2007年高考数学卷(安徽.文)含答案

数学（文科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第I至第2页，第II卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．

考生注意事项：

1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致．

2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答第II卷时，必须用0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无．．．．．．．．．．．．．效． ．

4．考试结束，监考员将试题和答题卡一并收回． 参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 球的表面积公式

P(AB)P(A)P(B)

如果事件A，B相互，那么

S4πR2

球的体积公式

1212221233nn(n1) 2n(n1)(2n1) n263V

43πR 3其中R表示球的半径

n2(n1)2n

4第I卷（选择题共55分）

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若Axx1，Bxx2x30，则AＡ．3

222B（ ）

Ｄ．1

2Ｂ．1

Ｃ．

2．椭圆x4y1的离心率为（ ）

Ａ．

3 2 Ｂ．

3 4 Ｃ．

2 2 Ｄ．

2 33．等差数列an的前n项和为Sn，若a21，a33，则S4（ ） Ａ．12 Ｂ．10 Ｃ．8 4．下列函数中，反函数是其自身的函数为（ ） Ａ．f(x)x，x[0，)

2Ｄ．6

3

) Ｂ．f(x)x，x(，1

all`试题 梦想不会辜负一个努力的人 ) Ｃ．f(x)e，x(，22x

Ｄ．f(x)1，x(0，) x2，则a的值为（ ） 25．若圆xy2x4y0的圆心到直线xya0的距离为Ａ．2或2

Ｂ．

13或 Ｃ．2或0 Ｄ．2或0 226．设t，m，n均为直线，其中m，n在平面内，则“l”是“lm且ln”的

（ ）

Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 7．图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）

y 3 23x1 (0≤x≤2) 233Ｂ．yx1 (0≤x≤2)

223Ｃ．yx1 (0≤x≤2)

2Ａ．yＤ．y1x1

O 1 2 x (0≤x≤2)

第7题图

28．设a1，且mloga(a1)，nloga(a1)，ploga(2a)，则m，n，p的大小关

系为（ ） Ａ．nmp

Ｂ．mpn Ｃ．mnp Ｄ．pmn

2xy2≥0229．如果点P在平面区域xy2≤0上，点Q在曲线x(y2)1上，那么PQ的

2y1≥0最小值为（ ） Ａ．

3 2 Ｂ．41 5

Ｃ．221

Ｄ．21

10．把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，折成直二面角后，在

A，B，C，D四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为（ ）

ππＡ．2π Ｃ．π Ｂ． Ｄ．

2311．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程

f(x)0在闭区间[T，T]上的根的个数记为n，则n可能为（ ）

Ａ．0

Ｂ．1

Ｃ．3

Ｄ．5

all`试题 2

梦想不会辜负一个努力的人 2007年普通高等学校招生全国统一考试（安微卷）

数学（文科）

第II卷（非选择题共95分）

注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效 ．．．．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．

5234512．已知(1x)a0a1xa2xa3xa4xa5x，则(a0a2a4)(a1a3a5)的

值等于 ．

13．在四面体OABC中，OAa，OBb，OCc，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE

（用a，b，c表示）

． （写出

14．在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为 15．函数f(x)3sin2x所有正确结论的编号）． ．．①图象C关于直线x②图象C关于点π的图象为C，如下结论中正确的是 311π对称； 122π，0对称； 3π5π，内是增函数； 1212③函数f(x)在区间④由y3sin2x的图角向右平移

π个单位长度可以得到图象C． 3三、解答题：本大题共6小题，共79分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分10分） 解不等式(3x11)(sinx2)0．

17．（本小题满分14分） 如图，在六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12．

（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面． （Ⅱ）求证：平面A1ACC1平面B1BDD1；

（Ⅲ）求二面角ABB1C的大小（用反三角函数值表示） 18．（本小题满分14分）

设F是抛物线G:x4y的焦点．

2D1

C1 B1

A1 D C

A

B all`试题 3

梦想不会辜负一个努力的人 （I）过点P(0，4)作抛物线G的切线，求切线方程；

（II）设A，B为抛物线G上异于原点的两点，且满足FAFB0，延长AF，BF分别交抛物线G于点C，D，求四边形ABCD面积的最小值． 19．（本小题满分13分）

在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔． ．．（I）求笼内恰好剩下．．．．1只果蝇的概率； （II）求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率． 20．（本小题满分14分） 设函数f(x)cosx4tsin2xxcos4t3t23t4，xR， 22其中t≤1，将f(x)的最小值记为g(t)． （I）求g(t)的表达式；

