运动，经时间t3＝t1，粒子的速度变为v0，此后重复前面的运动

粒子在电磁场中运动的周期T＝t1＋t2＋t3＝()s＝4.3×10－2 s

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在如图a所示的空间里，存在方向水平垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向上的周期性变化的电场（如图b所示），周期T=12t0，电场强度的大小为E0,E>0表示电场方向竖直向上。一倾角为300足够长的光滑绝缘斜面放置在此空间。t=0时，一带负电、质量为m的微粒从斜面上的A点由静止开始沿斜面运动，到C点后，做一次完整的圆周运动，在t=T时刻回到C点，再继续沿斜面运动到t=13t0时刻。在运动过程中微粒电荷量不变，重力加速度为g，上述E0、m、t0、g为已知量。

（1）求微粒所带电荷量q和磁感应强度大小B；

（2）求微粒在A、C间运动的加速度和运动到C点时的速度大小；

（3）求0～2T时间内微粒经过的路程。

（1） （2），方向沿斜面向下；（3）

试题分析：（1）能够做匀速圆周运动，说明此时重力和电场力合力为零

设粒子达到C点时的速度为，洛伦兹力提供向心力，有

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运动的周期

在本题中圆周运动的周期为

，则

（2）微粒在AC间运动时受力分析如图所示，则

，方向沿斜面向下

到达C点时速度大小为

（3）时间内路程

时间内的路程

时间内的路程

第二次做圆周运动的速度

，半径是第一次的两倍

时间内的路程

所以

时间内的总路程为

点评：本题要弄清带电粒子在各个时间段的运动情况，逐段分析求解。- 22 -

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如图所示，在地面附近，坐标系xoy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在x＜0的区域内还有沿X轴负向的匀强电场，场强大小为E。一个带正电油滴经图中x轴上的M点，沿着与水平方向成α＝30°角斜向下做直线运动，进入x＞0的区域。要使油滴进入x＞0的区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动。需在x＞0的区域内加一个匀强电场，若带电油滴做圆周运动通过x轴上的N点，且MO＝NO。求： （1）油滴的运动速度的大小？

（2）在x＞0的区域内所加的电场强度的大小和方向？ （3）油滴从x轴上的M点到达x轴上的N点所用的时间？

解：（1）带电粒子做直线运动时的受力情况如图所示：

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由受力图得：

②

①

①②式联立得：

（2）要使油滴进入x>0的区域内做做匀速圆周运动，则带电油滴所受电场力应与所受重力相平衡。有：

③

由①③两式得

（3）由已知条件MO＝NO可知：又：则：

故：P点速度方向与PN成60°，N点速度也与PN成60°。即N点速度与X轴垂直，O'为带电油滴做圆周运动的圆心 ④

半径 ⑤

带电油滴做直线运动的时间： ⑥

带电油滴做圆周运动的时间：

⑦

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则带电油滴从M点到N点所用的时间为

0），要使粒子在y轴上由静止释放能达到M点。问：

（1）带电粒子应带何种电荷？释放位置离O点须满足什么条件？ （2）粒子从出发点运动到M点经历的时间多长？

⑧

如图所示，x轴上方有匀强磁场B，下方有匀强电场E。电量为q、质量为m的粒子在y轴上，重力不计，x轴上有一点M（L，

解：（1）带电粒子要在电场中向上加速，所以带电粒子应带负电荷。（2分） 设释放点离原点距离为d，负电荷在电场中加速，由动能定理得：Eqd=mv2/2………………① 负电荷在磁场中做匀速圆周运动，其运动半径为R，qvB=mv2/R…………………②又由题意得：2nR=L……③联立①②③式得d=qB2L2/8n2mE，n=1、2、3……。……④ （4分）（2）带电粒子实际运动轨迹如图所示，它运动到M点的时间有二部分组成。设粒子从出发点到原点的时间为t1，则在电场中运动的时间为tE=（2n-1）t1，由运动学方程d=Eqt12/2m………⑤联立④⑤式得t1=BL/2nE 带电粒子在磁场中运动的时间tB=nπm/qB所以带电粒子从出发点运动到M点的总时间为t=tE+tB =（2n-1）BL/2nE+ nπm/qB（4分）

