数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

第十七章 多元函数微分学

一、 证明题

1. 证明函数

x2y,x2y2022f(x,y)xy0,x2y20 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.

2. 证明函数

122(xy)sin, x2y2022xyf(x,y)20, xy20

在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f在原点(0,0)可微.

3. 证明: 若二元函数f在点p(x0,y0)的某邻域U(p)内的偏导函数fx与fy有界,则f在U(p)内连续.

4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有

xy1xy≈x+y.

arctg

5. 试证:

(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;

(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.

y22fxy6.设Z=,其中f为可微函数,验证

Z1Z1Z2xx+yy=y.

ZZ7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f为可微函数,证明:x sec x + ysecy=1.

8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换

x=u cosθ-v sinθ, y=u sinθ+v cosθ

2ff之下.x+y是一个形式不变量,即若

2g(u,v)=f(u cosθ-v sinθ,u sinθ+v cosθ).

222fggfyuv则必有x+=+.(其中旋转角θ是常数)

2

9.设f(u)是可微函数,

F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),

试求:Fx(0,0)与Fg(0,0)

10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式

F(tx,ty,tZ)=tk(x,y,z)(t>0)

则称F(x,y,x)为K次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K次齐次函数的充要条件是:

xFxx,y,z+yFyx,y,z+ZFxx,y,z=KF(x,y,z).

xy2并证明:Z=xy22xy为二次齐次函数.

k11..设f(x,y,z)具有性质ftx,ty,tmZ=tnf(x,y,z)(t>0)

证明:

yZxnf1,k,m(1) f(x,y,z)=xx;

xkyfx,y,zmzfzx,y,z(2) xfx,y,z+y+=nf(x,y,z).

12.设由行列式表示的函数

a11t a12t  a1nt an1t an2t  annta21t a22t  a2ntD(t)=

其中

aijt(i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明

a11t a12t  a1nt ak1t ak2t  akntdDtdt=k1n an1t an2t  annt

13.证明:

(1) grad(u+c)=grad u(c为常数);

(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);

(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;

(4) grad f(u)=f(u)grad u.

14.设f(x,y)可微,L1与L2是R2上的一组线性无关向量,试证明;若fix,y0(i=1,2)则f(x,y)≡常数.

15.通过对F(x,y)=sin x cos y施用中值定理,证明对某 (0,1),有

3coscossinsin4=336636.

16.证明:函数

xb24a2t1u=2ate(a,b为常数)

2u2ua2满足热传导方程:t=x

17.证明:函数u=lnxa2yb222uu22yx(a,b为常数)满足拉普拉斯方程:+=0.

18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程:

2xy2uu22222x2+y=0.则函数V=f(xy,xy)也满足此方程.

19.设函数u=xy,证明:

2u2uuuxyyxx2. =

20.设fx,fy和fyx在点(x0,y0) 的某领域内存在,fyx在点(x0,y0)连续,证明fxy(x0,y0)也存在,且fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0),

21.设fx,fy在点(x0,y0)的某邻域内存在且在点(x0,y0)可微,则有

fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0)

二、计算题

1.求下列函数的偏导数:

1(1) Z=x2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=

x2y2;

y(4) Z=ln(x+y2); (5) Z=exy; (6) Z=arctgx;

yZxxyz; (7) Z=xyesin(xy); (8) u=

(9) u=(xy)z; (10) u=x.

yzx2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsiny; 求fx(x,1).

3. 设

1ysin,x2y2022xyf(x,y)0,x2y20

考察函数f在原点(0,0)的偏导数.

22xy4. 证明函数Z=在点(0,0)连续但偏导数不存在.

5. 考察函数

122xysin,xy022xyf(x,y)0,x2y20在点(0,0)处的可微性.

6. 求下列函数在给定点的全微分;

(1) Z=x4+y4-4x2y2在点(0,0),(1,1);

x(2) Z=

x2y2在点(1,0),(0,1).

7. 求下列函数的全微分;

(1) Z=ysin(x+y);

(2) u=xeyx+e-z+y

y1,1,8. 求曲面Z=arctgx在点4处的切平面方程和法线方程.

9. 求曲面3x2+y2-Z2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.

10. 在曲面Z=xy上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.

11. 计算近似值:

(1) 1.002×2.0032×3.0043;

(2) sin29°×tg46°.

12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm高h=40cm. 若R,r,h分别增加3mm,4mm,2mm.

求此园台体积变化的近似值.

13. 设二元函数f在区域D=[a,b]×[c,d]上连续

(1) 若在intD内有fx≡0,试问f在D上有何特性?