（II）讨论g(t)在区间(11)，内的单调性并求极值．

21．（本小题满分14分）

某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为与此同时，国家给予优惠的计息，不仅采用固定利率，而且计算复利．这d的等差数列．

就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，

．以Tn表示到第n年末所累计

的储备金总额．

（Ⅰ）写出Tn与Tn1(n≥2)的递推关系式；

（Ⅱ）求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列．

all`试题 4

梦想不会辜负一个努力的人 2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（文史）参

一、选择题：本题考查基本知识的基本运算．每小题5分，满分55分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ｃ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ａ 7．Ｂ 8．Ｂ 9．Ａ 10．Ｃ 11．Ｄ

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 12．256

13．

111abc 244 14．

3 11 15．①②③

三、解答题

16．本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力．本小题满分10分．

解：因为对任意xR，sinx20，所以原不等式等价于3x110． 即3x11，13x11，03x2，故解为0x所以原不等式的解集为x0x2． 32． 317．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分． 解法1（向量法）：

，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系以D为原点，以DADxyz如图，

D1 z C1 B1 A1 D C y B A x 0，，0)B(2，2，，0)C(0，2，，0)A1(1，0，，2)B1(11，，，2)C1(0，1，，2)D1(0，0，2)． 则有A(2，（Ⅰ）证明：∵AC，，，AC(2，2，，0)D1B1(110)，，，DB(2，2，0)． 11(110)∴AC2AC，DB2D1B1． 11∴AC与AC1B1平行， 11平行，DB与Dall`试题 5

梦想不会辜负一个努力的人 于是A1C1与AC共面，B1D1与BD共面．

·AC(2，2，0)·(2，2，0)0， （Ⅱ）证明：DD·，0，2)·(2，2，0)0，DB1AC(0∴DD1AC，DBAC．

DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线．

∴AC平面B1BDD1．

又平面A1ACC1过AC．

∴平面A1ACC1平面B1BDD1．

（Ⅲ）解：AA1(10，，，2)BB1(1，1，，2)CC1(0，1，2)． 设n(x1，y1，z1)为平面A1ABB1的法向量，

n·AA1x12z10，n·BB1x1y12z10．

于是y10，取z11，则x12，n(2，0，1)． 设m(x2，y2，z2)为平面B1BCC1的法向量，

m·BB1x2y22z20，m·CC1y22z20．

于是x20，取z21，则y22，m(0，2，1)．

cosm，nm·nmn15． ∴二面角ABBarccos11C的大小为π5．

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：∵D1D平面A1B1C1D1，D1D平面ABCD．

∴D1DDA，D1DDC，平面A1B1C1D1∥平面ABCD．

于是C1D1∥CD，D1A1∥DA．

设E，F分别为DA，DC的中点，连结EF，A1E，C1F， 有A1E∥D1D，C1F∥D1D，DE1，DF1． all`试题 D1

C1 A1 B1

D FM

C

E O A

B 6

梦想不会辜负一个努力的人 ∴A1E∥C1F，

于是A1C1∥EF．

由DEDF1，得EF∥AC， 故AC11∥AC，A1C1与AC共面． 过点B1作B1O平面ABCD于点O，

则B1O ∥A1E，B1O ∥C1F，连结OE，OF， 于是OE ∥B1A1，OF ∥B1C1，∴OEOF． ∵B1A1A1D1，∴OEAD．

∵B1C1C1D1，∴OFCD．

所以点O在BD上，故D1B1与DB共面．

（Ⅱ）证明：∵D1D平面ABCD，∴D1DAC， 又BDAC（正方形的对角线互相垂直），

D1D与BD是平面B1BDD1内的两条相交直线，

∴AC平面B1BDD1．

又平面A1ACC1过AC，∴平面A1ACC1平面B1BDD1．

（Ⅲ）解：∵直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影，ACDB， 根据三垂线定理，有ACB1B．

