数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第四章

一、填空题

1 x0xsinx 1．设f(x)k x0 ，若函数f(x)在定义域内连续，则

xsin11 x0xk ；

2．函数f(x) x0x1 的间断点是 ；

x0sinx 3．函数f(x)x的连续区间是 ； 4．函数f(x)1的连续区间是 ；

x22x3x295．函数f(x)的间断点是 ；

x(x3)6．函数f(x)x2的间断点是 ；

(x1)(x4)1的连续区间是 ；

(x1)(x2)7．函数f(x)exex x0 在x0点连续，则 k ；

8．设f(x)x x0k 1x0x1 0x1的间断点是 ； 9．函数f(x)x1 x3 1x310．函数f(x) x0axb ab0.则f(x)处处连续的充要条件是 2x0(ab)xx b ；

12x11．函数f(x)e x0，则limf(x) ，若f(x)无间断点，则a ；

x0 x0a 1x2 x1 ，当

12．如果f(x)1xa 时，函数f(x)连续

 x1a 二、选择填空

1．设f(x)和(x)在,内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则( )

A.f(x)必有间断点。 B.(x)2必有间断点

C.f(x)必有间断点 D.

(x)f(x)必有间断点 2．设函数f(x)xaebx，在,内连续，且xlimf(x)0，则常数a,b满足( A.a0,b0 B.a0,b0 C.a0,b0 D.a0,b0

13．设f(x)1ex1，当x0;f(x)1,当x0，则

1exA 有可去间断点。 B。有跳跃间断点。 C 有无穷间断点 D 连续 4．函数f(x)nlim1x1x2n

A 不存在间断点。 B 存在间断点x1 C存在间断点x0 D存在间断点x1

5．设f(x)1 x0xsin1 x00 x0;g(x)，则在点x0处有间断点的函数是 x1 x0A max{f(x),g(x)} B min{f(x),g(x)} C f(x)g(x) D f(x)g(x) 6．下述命题正确的是

A 设f(x)与g(x)均在x0处不连续，则f(x)g(x)在x0处必不连续。 B 设g(x)在x0处连续，f(x0)0，则xlimxf(x)g(x)=0。

0C 设在x0的去心左邻域内f(x)g(x)，且xlimxf(x)=a, lim0

xxg(x)=b,则必有ab

0D 设xlimxf(x)=a, limg(x)=b, ab，则必存在x0的去心左邻域，使f(x)g(x)。0xx0

三、计算题

1．指出函数的间断点及其类型：

)

（1）fxx1Sinx； （2）fx； xx（3）fxcosx； （4）fxSgnx； （5）fxSgncosx； （6）fxx, x为有理数-x, x为无理数

1x7, x7,（7）fxx, -7x1,

x-1sin1x-1, 1x 2．延拓下列函数，使在上连续：

（1）fxx381Cosxx2； （2）fxx2；3．举出定义在[0，1]上符合下述要求的函数：

（1）在

12, 13和14三点不连续的函数； （2）只在1112, 3和4三点连续的函数；

（3）只在1nn1,2上间断的函数；

（4）仅在x=0右连续，其它点均不连续的函数。4．求极限：

（1）limxtgx；

x4（2）limx12xx21x1。

x15．求下列极限：

（1）limexCosx5；

x01x2ln1x（2）(xlimxxxx)；

（3）

3）fxxCos1x （ 111111； limx0xxxxxx（4）limxxxx1nx；

11（5）lim12；

xnn（6）lim1Sinxx0ctgx.

四、证明题

1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：

1； （2）fxx x2．设f为连续函数，常数C0，证明函数

（1）fx若fxC,C, Fxfx, 若fxC, 连续

若fxC.C, 3．证明：设f为区间I上的单调函数，且x0I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点。

4．设函数f只有可去间断点，定义gxlimfy，证明g为连续函数。

yx5．设f为(,)上单调函数，定义g（x）=f（x+0），证明函数g在(,)上每点都右连续。

6．该f0g0，当x0时，fxgx，试证f与g这两个函数中至我有一个在x=0处连续。

7．设f，g在点x0连续，证明：

（1） 若fx0gx0，则存在x0的某个邻域Ux0,使fxgx,xUx0,： （2）若对xx0，有fx0gx0，则fx0gx0。 8．研究复合函数fg与gf的连续性。设

