0
𝑑𝑌∗
解：(a)S’,T’和I’分别表示国民收入Y的编辑储蓄，边际税收和边际投资，即国民收入每增加1元，储蓄、税收和投资的增加数量。
(b)另F(Y, 𝐺0)=S(Y)+T(Y)-I(Y)- 𝐺0,要想Y是参数𝐺0的隐函数，必须𝜕𝑌=S’+T’-I’>0≠0，均衡等式就是S(Y*)+T(Y*)-I(Y*)-𝐺0=0
(c)两边对𝐺0求导，并把Y*看成𝐺0的函数，S’(Y*)𝑑𝐺+T’(Y*)𝑑𝐺-I’(Y*)𝑑𝐺-1=0，所以
0
0
0
𝜕𝐹
𝑑𝑌∗𝑑𝑌∗𝑑𝑌∗
𝑑𝑌∗𝑑𝐺0
=𝑆′(𝑌∗)+𝑇′(𝑌∗)−𝐼′(𝑌∗)>0表示当参数𝐺0政府支出增加时，均衡国民收入Y*也会随之增加。
1
【P133国民收入模型】克莱姆法则解简单国民收入模型Y=C+𝐼0+𝐺0，C=a+bY（a>0,0 −b1𝑎（𝐼0+𝐺0被视为一个整体）。利用克莱姆法则解得：Y*= 𝑎+b（𝐼0+𝐺0） 1−b | 𝐼0+𝐺0−1 | 𝑎11−1||−b1 = 𝐼0+𝐺0+a1−b 1𝐼0+𝐺0|| 𝑎，C*=−b1−1||−b1 = 1−11𝑏 。系数矩阵法求解：系数矩阵A=[]，其余子式矩阵为[]，伴随矩阵 −b111 111111 A*=[]，则逆矩阵为𝐴−1=|𝐴|𝐴∗=1−b[]，对方程组Ax=d，解可以表示为x*=𝐴−1𝑑， 𝑏1𝑏1 𝐼0+𝐺0+a111𝐼0+𝐺01𝑌∗则[∗]=[][]=[] 1−b𝑏11−bb(𝐼0+𝐺0)+𝑎𝑎𝐶 【等式约束极大P435】求函数Z=xy，满足约束x+y=6的极值。 𝑧𝜆=6−x−y=0𝑥+y=6解：拉格朗日函数：Z=xy+λ(6-x-y)。为求Z的稳定值，必须{𝑧𝑥=y−λ=0或{−λ+y=0， 𝑧𝑦=x−λ=0−λ+x=0解得λ∗=3，x*=3，y*=3，此稳定值为Z*=z*=9.因为𝑧𝑥=y−λ，𝑧𝑦=x−λ，所以二阶偏̅|=导数为𝑧𝑥𝑥=0，𝑧yx=𝑧𝑥𝑦=1，𝑧𝑦𝑦=0.所需的加边元素𝑔𝑥=1，𝑔𝑦=1，求得|𝐻011 |101|=2>0,Z*=q为极大值。 110 22 求函数z=𝑥1+𝑥2满足约束𝑥1+4𝑥2=2的极值。 22 解：拉格朗日函数z=𝑥1+𝑥2+λ(2−𝑥1−4𝑥2)。稳定值的必要条件为： 𝜕𝑍(𝑥1,𝑥2;λ)2 =2−𝑥1−4𝑥2=0 ̅𝑥̅̅=1𝜕λ17 𝜕𝑍(𝑥,𝑥;λ) 812 =2𝑥1−λ=0→̅ 𝑥̅̅=2𝜕𝑥117 4 𝜕𝑍(𝑥1,𝑥2;λ)=2𝑥−4λ=0𝜆=2{17{𝜕𝑥2 所定义的Z的稳定值是Z*=z*=，𝑍1=2𝑥1−λ，𝑍2=2𝑥2−4λ，𝑍11=2 𝑍12=𝑍21=0， 17 4 𝑍22=2，由约束𝑥1+4𝑥2=2得𝑔𝑥=1，𝑔𝑦=4 014 ̅|=|120|=(−1)|14|+4|14|=(−1)∗2+4∗(−8)=−34<0,故z*=4极小值 |𝐻 170220 402【不等式约束P494例1,P510例1】效用最大化问题放到线性规划模型中，maxU=xy，s.t.x+y≤100， x≤40，且x，y≥0。拉格朗日函数为Z=xy+λ1(100-x-y)+ λ2(40-x)，库恩塔克条件为𝑧𝑥=y-λ1-λ2≤0,x≥0，且x𝑧𝑥=0，𝑧𝑦=x-λ1≤0，y≥0，且y𝑧𝑦=0 𝑧𝜆1=100-x-y≥0，λ1≥0，且λ1𝑧𝜆1=0，𝑧𝜆2=40-x≥0，λ2≥0，且λ2𝑧𝜆2=0 假设x=0或y=0没有意义，因为这样会有U=xy=0，故假设x和y都是非零的，并通过互补松弛推出𝑧𝑥=𝑧𝑦=0，这意味着y-λ1-λ2=x-λ1(=0),故y-λ2=x。