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如图所示，在xoy坐标平面的第一象限内有一沿y轴正方向的匀强电场，在第四象限内有一垂直于平面向里的匀强磁场，现有一质量为m、电量为+q的粒子（重力不计）从坐标原点O射入磁场，其入射方向与y的方向成45°角．当粒子运动到电场中坐标为（3L，L）的P点处时速度大小为v0，方向与x轴正方向相同．求： （1）粒子从O点射入磁场时的速度v；

（2）匀强电场的场强E0和匀强磁场的磁感应强度B0． （3）粒子从O点运动到P点所用的时间．

若粒子第一次在电场中到达最高点P，则其运动轨迹如图所示． 粒子在O点时的速度大小为v，OQ段为圆周，

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QP段为抛物线．根据对称性可知，粒子在Q点时的速度大小也为v，方向与x轴正方向成45°角，可得： V0=vcos45°

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如图所示，坐标系xOy位于竖直平面内，在该区域内有场强E=12N/C、方向沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为B=2T、沿水平方向且垂直于xOy平面指向纸里的匀强磁场．一个质量m=4×10-5kg，电量q=2.5×10-5C带正电的微粒，在xOy平面内做匀速直线运动，运动到原点O时，撤去磁场，经一段时间后，带电微粒运动到了x轴上的P点．取g=10m/s2，求：

（1）微粒运动到原点O时速度的

大小和方向；

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（2）P点到原点O的距离．

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在倾角为30°的光滑斜面上有相距40m的两个可看作质点的小物体P和Q，质量分别mP=0.1kg和mQ=0.5kg，其中P不带电，Q带电．整个装置处在正交的匀强电场和匀强磁场中，电场强度的大小为50V/m，方向竖直向下；磁感应强度的大小为5πT，方向垂直纸面向里．开始时，将小物体P无初速释放，当P运动至Q处时，与静止在该处的小物体Q相碰，碰撞中Q的电荷量保持不变（即不转移）．碰撞后，两物体能够再次相遇．斜面无限长，g取10m/s2．求： （1）试分析物体Q的带电性质并求出电荷量大小；

（2）分析物体P、Q第一次碰撞后物体Q可能的运动情况，此运动是否为周期性运动？若是，物体Q的运动周期为多大？

（3）物体P、Q第一次碰撞过程中由物体P和Q组成的系统损失的机械能为多少？

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（2007•宝坻区一模）如图所示，MN为纸面内竖直放置的挡板，P、

D是纸面内水平方向上的两点，两点距离PD为L，D点距挡板的距离DQ为 L π

．一质量为m、电量为q的带正电粒子在纸面内从P点开始以v0的水平初速度向右运动，经过一段时间后在MN左侧空间加上垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，磁场维持一段时间后撤除，随后粒子再次通过D点且速度方向竖直向下．已知挡板足够长，MN左侧空间磁场分布范围足够大．粒子的重力不计．求： （1）粒子在加上磁场前运动的时间t；

（2）满足题设条件的磁感应强度B的最小值及B最小时磁场维持的时间t0的值．

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如图所示，平面直角坐标系xOy中，在y＞0的区域存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E．在-h＜y＜0的区域I中存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．在y＜-h的区域Ⅱ中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为2B．且是y轴上的一点，C是x轴上的一点．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子以某一初速度．沿x轴正方向从A点进入电场区域，继而通过C点以速度方向与x轴夹角为φ=30°进入磁场区域I，并以垂直边界y=-h的速度进入磁场区域Ⅱ，粒子重力不计．试求：

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（1）粒子经过C点时的速度大小a； （2）A、C两点与O点间的距离y0、x0；

（3）粒子从A点出发，经过多长时间可回到y=y0处？

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