二阶振荡环节频率特性极坐标图

二阶振荡环节频率特性极坐标图的绘制

漯河职业技术学院 陈文艺

极坐标图示法是用频率法分析自动控制系统的重要方法，它是频率特性

G(jω)=∣G(jω) ∣ej/G(jω) 在复平面上，当ω由0→∞时形成的轨迹。二阶振荡环节是自动控制系统中的重要组成环节，因此，二阶振荡环节频率特性极坐标图的绘制非常重要。本文将详尽介绍其绘制方法。

一、传递函数：二阶振荡环节的传递函数G（s）的表达式如下

G(s)s2n22nsn2112ns221s11T2s22Ts1

n 两个重要参数：1、时间常数 2、阻尼比

1T2(j)22T(j)11(1T22)2(2T)2T1n

1二、频率特性：将传递函数G（s）中的s用jω代替，即可得到频率特性G(jω)

G(j)1T222Tj)

（极坐标形式） （直角坐标形式）

＝

＝

tg12T1T221T22(1T22)2(2T)2j2T(1T22)2(2T)21、 实频特性：R()2、 虚频特性：I()1T22(1T22)2(2T)22T （1）

(1T22)2(2T)21 （2） （3）

（4）

3、 幅频特性：M()(1T22)2(2T)24、 相频特性：()tg12T1T22tg12T1T22三、频率特性极坐标图的绘制：

1、起点：令0 R()1 I()0 或 M()1 ()00 2、终点：令 R()0 I()0 或 M()0 ()1800

3、与虚轴的交点：令实部为零，即

R()01T22(1T22)2(2T)2

1T220 1Tn

式中ωn称为无阻尼自然振荡频率。 将

1Tn代入式（2）、（3）、（4）得：

12I()M() ()900

4、M()的极值点：

令

dM()d0122(1T22)(2T2)2(2T)(2T)3

[(1T22)2(2T)2]2 ＝122T2(22T2242)3

[(1T22)2(2T)2]2∴ 22T22420 极值点角频率r1T122n122 （5）

ωr称为谐振频率

M(r)[1T2(11T122)2]2(2T1T122)2＝

1212

(r)tg1122 （6）

由于ωr≥0，且M(r)≥0，所以，122≥0，由此得出如下结论：

（1）、当00.707时才有极值点，

2且M(r)1 o(r)900

当ζ由0.707变到0时，()由0变到r，M(r)由1变到。

（2）、当>0.707时，没有极值点。

5、G(j) 与第四象限角平分线的交点：

()450tg12T1T222T1T22

T211 T222T10

M()122(21

6、G(j) 与第三象限角平分线的交点：

()1350tg12T1T22M()2T1T22

21T1 T222T10

1

22(21

7、G(j) 与单位圆的交点：

令M()(1T122)2(2T)21 (1T22)2(2T)21

整理得2T2(T2224)0

解得：0 （相当于坐标原点）

2T122 o.70 7()tg12T1T22tg122122142

显然0.5而时900()00交点位于四象限；

o.5时1800()900交点位于三象限；

o.7078、通频带b点：

M(b)1(1T22)2(2T)212 (1T22)2(2T)22

44解得：bn12(122)212rrn

(b)tg121222(12)21(122)21

例：设G(s)解：

G(s)10.01s20.1s11 ，试画出极坐标图。

由此可得：

10.110(0.1)2s220.50.1s1ζ＝0.5 T＝0.1 n1T

1、起点：0 M()1 ()0

2、终点： M()0 ()1800 3、与虚轴的交点：

1Tn1012120.5

I()M()1 ()900

4、极值点：

M(r)121212o.510.521.155

r1T12210.1120.527.07rad/s

045度54.73度1(r)tg1122tg1120.520.554.730

-15、与第四象限角平分线的交点：

()450 M()

1T210.510.521o.10.521图1

6.18ra/ds

22(211.14422o.5(0.5

6、与第三象限角平分线的交点：

()1350

21T0.50.5210.116.18ra/ds

M()122(211220.5(0.50.5210.4371

7、与单位圆的交点：

M()1

()900

2r10ra/ds

8、通频带b

bn12(122)2110120.5(120.52)21rad/s

=10.57rad/s

图1是本例的极坐标图。