(2) 若在intD内有fx=fy≡0,f又怎样?

(3) 在(1)的讨论中,关于f在D上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?

x2y214. 求曲面Z=4与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ轴的交角.

15. 测得一物体的体积v=4.45cm3,其绝对误差限为0.01cm3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为

w0.018,求由公式d=v算出的比重d的相对误差限和绝对误差限.

16.求下列复合函数的偏导数或导数:

dZ(1) 设Z=arc tg(xy),y=ex,求x;

xyexy(2) 设Z=

22x2y2xyZZ,求x,y;

Z(3) 设Z=x2+xy+y2,x=t2,y=t,求dt;

uZZ(4) 设Z=x2lny,x=v,y=3u-2v,求u，v；

uu(5) 设u=f(x+y,xy),求x,y;

xyuuu,yZ,求x,y,Z. (6) 设u=f17.求函数u=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.

18.求函数u=xyz在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB上的方向导数.

z19.求函数u=x2+2y2+3z2+xy-4x+2y-4z在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3)处的梯度以及它们的模.

120.设函数u=lnr,其中r=

xa2y02zc2 求u的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式

gradu=1.

z2x2y2222b,求它在点(a,b,c)的梯度. 21设函数u=ca

222ryz22.设r=,试求:

1(1)grad r; (2)grad r.

23.设u=x3+y3+z3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u分加满足:(1)垂直于Z轴,(2)平行于Z轴(3)恒为零向量.

24.设f(x,y)可微,L是R2上的一个确定向量,倘若处处有fL(x,y)0,试问此函数f有何特征?

25.求下列函数的高阶偏导数:

(1) Z=x4+y4－4x2y2,所有二阶偏导数;

(2) Z=ex(cos y+x sin y),所有二阶偏导数;

3z3z22xyxy(3) Z=xln(xy),,;

pqzupqrxyzx+y+z(4) u=xyze,;

(5) Z=f(xy2,x2y),所有二阶偏导数;

(6) u=f(x2+y2+x2),所有二阶偏导数；

x(7)Z=f(x+y,xy,y),zx, zxx, Zxy.

26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:

(1) f(x,y)=sin(x2+y2)在点(0,0)(到二阶为止);

x(2) f(x,y)=y在点(1,1)(到三阶为止);

(3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);

(4) f(x,y)=2x2―xy―y2―6x―36+5在点(1,－2).

27.求下列函数的极值点:

(1) Z=3axy―x3―y3 (a>0);

(2) Z=x2+5y2―6x+10y+6;

(3) Z=e2x(x+y2+2y).

28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.

22x,yx2y24xy(1) Z=,+；

22xxyy(2) Z=,x,yxy1;

(3) Z=sinx+sing－sin(x+y),x,yx,yx0,xy2

29.在已知周长为2P的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.

30.在xy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y－16=0的距离平方和最小.

31.已知平面上n个点的坐标分别是

A1x1,y1,A2x2,y2,…Anxn,yn.

试求一点,使它与这n个点距离的平方和最小.

1 1 1 x y z32.设 u=

x2 y2 z2

求(1)ux+uy+uz; (2)xux+yux+zuz; (3)uxx+uyy+uzz.

33.设f(x,y,z)=Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、

三、考研复习题

1. 设f(x,y,z)=x2y+y2z+z2x,证明

fx+fy+fz=(x+y+z)2.

2. 求函数

x3y322,xy022f(x,y)xy0,x2y20在原点的偏导数fx(0,0)与fy(0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.

1 1  1x1 x2  xn2ux1 x2 x22 n3. 设

n111x1 xn xn2 n

证明: (1)

u0;xk1kn (2)

xkk1nun(n1)uxk2.

4. 设函数f(x,y)具有连续的n阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n阶导数

dng(t)hkf(aht,bkt)ndtyx.

n5. 设

2(x,y,z)dz ex fy求2xgy hz kxax by cz.

f1(x) f2(x) f3(x)Φ(x,y,z)g1(y) g2(y) g3(y)6. 设

3Φh1(z) h2(z) h3(z)求xyz.

7. 设函数u=f(x,y)在R2上有uxy=0,试求u关于x,y的函数式.

2π8. 设f在点p0(x0,y0)可微,且在p0给定了n个向量Li(i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n，证明

fi1nLi(p0)0.

9. 设f(x,y)为n次齐次函数,证明

xyfn(n1)(nm1)fxy.

my10. 对于函数f(x,y)=sinx,试证

xyxyf=0.

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