数学分析教案

数学分析教案

【篇一：《数学分析》教案】

《数学分析》教案

s f 01 ( 数 )

c h0 数学分析课程简介

c h 1 实数集与函数

计划课时： ch 0 2时

ch 1 6时

p 1—8

说 明：

1． 这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案. 该课程开设两学期, 总课时为1 8 0 学时, 是少课时型教案（后来又开设了一学期 ，增加了8 0 学时 ）. 按照学分制的要求, 只介绍数学分析最基本的内容. 本教案共2 7 9页 ，分2 1章 .

2. 取材的教材:

[1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东， 数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991；

[3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社，1999；

[4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999；

ch 0数学分析课程简介 ( 2 时 )

一. 数学分析(mathematical analysis)简介:

1. 背景: 从切线、面积、计算sin32?、实数定义等问题引入.

2. 极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算：

3. 数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值

函数. 主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.

微积运算是高等数学的基本运算.

数学分析与微积分(calculus)的区别..

二． 数学分析的形成过程：

1． 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, archimedes

就有了积分思想.

2. 十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期:

3． 十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期: 参阅《数学分

析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲p72.

4. 十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期：参阅

《数学分析选讲》讲稿第三讲p72—75.

三. 数学分析课的特点:

逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的8000), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般

是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项

任务.

有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听

为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.

四. 课堂讲授方法:

1. 关于教材: 没有严格意义上的教科书. 这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:

[1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东， 数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991；

[3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社，1999；[4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999；[5] w. rudin, principles of mathematical analysis, 19.

本课程基本按[1]的逻辑顺序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材. 在讲授中, 有时会指出所

讲内容的出处. 本课程为适应课时少和学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容. 因此删去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章， 相应的内容作为选修课将在学完数学分析课之后开设.

2. 内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.

3. 讲解的重点: 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论. 定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧. 某些精细概念之间的本质差别. 在第一、二章教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般不会做特别具体的证明叙述.

五. 要求、辅导及考试：

1. 学习方法: 尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色. 课堂上以听为主, 但要做课堂笔记. 课后一定要认真复习消化, 补充笔记. 一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1 : 3 ( 国外这个比例通常是 1 : 4 . 参《西北师大报》№191，2000.9.30.第二版: 本科节段如何培养高素质创新人材 —— 伯利克大学的启示.注: 伯利克大学乃美国加州大学伯利克分校.)

对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富:

要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对未来的教学工作是很有用的.

2. 作业: 作业以[1]的练习题中划线以上的部分习题和[4]中的计算题为主要内容. 大体上每两周收一次作业, 一次收清. 每次重点检查作业总数的三分之一. 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.

作业要按数学排版格式书写恭整.

要求活页作业, 最好用西北师大稿纸. 要有作业封面, 尺寸为19.5?27.5cm.

作业布置方式: [1]p…, [4]p…

3. 辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.

4. 考试: 按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]和[4]中的典型例题.

考试题为标准化试题.

ch 1 实数集与函数 ( 6时 )

1实数集与确界 （3时）

一． 实数集r：回顾中学中关于实数集的定义.

1. 四则运算封闭性:

2. 三歧性( 即有序性 ):

3. rrchimedes性: ?a,b?r, b?a?0,?n?n,?na?b.

4. 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.

5. 实数集的几何表示 ─── 数轴:

6. 两实数相等的充要条件: a?b, ? ???0, a?b ? ?.

7. 区间和邻域:

二. 几个重要不等式:

1. 绝对值不等式: 定义 a ?max??a , a ?.[1]p2 的六个不等式.

2. 其他不等式:

⑴ a2?b2?2ab,sinx ? 1.sinx ? x .

⑵ 均值不等式: 对?aa?

1,a2,?,n?r, 记

m(aa1?a2???an

n

i)? n? 1

n?ai, (算术平均值)

i?1

1

n

g(ai)?a?

1a2?an??n???ai??, (几何平均值)

i?1?

h(ai)?n1?1

n?nn

a?1???111?1. (调和平均值)

1a2ann?i?1aii?1ai

有平均值不等式:

h(ai) ? g(ai) ? m(ai), 等号当且仅当a1?a2???an时成立.

⑶ bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)

x??1, 有不等式 (1?x)n?1?nx, n?n.

当x??1 且 x?0, n?n且n?2时, 有严格不等式 (1?x)n?1?nx.

(现采用《数学教学研究》1991. № 1马德尧文 “均值不等式妙用两则”中的证明)证 由 1?x?0且1?x?0, ? (1?x)n?n?1?(1?x)n?1?1???1? ?n (1?x)n?n (1?x). ? (1?x)n?1?nx.

⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对?h?0, 由二项展开式(1?h)n?1?nh?n(n?1)

2!h?2n(n?1)(n?2)

3!h???h, 3n

有 (1?h)n?上式右端任何一项.