现假设在求解中配额限制并没有用尽，这暗示λ2=0，那么有x=y，由于给定的预算B=100，得出测试解x=y=50，但这一解违反配额约束x≤40.因此假设x*=40，那么预算约束允许消费者有y*=60，因为𝑧𝑥=𝑧𝑦=0， ∗可算出λ1=40，λ∗2=40 设两商品x和y的消费者效用最大化问题是max 𝑈=𝑥𝑦2，s.t. x+y≤100,2x+y≤120，且x，y≤0.(a)写出该问题的拉格朗日函数。(b)写出库恩-塔克一阶条件。(c)试用试错法求出消费者最优的x和y，确定约束条件是否发挥限制作用。 2 解： 𝑍=x𝑦2+λ1(100−𝑥−𝑦)+λ2(120−2𝑥−𝑦) 𝑍𝑥=𝑦2−λ1−2λ2≤0,𝑥≥0,且x𝑍𝑥=0 𝑍𝑦=2xy−λ1−λ2≤0,𝑦≥0,且x𝑍𝑦=0 𝑍𝜆1=100−x−y≥0,λ1≥0,且λ1𝑍𝜆1=0 𝑍𝜆2=120−2x−y≥0,λ2≥0,且λ2𝑍𝜆2=0 假设第二个（定量配额）约束条件是没有发挥作用的，那么通过互补松弛性得到λ2=0，但让x，y和λ1为正，那互补松弛性会得出以下三个等式：𝑍𝑥=𝑦2−λ1=0，𝑍𝑦=2xy−λ1=0，𝑍𝜆1=100−x−y=0，求解：x和y得到测试解x=33，y=66,带入消费者约束条件:2∗33+ 3 3 3 1 2 1 66=133>120,违反消费券约束条件,被拒绝.改变对λ1、λ2的假设条件，使λ1=0， 3 3 21 λ2，x、y>0。根据边际条件得：𝑍𝑥=𝑦2−2λ2=0，𝑍𝑦=2xy−λ2=0，𝑍𝜆1=120−2x−y=0，解得x=20，y=80，隐含着λ2=2xy=3200，与λ1=0一起，满足预算和配额供应约束限制，为库恩塔克条件的最后解。 3⁄4⁄1010]，【方程组P742】对于连续时间的产出调整，投入-产出模型（19.23），已知A=[3⁄210⁄10d=[𝑒]，求：特别积分；余函数；假设初始条件为𝑥1(0)=2𝑒径。 𝑡10𝑡10 53 , 𝑥2(0)=6 256 ,求确定的时间路 𝑎11𝑎12𝑥′1(𝑡)𝑥(𝑡)𝑑(𝑡) [（19.23）Ix’+(I-A)X=d,其中x’=[′],x=[1],A=[𝑎𝑎],d=[1],最终需求向量 𝑥2(𝑡)𝑑2(𝑡)𝑥2(𝑡)2122λ1𝑒𝜌𝑡λ d=[𝜌𝑡]=[1]𝑒𝜌𝑡，求上式特别积分。 λ2λ2𝑒 解：试探形式为𝑥𝑖(𝑡)=𝛽𝑖𝑒𝜌𝑡（𝑥′𝑖(𝑡)=ρβ𝑒𝜌𝑡）的解，即x=[𝜌 （非零）标量乘子𝑒𝜌𝑡，得[ 0𝜌+1−𝑎11[ −𝑎21 β1𝜌𝑡 ]𝑒，带入(19.23)消去公共β2 −𝑎12β1λ ][]=[1]， 1−𝑎22β2λ2 0β11−𝑎11 ][]+[𝜌β2−𝑎21 −𝑎12βλ ][1]=[1]，若最左边的矩阵为非奇异的，可应用克莱姆法则并 𝜌+1−𝑎22β2λ2 λ1(ρ+1−𝑎22)+λ1𝑎12 ∆ 确定系数𝛽𝑖的值为β1=, β1= λ2(ρ+1−𝑎11)+λ1𝑎21 ∆ (19.25),∆≡(ρ+1−𝑎11)(𝜌+ 1−𝑎22)−𝑎12𝑎21,待定系数后可求特别积分。] 由试探解𝛽𝑖𝑒𝜌𝑡=𝛽𝑖𝑒10及(19.25)得β1=𝑟−1−𝑎11 |𝑟𝐼+(𝐼−𝐴)|=| −𝑎21 44 4 𝑡 176 ，β2= 196 ，故𝑥1𝑝= 1763 𝑒10, 𝑥2𝑝= 4 𝑡 196 𝑒10。 