数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章

第十章 定积分的应用

一、 填空题 1． 求曲线

x22y,xy282所围成图形面积A（上

半平面部分），则A=

2． 曲线ye,ye及x1所围面积A=

xx3． 曲线r3cos,r1cos所围面积A= 4． 曲线rae5． 曲线

(0)从0到一段弧长S=

xa(costtsint)ya(sinttcost)从t0到t一段弧长S=

，弧长S4，则其

6． 均匀摆线

xtsint(0t)y1cost重心坐标是 7． 曲线yex(x0),x0,y0所围图形绕Ox轴旋转

所得旋转体的体积为 ；而绕Oy轴旋转所得旋转体的体积为 8． 抛物线yx(xa)与直线yx所围图形的面积为

9． 在抛物线4yx上有一点P，已知该点的法

2线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P点的坐标是 10．设有一内壁形状为抛物面zx32y2的容器，

3原来盛有8(cm)的水，后来又入注(cm)的

水，设此时水面比原来提高了hcm，则h=

11．由曲线yx1,x2,及y2所围图形的面积S= x曲线yx3x22x与x轴所围成的图形的面积A=

二、选择填空题

1． 曲线ylnx,ylna(0ab)与y轴所围成图形的面积为A，则A=（ ） （A）（B）（（D）ebeaebalnblnalnxdx

eexdx C

）

lnblnaeydylnxdx

2．曲线y1,yx，x2所围成的图形面积为A，x则A=（ ） （

21A）

211(x)dxx

（B）(x1)dx x（C）212121(2)dy(2y)dy1y （D）

21(2)dx(2x)dx1xx

3．曲线ye下方与该曲线过原点的切线左方及y轴右方所围成的图形面积A=（ ）

（A）(e10xex)dx

（B）(lnyylny)dy

e1（

10C）

e1(exxex)dx

（D）(lnyylny)dy

4．曲线r2acos(a0)所围图形面积A=（ ） （（B）（（D）

A

12acos2d2）

）

22012acosd22

C

1222acosd022012acosd22

所围图形面积A=（ ）

）

122aed205．曲线rae（（B）（（D）20,,A

a22ed2

C

）

a2e2d

a22ed2

所围图形面积A=（ ）

6．曲线r（A）（B）602sin,r2cos212122sin2d122cos2d

22sind4cos2d62

（C）

162012sind4cos2d262

（D）2602sind4cos2d622

7．曲线yln1x上0x1一段弧长S=（ ） 2（（B）120A

1x2dx1x2）

12011dx21x

（D）

（C）1201202x1dx21x1[ln(1x2)]2dx

xa(tsint)8．摆线(a0)一拱与x轴所围图形绕xya(1cost)轴旋转，所得旋转体的体积V（ ） （A）a1costdt

2220（B）2a02a1costd[a(tsint)]

22（C）（D）0a21cost2d[a(tsint)]a21cost2dt

3xacost3yasint

2a09．星形线（A）4200的全长S=（ ）

sect3acos2t(sint)dt2（B）4sect3acos2t(sint)dt

（C）2（D）

00sect3acos2t(sint)dt2sect3acos2t(sint)dt10．心形线r4(1cos)与直线0,围成图形绕2

极轴旋转的旋转体体积 （ ） （A）16(1cos)V202d

（B）2016(1cos)2sin2d

（C）20016(1cos)2sin2d[4(1cos)cos]

2（D）16(1cos)2sin2d[4(1cos)cos]

11．两个半径为a的直交圆柱体所围的体积为=（ ）

4(ax（A）8(ax)dx

Va20a2202)dx （B） （D）

（C）16(a2(ax)dx

a0a2202x2)dx12．矩形闸门宽a米，高h米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p=（ ） （A）ahdh （B）ahdh

h0a0（

（D）2ahdh

h0C）

h01ahdh2

13．横截面为S，深为h的水池装满水，把水全部抽到高为H的水塔上，所作功

W （ ）

（A）S(Hhy)dy （B）S(Hhy)dy

（C）S(Hy)dy （D）S(Hhy)dy

h0H0h0hH014．半径为a的半球形容器，每秒灌水b，水深

h(0ha)，则水面上升速度是（ ）

h20d（A）ydy （B）dhdh22[a(ya)]dy0dh

（D）

（C）

bbdh2ydydh0dh2(2ayy)dy0dh

15．设f(x),g(x)在区间a,b上连续，且f(x)g(x)m（m为常数），则曲线yg(x),yf(x),xa,xb所围平面图形绕直线ym旋转而成的旋转体体积为（ ）