三. 有界数集与确界原理:

1. 有界数集:定义(上、下有界, 有界)， 闭区间、(a,b) (a,b为有限数）、邻域

等都是有界数集，

集合 e??yy?sinx, x? ( ?? , ?? )?也是有界数集.

无界数集: 定义, ( ?? , ?? ) ,( ?? , 0 ) ,( 0 , ?? )等都是无界数集,

1?,x?( 0 , 1 )?也是无界数集. x?集合 e??y y?

2. 确界: 给出直观和刻画两种定义.

n?(?1 ) 例1 ⑴s??1?n???, 则sups?______, infs?_______.

⑵ e??y y?sinx, x?(0,?)?. 则

supe?________,infe?_________.

例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.

例3 设s和a是非空数集，且有s?a. 则有 sups?supa,infs?infa.. 例4 设a和b是非空数集. 若对?x?a和?y?b,都有x?y, 则有 supa?infb.

【篇二：数学分析教案 (华东师大版)第一章实数集与函数】

第一章 实数集与函数

导言 数学分析课程简介 ( 2 学时 )

一、数学分析(mathematical analysis)简介:

1.背景: 从切线、面积、计算sin32?、实数定义等问题引入.

2.极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算：

3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值

函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运

算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.

微积运算是高等数学的基本运算.

数学分析与微积分(calculus)的区别.

二、数学分析的形成过程：

1.孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪,

archimedes就有了积分思想.

2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累

时期.

3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶 —— 微积分的创建时期.

4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时

期：

三、数学分析课的特点:

逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章

(或前四章的

), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.

有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.

四、课堂讲授方法:

1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:

[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；

[2]刘玉琏 傅沛仁 编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；

[3]谢惠民，恽自求 等 数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；

[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社，1999；

[5]林源渠，方企勤 数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.

2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带

星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设.

3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.

4.讲解的重点: 概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧. 某些精细概念之间的本质差别.

五.要求、辅导及考试：

1.学习方法:尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色. 课堂上以听为主, 但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化, 补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为

: 3。

对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对未来的教学工作是很有用的.

2.作业: 作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容. 大体上每周收一次作业, 一次收

清. 每次重点检查作业总数的三分之一. 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写工整.

3. 辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.

4. 考试: 按教学大纲的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]中的典型例题. 考试题为标准化试题， 理论证明题逐渐增多.

第一章 实数集与函数

教学目的：

1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。

教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。

教学时数：10学时

1 实数（2学时）

教学目的：使学生掌握实数的基本性质．

教学重点：

1. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；

2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）

教学难点：实数集的概念及其应用．

教学方法：讲授．（部分内容自学）

一．复习引新：

1.实数集

：回顾中学中关于实数集的定义.

2.四则运算封闭性:

3.三歧性( 即有序性 ):

4.rrchimedes性:

5.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.

6.实数集的几何表示 ─── 数轴:

7.两实数相等的充要条件:

8.区间和邻域:

二. 讲授新课：

（一）. 几个重要不等式:

1. 绝对值不等式: 定义

[1]p3 的六个不等式.

2. 其他不等式:

⑴

记

⑵ 均值不等式: 对

(算术平均值)

(几何平均值)

(调和平均值)

【篇三：数学分析教案】

s f 01 ( 数 )

c h 0 数学分析课程简介

c h 1 实数集与函数

计划课时： ch 0 2时

ch 1 6时

p 1—8

2001．08．25.

说 明：

1． 这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案. 该课程开设两学期, 总课时为1 8 0 学时, 是少课时型教案（后来又开设了一学期 ，增加了8 0 学时 ）. 按照学分制的要求, 只介绍数学分析最基本的内容.

本教案共2 7 9页 ，分2 1章 .

2. 取材的教材:

[1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东， 数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991；

[3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社，1999；

[4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999；

[5] w. rudin, principles of mathematical analysis, 19.

ch 0数学分析课程简介 ( 2 时 )

一. 数学分析(mathematical analysis)简介: 1. 背景: 从切线、面积、计算sin32、实数定义等问题引入.

2. 极限 ( limit ) —— 变量数学的基本运算：

3. 数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值

函数. 主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.

微积运算是高等数学的基本运算.

数学分析与微积分(calculus)的区别..

二． 数学分析的形成过程：

1． 孕育于古希腊时期： 在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, archimedes

就有了积分思想.

2. 十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期:

3． 十七世纪下半叶到十九时纪上半叶 —— 微积分的创建时期: 参阅《数学分

析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲p72.

4. 十九时纪上半叶到二十时纪上半叶 —— 分析学理论的完善和重建时期：参阅

《数学分析选讲》讲稿第三讲p72—75.

三. 数学分析课的特点:

逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的80), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.

有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听

为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.