过点A在平面ABB1A内作AMB1B于M，连结MC，MO， 则B1B平面AMC， 于是B1BMC，B1BMO，

所以，AMC是二面角AB1BC的一个平面角． 根据勾股定理，有A1A5，C1C5，B1B6． ∵OMBB1O·OB1B，有OM2，BM2BB313，AM103，CM103．all`试题 7

梦想不会辜负一个努力的人 AM2CM2AC211cosAMC，AMCπarccos，

2AM·CM55二面角ABB1C的大小为πarccos1． 518．本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力．本小题满分14分．

2x0xx解：（I）设切点Qx0，．由y，知抛物线在Q点处的切线斜率为0，故所求切线

2242x0x0(xx0)． 方程为y422x0x4x． 即y24因为点P(0，)在切线上．

2x02所以4，x016，x04．

4所求切线方程为y2x4． （II）设A(x1，y1)，C(x2，y2)．

由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k0． 因直线AC过焦点F(01)，，所以直线AC的方程为ykx1．

ykx1，点A ，C的坐标满足方程组2x4y，得x4kx40， 由根与系数的关系知2x1x24k，

x1x24.AC(x1x2)2(y1y2)21k2(x1x2)24x1x24(1k2)．

因为ACBD，所以BD的斜率为11，从而BD的方程为yx1． kk124(1k2)同理可求得BD41． 2kkall`试题 8

梦想不会辜负一个努力的人 SABCD18(1k2)212ACBD8(k2)≥32． 2k2k2当k1时，等号成立．所以，四边形ABCD面积的最小值为32．

19．本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：以Ak表示恰剩下k只果蝇的事件(k0，1，，6)． 以Bm表示至少剩下m只果蝇的事件(m0，1，，6)． 可以有多种不同的计算P(Ak)的方法．

方法1（组合模式）：当事件Ak发生时，第8k只飞出的蝇子是苍蝇，且在前7k只飞出

1C77kk的蝇子中有1只是苍蝇，所以P(Ak)． 2C828方法2（排列模式）：当事件Ak发生时，共飞走8k只蝇子，其中第8k只飞出的蝇子是苍蝇，哪一只？有两种不同可能．在前7k只飞出的蝇子中有6k只是果蝇，有C86k种

不同的选择可能，还需考虑这7k只蝇子的排列顺序．所以

16kC2C6(7k)!7k． P(Ak)8kA828由上式立得P(A1)63； 28143． 28P(B3)P(A5A6)P(A5)P(A6)20．本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．本小题满分14分． 解：（I）我们有

xxf(x)cos2x4tsincos4t3t23t4

22

sinx12tsin4tt3t4 sinx2tsinxt4t3t3 (sinxt)4t3t3．

223222223由于(sinxt)≥0，t≤1，故当sinxt时，f(x)达到其最小值g(t)，即

g(t)4t33t3．

all`试题 9

梦想不会辜负一个努力的人 t1． （II）我们有g(t)12t33(2t1)(2t1)，列表如下： 2t g(t) 1， 2 1 21， 221 211 ，2 0 极大值g 0 极小值gg(t) 1 2 1 2 由此可见，g(t)在区间1，1111，1和单调增加，在区间，单调减小，极小值为

22221g2，极大值为g4． 2221．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．

解：（Ⅰ）我们有TnTn1(1r)an(n≥2)． （Ⅱ）T1a1，对n≥2反复使用上述关系式，得

TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ann1n2 a1(1r)a2(1r)

①

an1(1r)an，

在①式两端同乘1r，得

(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)

②

nn1n2②①，得rTna1(1r)d[(1r)(1r)(1r)]an

d[(1r)n1r]a1(1r)nan． rardarddn即Tn12(1r)n12．

rrrardarddn如果记An12(1r)，Bn12n，

rrr

则TnAnBn． 其中An是以

a1rd(1r)为首项，以1r(r0)为公比的等比数列；Bn是以2rall`试题 10

a1rddr2r为首项，dr为公差的等差数列．

all`试题 梦想不会辜负一个努力的人 11