2020年天津卷数学高考真题

2020年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 参考公式：

·如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)． ·如果事件A与事件B相互，那么P(AB)P(A)P(B)． ·球的表面积公式S4πR2，其中R表示球的半径．

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集U{3,2,1,0,1,2,3}，集合A{1,0,1,2},B{3,0,2,3}，则A∩UB A．{3,3}

B．{0,2}

C．{1,1}

D．{3,2,1,1,3}

2．设aR，则“a1”是“a2a”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数y4x的图象大致为 x21

A B

C D

4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：

[5.31,5.33),[5.33,5.35),,

[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在

区间[5.43,5.47)内的个数为

A．10

B．18

C．20

D．36

5．若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

A．12π

B．24π

C．36π

D．144π

16．设a30.7,b()0.8,clog0.70.8，则a,b,c的大小关系为

3A．abc

B．bac

C．bca

D．cab

x2y27．设双曲线C的方程为221(a0,b0)，过抛物线y24x的焦点和点(0,b)的直线为

abl．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为

x2y2y2x221 B．x1 C．y21 D．x2y21 A．4444π8．已知函数f(x)sin(x)．给出下列结论：

3①f(x)的最小正周期为2π；

π②f()是f(x)的最大值；

2③把函数ysinx的图象上所有点向左平移其中所有正确结论的序号是 A．①

B．①③

C．②③

D．①②③

π个单位长度，可得到函数yf(x)的图象． 3x3,x0,9．已知函数f(x)若函数g(x)f(x)kx22x(kR)恰有4个零点，则k的取值

x,x0.范围是

1A．(,)(22,)

2C．(,0)(0,22)

1B．(,)(0,22)

2D．(,0)(22,) 第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．i是虚数单位，复数

8i_________． 2i

11．在(x252x的展开式中，的系数是_________． )2x12．已知直线x3y80和圆x2y2r2(r0)相交于A,B两点．若|AB|6，则r的值为

_________．

1113．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、

23乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

14．已知a0,b0，且ab1，则

118的最小值为_________． 2a2bab3ADAB，则

215．如图，在四边形ABCD中，B60,AB3，BC6，且ADBC,实数的值为_________，若M,N是线段BC上的动点，且|MN|1，则DMDN的最小值为_________．

三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a22,b5,c13． （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求sinA的值；

π（Ⅲ）求sin(2A)的值．

417．（本小题满分15分）

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC,ACBC,ACBC2，CC13，点

D,E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD1,CE2,M为棱A1B1的中点．

（Ⅰ）求证：C1MB1D；

（Ⅱ）求二面角BB1ED的正弦值；

（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）

x2y2已知椭圆221(ab0)的一个顶点为A(0,3)，右焦点为F，且|OA||OF|，其中Oab为原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知点C满足3OCOF，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程． 19．（本小题满分15分）

已知an为等差数列，bn为等比数列，a1b11,a55a4a3,b54b4b3． （Ⅰ）求an和bn的通项公式；

2*（Ⅱ）记an的前n项和为Sn，求证：SnSn2Sn； 1nN3an2bn,n为奇数,aann2（Ⅲ）对任意的正整数n，设cn求数列cn的前2n项和．

an1,n为偶数.bn120．（本小题满分16分）

已知函数f(x)x3klnx(kR)，f(x)为f(x)的导函数． （Ⅰ）当k6时，

（i）求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （ii）求函数g(x)f(x)f(x)9的单调区间和极值； x（Ⅱ）当k3时，求证：对任意的x1,x2[1,)，且x1x2，有

fx1fx2fx1fx2． 2x1x2