四. 课堂讲授方法:

1. 关于教材: 没有严格意义上的教科书. 这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:

[1] 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；

[2] 郑英元，毛羽辉，宋国东， 数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991；

[3] 马振民，数学分析的方法与技巧选讲， 兰州大学出版社，1999；

[4] 马振民，吕克璞，微积分习题类型分析, 兰州大学出版社，1999；

[5] w. rudin, principles of mathematical analysis, 19.

本课程基本按[1]的逻辑顺序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材. 在讲授中, 有时会指出所讲内容的出处. 本课程为适应课时少和学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容. 因此删去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章， 相应的内容作为选修课将在学完数学分析课之后开设.

2. 内容多, 课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内

容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.

3. 讲解的重点: 概念的意义与理解, 几何直观, 理论的体系, 定理的意义、条件、结论. 定理证明的分析与思路, 具有代表性的证明方法, 解题的方法与技巧. 某些精细概念之间的本质差别. 在第一、二章教学中, 可能会写出某些定理证明, 以后一般不会做特别具体的证明叙述.

五. 要求、辅导及考试：

1. 学习方法: 尽快适应大学的学习方法, 尽快进入角色. 课堂上以听为主, 但要做课堂笔记. 课后一定要认真复习消化, 补充笔记. 一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1 : 3 ( 国外这个比例通常是 1 : 4 . 参《西北师大报》№191，2000.9.30.第二版: 本科节段如何培养高素质创新人材 —— 伯利克大学的启示.注: 伯利克大学乃美国加州大学伯利克分校.)

对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说, 课堂听讲的内容应该更为丰富: 要认真评价教师的课堂教学, 把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验. 这对未来的教学工作是很有用的.

2. 作业: 作业以[1]的练习题中划线以上的部分习题和[4]中的计算题为主要内容. 大体上每两周收一次作业, 一次收清. 每次重点检查作业总数的三分之一. 作业的收交和完成情况有一个较详细的登记, 缺交作业将直接影响学期总评成绩.

作业要按数学排版格式书写恭整.

要求活页作业, 最好用西北师大稿纸. 要有作业封面, 尺寸为19.5?27.5cm.

作业布置方式: [1]p…, [4]p…

3. 辅导: 大体每周一次, 第一学期要求辅导时不缺席.

4. 考试: 按学分制的要求, 只以最基本的内容进行考试, 大体上考课堂教学和所布置作业的内容, 包括[1]和[4]中的典型例题.

考试题为标准化试题.

ch 1 实数集与函数 ( 6时 )

1实数集与确界 （3时）

一． 实数集r：回顾中学中关于实数集的定义.

1. 四则运算封闭性:

2. 三歧性( 即有序性 ):

3. rrchimedes性: ?a,b?r, b?a?0,?n?n,?na?b.

4. 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.

5. 实数集的几何表示 ─── 数轴:

6. 两实数相等的充要条件: a?b, ? ???0, a?b ? ?.

7. 区间和邻域:

二. 几个重要不等式:

1. 绝对值不等式: 定义 a ?max??a , a ?.[1]p2 的六个不等式.

2. 其他不等式:

⑴ a2?b2?2,sinx ? 1.sinx ? x .

⑵ 均值不等式: 对?a1,a2,?,an?r?, 记

m(aa1?a2???an1n

i)? n? n?ai, (算术平均值)

i?1

1

n

g(a?n

i)?a1a2?an?????a?

i??, (几何平均值)

i?1?

h(an

i)?111?1

1?n. (调和平均值)

a????

1a2ann?n1

i?1a?n1

ii?1ai

有平均值不等式:

h(ai) ? g(ai) ? m(ai), 等号当且仅当a1?a2???an时成立. ⑶ bernoulli 不等式: (已用数学归纳法证明过)

x??1, 有不等式 (1?x)n?1?nx, n?n.

当x??1 且 x?0, n?n且n?2时, 有严格不等式 (1?x)n?1?nx.

在中学

⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对?h?0, 由二项展开式(1?h)?1?nh?nn(n?1)2n(n?1)(n?2)3h?h???hn, 2!3!

有 (1?h)n?上式右端任何一项.

三. 有界数集与确界原理:

1. 有界数集:定义(上、下有界, 有界)， 闭区间、(a,b) (a,b为有限数）、邻域

等都是有界数集，

集合 e?yy?sinx, x? ( ?? , ?? )也是有界数集.

无界数集: 定义, ( ?? , ?? ) ,( ?? , 0 ) ,( 0 , ?? )等都是无界数集,集合 e??y y????

1?,x?( 0 , 1 )?也是无界数集. x?

2. 确界: 给出直观和刻画两种定义.

(?1 )n? infs?_______. 例1 ⑴s??1??, 则sups?______,n??

⑵ e?y y?sinx, x?(0,?). 则 ??

supe?________,infe?_________.

例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.

例3 设s和a是非空数集，且有s?a. 则有 sups?supa,infs?infa.. 例4 设a和b是非空数集. 若对?x?a和?y?b,都有x?y, 则有

supa?infb.