𝑡 𝑟+1−−−𝑎121510102 =0，||=𝑟+𝑟+|3210𝑟+1−𝑎22 −10𝑟+1−−10 11 =0，得r1=−10，r2=−10，故m1=4A1，n1=3A1，m2=A2，n2=−A2，故x1𝑐=1004A1𝑒 −4𝑡 10+A2𝑒 −11𝑡10，x2𝑐=3A1𝑒 −4𝑡10−A2𝑒 −11𝑡10。 −4𝑡10由上述结果及条件得A1=1，A2=2，故时间路径为x1,t=4𝑒3𝑒 −4𝑡10+2𝑒 −11𝑡10+ 176 𝑒, x2,t= 𝑡10−2𝑒 −11𝑡10+ 196 𝑒 1 1 𝑡10【p748，练习19.4】求π和u的时间路径（通解），已知p=6−2u+3𝜋，π‘=1⁄4(p−π), u‘=−1⁄2(u−p)。 10𝜋’解：α−t=1⁄6，β=2，h=1⁄3，j=1⁄4，k=1⁄2，代入得[][]+ 01𝑢‘1⁄1⁄1⁄ 𝜋6224].令π’=u’=0得特别积分𝜋̅=u，𝑢̅=1⁄12−𝑢⁄3，由于简化[][]=[𝑢𝑢11−⁄61⁄12−⁄2𝑟+1⁄61⁄2𝑚−7±√130 方程变为[得特征方程𝑟2+7⁄6𝑟+1⁄4=0，得r1，r2=12，][]=[]， 0−1⁄6𝑟+1𝑛代入矩阵方程得 A2 5−√136 m1=n1， 5+√136 A1−7+√13𝜋𝑐 m2=n2，得通解[𝑢]=[5−√13]𝑒12𝑡+ 𝑐A1 6 5 []𝑒 √13A25+6 −7−√13𝑡12 【动态优化p775】找出满足下面条件的最优路径：max∫0(y−𝑢2)𝑑𝑡，s.t. y’=u 且y(0)=5,y(1)自由。 解：哈密尔顿函数是H=y−𝑢2+λu。因为u为凹且无任何限制，故能应用一阶条件使H最大化： 𝜕𝐻𝜕𝑢 𝜕𝐻 =−2u+λ=0，得u(t)=𝜆⁄2，或y’=𝜆⁄2,λ的运动方程是λ’=−=−1,对其 𝜕𝑦 1 直接积分，得λ(t)=𝑐1−𝑡 𝑐1任意。通过横截性条件λ(T)=0,定有λ(1)=0，让上式t=1，得𝑐1=1.最优协状态变量路径为λ*(t)=1-t,故y’=1⁄2(1−𝑡),积分得y(t)=1⁄2−1⁄4𝑡2+𝑐2,𝑐2任意。由初始条件y(0)=5，让t=0,5=y(0)= 𝑐2,故状态变量最优路径为y*(t)= 1⁄2−1⁄𝑡2+5,对应的最优控制路径是λ*(t)= 1⁄(1−t). 42 【例1】在一下问题中，max∫0(y−𝑢2)𝑑𝑡，s.t. y’=u 且y(0)=2,y(1)=a，哈密尔顿函数H=y− 𝜕𝐻𝑢2+λu，因为u为凹，故能应用一阶条件使H最大化：，令𝜕𝑢=−2u+λ=0，u=𝜆⁄2。𝜕𝐻为了求解u(t)，首先需求解λ(t)。这两个运动方程是y’(=u)=𝜆⁄2, λ’=−𝜕𝑦=−1,对第二个直 1 接积分得λ(t)=𝑐1−𝑡，这隐含着y’=1⁄2(𝑐1−𝑡)，直接积分得y(t)= 𝑐1 ⁄2𝑡−1⁄4𝑡2+𝑐2， 𝑐 由y(0)=2,y(1)=a，得2=y(0)= 𝑐2，a= y(1)= 1⁄2−1⁄4+𝑐2，得𝑐2=2，𝑐1=2a−7⁄2，得问题的最优路径y∗(t)=(a−7⁄4)𝑡−1⁄4𝑡2+2,λ*(t)=2a− 7⁄2−𝑡,u*(t)=a− 7⁄4−1⁄2𝑡 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容