（A）[2mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx

ba（B）[2mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx

ba（C）[mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx

ba（D）[mf(x)g(x)][f(x)g(x)]dx

ba三、计算题

1．求抛物线yx与y2x所围图形的面积。

22

12．求由ylnx与直线x10,x10,和x轴所围图形的

面积。 3．抛物线y22x把圆x2y28分成两部分，求这两

部分面积之比。

4．试证椭圆x=acost，y+bsint的面积为ab。 5．求由曲线xtt,y1t所围图形的面积。

346．求三叶形曲线rasin3a0所围图形的面积。 7．求由

xy1a,b0ab2与坐标轴所围图形的面积。 所围图形的面积。

x2y21b2a28．求由曲线y10．求椭圆

x21x9．求曲线r6sin与r12sin所围图形的面积。

x2y21a2b2与 a0,b0所围公共部

分的面积。

11．求通过椭圆短轴的斜面所截下的椭圆柱体积，其尺寸如图11—5所示。

12．求下列平面曲线绕轴旋转所围成的立体体积：

（1）ysinx,0x，绕x轴； （2）xatsint,ya1costa0, （4）

x2y21a2b20t2，绕x轴；

（3）ra1cosa0，绕极轴；

，绕x轴。

13．已知球半径为R，试求高为h的球冠体积

hR。

14．求曲线xRcos3t,yRsin3t（图11—7）绕x轴旋

转所得立体体积（这里R为正实数）。 15．求ysinx0x与y=0所围的平面图形绕y轴旋转所得的立体体积。 16．求下列曲线的长：

（1）yx（2）

32,0x4；

；

0t2xy13；

；

（3）xacos（5）rasint,yasin3t,0t2 （4）xacosttsint,yasinttcost,

3a03

17．求下面各曲线在指定点处的曲率：

（1）xy=4在点（2，2）； （2）y=lnx在点（1，0）；

（3）x=a（t-sint），y=a（1-cost）在t的点； 2（4）xacos3t,yasin3t在t的点。 418．设曲线是用极坐标方程r=f（0）给出，且二阶可导，证明它在点θ处的曲率为

kr22r2rrr2r232

并求心形线ra1cos,a0，在θ=0处的曲率，曲率半径和曲率圆。 19．证明抛物线yax最小。

20．求曲线ye上曲率最大的点。

x2bac在顶点处的曲率半径为

21．求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积：

（1）ysinx 0x ，绕x轴； （2）xatsint,ya1costa0 （4）22．求圆x20t2，绕x轴；

（3）ra1cosa0，绕极轴；

x2y2212ab2，绕x轴。

绕x轴一周所得旋转曲面绕极轴旋转所得旋转曲面

yRr4rR的面积。 23．求双纽线r的面积。

24．一正方形薄板垂直地沉没于水中，正方形的一个顶点位于水面而一对角线平行水面（图11—8），设正方形的边长为a，试求薄板每侧所受的压力。

25．直径为6米的一球浸入水中，其球心在水平面下10米，求球面上所受压力。

22a2cos2

26．一半球（直径为20米）形的容器内盛满了水，试计算把水抽尽所作的功。

27．长10米的铁索下垂于矿井中，已知铁索每米重8公斤，问将此铁索由铁井全部提出地面，需作功多少？ 28．求椭圆

x2y2212ab在第一象限部分的重心坐标。

29．串联电路的端电压开始是120伏，每秒钟均匀降落0.01伏；同时，在电路中以每秒0.1欧姆的常速率产生电阻；此外，电路中尚有一不变电阻等于12欧姆。问在三分钟内有多少库仑电量流过电路？

30．有一长为a的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比，求此细棒的平均密度。

31．试求心形线ra1cos,02上各点极径的平均值

32．设y=f（x）是[a，b]上的单调连续曲线（图11—10）。试证在[a，b]上必存在一点ξ，使是图中两部分阴影面积相等。

33．证明曲线ysinx,x0,2的弧长等于长半轴为

2，短半轴为1的椭圆周长。

34．求由rasina0,n为自然数所围的平面图形面积。 35．设曲线xatsint, 的密度均匀，求：

（1）曲线到原点距离的平方平均值； （2）曲线的重心坐标。

36．一长为3厘米的细棒，棒上任一点x（棒置于坐标轴上，一端与原点重合）的密度求棒的平均密度。

37．高20厘米，顶上宽20厘米的半椭圆板直立于水中，上沿与水面平行，试计算它每面所受的压力。 38．为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3ms，在提升过程中，污泥以20Ns的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需作多少焦耳的功？ 说明：（1）牛顿，秒，1N1m1J;m,N,s,J分别表示米，焦耳，

（2）抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计。

x274ya1cost a0在间0t2上

，