（1）fxSgnx,gx1x；

2（2）fxSgnx,gx1xx。

29．若f在a,上连续，且limfx存在，证明：f在a,上有界，试问f在a,上

x必有最大值与最小值吗？

10．若对任给0，f在a,b上连续，是否可推出f在（a，b）连续。

11．证明：若f在[a，b]上连续，且不存在任何x使得f（x）=0，则f在[a，b]上恒正或恒负。 12．证明：任一实系数奇次方程至少有一个根。 13．证明：（1）函数fxx在0,上一致连续。

（2）fxx2在[a，b]上一致连续，但在,上不一致连续。

14．若函数f（x）在区间I上满足李普希茨条件，即存在常数L，使得对I上任意的两点x与x，都有

fxfxLxx

证明：f在I上一致连续。

15．试用一致连续的定义证明，若函数f在[a，c]和[c，b]上都一致连续，则f在[a，b]上也一致连续

16．该函数f在0x2a是连续且f（0）=f（2a）。证明：在区间[0，a]上存在某个x，使f（x）=f（x+a）。

17．该f为[a，b]上的递增函数，其值域为[f（a），f（b）]，证明f在[a，b]上连续。 18．证明：若f在[a，b] 上连续，且

ax1x2xnb

则在x1,xn上必存在ξ，使得

ffx1fx2fxnn

19．设f（x）=Sinx，gxx, x0, 证明复合函数f（g（x））在x =0不连续。

x, x0.20．证明：若f（x）是以2π为周期的连续函数，则存在ξ，使ff。 21．证明：fxCosx在0,上一致连续。

y22．设limxnx0,limyny，证明：limxnnx。

xnyn23．证明

x（1） 若a0，x为任一实数，则a0。

xx（2）设x1，x2是任意两个实数，且x1x2，若0a1，则a1a2。

24．设a1，x为任意实数，证明

axinfarr为有理数.

rx五、考研复习题

1．设函数f在开区间（a，b）内连续，且f（a+0）与f（b-0）为有限值。证明f在（a，b）上有界。

2．证明：方程

a3a1a20

x1x2x3（其中a1,a2,a30，且123）在1,2与2,3内各有一个根。 3．若f在[a，b]上连续，acdb，且kfcfd，证明：

（1）存在一个a,b，使得k2f；

（2）存在一个a,b，使得mfcnfdmnf，其中m，n为正整数。 4．设函数f在[a，b]上连续，证明下述结论：

（1） 若对一切[a，b]上的有理数r，有f（x）=0，则在[a，b]上有fx0。 （2） 若对[a，b]上任意两个有理数r1,r2r1r2，有fr1fr2，则f为[a，b]上的严格递增函数。

5．证明：若f在[a，b]上连续，则函数mxminf和Mxminf在 [a，b]

axax上连续。

6．设f在[a，b]连续，且fa,ba,b，证明存在xa,b，使得f（x）=x。

7．证明：若函数f在（a，b）连续，f（a+0）与f（b-0）都为有限值，且存在一点a,b，使得fmaxfa0,fb0，则f在（a，b）内能取到最大值。

8．证明：若函数f在（a，b）连续，且fa0fb0，则f在（a，b）内能取到最小值。

9．设函数f在[a，b]上连续x1,x2,,xna,b，另有一组正数1,2,,n0，满足

12n1，证明：存在一点a,b，使得 f1fx12fx2nfxn。

10．已知函数f在0,上连续，且0fxx,x0,，设

a10,an1fan,n1,2,.

证明：

（1）an为收敛数列；

（2）设limant，则ftt；

x（3）若条件改为0fxx,x0,，则t=0。

11．证明：若函数f在[0，1]上连续，f0f1，则对任何自然数n，存在0,1，使得

1ff。

n12．设函数f在x=0连续，且对任何x,y,有 fxyfxfy，证明：

（1） f在,上连续； （2）fxf1x。

13．设函数f定义在,上，且在x=0，1两点连续，证明：若对任何x,有

fx2fx，则f为常量函数。

14．证明：若f(x)在[a,b]上连续，则函数

m(x)min|f()|

ax在[a,b]上连续。