六安市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为线段A1B上的动点，则下列结论正确的有（ ①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值
②DC1⊥D1M
③∠AMD1的最大值为90° ④AM+MD1的最小值为2．
）
A．①②B．①②③C．③④D．②③④
，
），使f（sinφ）=f（cosφ），则实
2． 函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），若存在φ∈（数m的取值范围是（ A．（
）
]
C．（
）
D．（
）B．（，]
3． 半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ A．
πR3
B．
πR3
C．
πR3
D．
πR3
）
4． 为了得到函数y=A．向右平移
sin3x的图象，可以将函数y=
个单位
sin（3x+）的图象（ ）
个单位B．向右平移
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
5． 将n2个正整数1、2、3、…、n2（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a、b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（ A．
B．
）
C．2
）
D．3
6． 在△ABC中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（ A．13
B．
C．
D．21
第 1 页，共 16 页
1，则|MN|（ ）2A．10 B．180 C．63 D．65xy20y8． 已知变量x,y满足约束条件x1，则的取值范围是（ ）
xxy707． 过点M(2,a)，N(a,4)的直线的斜率为A．[,6] B．(,][6,)
9595C．(,3][6,) D．[3,6]）
9． 对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ A．（﹣∞，﹣2）A．有最大值
B．D．上是减函数，那么b+c（
C．有最小值
）
B．有最大值﹣D．有最小值﹣
10．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（ A．24
B．18
C．48
D．36=2
，
=2
，
=2
，则
）种.
【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力．11．E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，设D、且与
（
）
B．同向平行
D．既不平行也不垂直
）
C．10
D．9
A．互相垂直C．反向平行A．3813．
17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．14．在（x2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．15．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ． 16．设函数
，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为 ．17．若复数zsinB．20
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于（
二、填空题
34(cos)i是纯虚数，则tan的值为 55.第 2 页，共 16 页
【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．18．已知f（x）=
，则f（﹣）+f（）等于 ．三、解答题
19．已知函数f（x）=
（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若函数f（x）的极大值为
，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．
20．已知数列{an}满足a1=，an+1=an+（Ⅰ）证明：bn∈（0，1）（Ⅱ）证明：
=
，数列{bn}满足bn=
（Ⅲ）证明：对任意正整数n有an
．
21．（本小题满分10分）已知函数f（x）＝|x－a|＋|x＋b|，（a≥0，b≥0）．（1）求f（x）的最小值，并求取最小值时x的范围；
第 3 页，共 16 页
（2）若f（x）的最小值为2，求证：f（x）≥a＋b.22．已知f（α）=（1）化简f（α）；
（2）若f（α）=﹣2，求sinαcosα+cos2α的值．
，
23．如图，在四边形ABCD中,ADDC,ADABC,AD3,CD2,AB22,DAB45, 四边形绕着直线AD旋转一周.
（1）求所成的封闭几何体的表面积；（2）求所成的封闭几何体的体积.
第 4 页，共 16 页
24．已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．
第 5 页，共 16 页
六安市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V=
=为定值，故①正确．
②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确．③当0＜A1P＜
时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；
④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1=2，故④不正确．因此只有①②正确．故选：A．
=
＜
2． 【答案】A
【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），∴函数f（x）关于x=m对称，若φ∈（
，
），
则sinφ＞cosφ，
则由f（sinφ）=f（cosφ），则即m=当φ∈（则＜
，
=m，
=
（sinφ×
∈（，
+，
cosαφ）=），
sin（φ+
）
），则φ+
）＜
sin（φ+
，
则＜m＜
第 6 页，共 16 页
故选：A
【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．
3． 【答案】A
【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=故选A
4． 【答案】A
，所以V=
【解析】解：由于函数y=即可得到y=故选：A．
sin[3（x+
﹣
sin（3x+）]=
）=sin[3（x+）]的图象向右平移个单位，
sin3x的图象，
【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．
5． 【答案】B
【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，故这些可能的“特征值”的最大值为．故选：B．
【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．
6． 【答案】B
【解析】解：∵a=1，b=4，C=60°，∴由余弦定理可得：c=故选：B．
7． 【答案】D
=
=
．
第 7 页，共 16 页
【解析】
考点：1.斜率；2.两点间距离.8． 【答案】A【解析】
试题分析：作出可行域，如图ABC内部（含边界），
y59表示点(x,y)与原点连线的斜率，易得A(,)，x22B(1,6)，kOA969y92，kOB6，所以6．故选A．5515x2考点：简单的线性规划的非线性应用．9． 【答案】B
【解析】解：由f（x）在上是减函数，知
第 8 页，共 16 页
f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈，则
⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣故选B．
10．【答案】A
211【解析】分类讨论，有2种情形.孪生姐妹乘坐甲车，则有C3C2C212种. 孪生姐妹不乘坐甲车，则有111C3C2C212种. 共有24种. 选A.
．
11．【答案】D
【解析】解：如图所示，△ABC中，
=2
，
=2
，
=2
，
根据定比分点的向量式，得==
+
=，
+ =
，+
，
以上三式相加，得+所以，
+
=﹣
，与
反向共线．
【点评】本题考查了平面向量的共线定理与定比分点的应用问题，是基础题目．
12．【答案】C
【解析】解：根据等差数列的性质可得：am﹣1+am+1=2am，则am﹣1+am+1﹣am2=am（2﹣am）=0，解得：am=0或am=2，
第 9 页，共 16 页
若am等于0，显然S2m﹣1=
=（2m﹣1）am=38不成立，故有am=2，∴S2m﹣1=（2m﹣1）am=4m﹣2=38，解得m=10．故选C
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：∵f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1），∴
=ax，
又∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴（∴∴a＞1，∵
+
=．
）′==ax是增函数，
＞0，
∴a1+a﹣1=，解得a=或a=2．综上得a=2．∴数列{∵数列{
}为{2n}．
}的前n项和大于62，
=2n+1﹣2＞62，
∴2+22+23+…+2n=即2n+1＞=26，∴n+1＞6，解得n＞5．∴n的最小值为6．故答案为：6．
【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，巧妙地把指数函数、导数、数列融合在一起，是一道好题．
第 10 页，共 16 页
14．【答案】 84 ．
【解析】解：（x2﹣）9的二项展开式的通项公式为 Tr+1=令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7=故答案为：84．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
15．【答案】 ．
【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列∴2b=a+c
∴4b2=a2+2ac+c2①∵b2=a2﹣c2②
①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0∵
∴5e2+2e﹣3=0∵0＜e＜1∴故答案为：
【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题
16．【答案】 {0，1} ．
【解析】解：=[=[﹣∵0＜
﹣]+[
]+[＜1，
＜，＜＜时，
+＜，
+]+]，
=
=84，
•（﹣1）r•x18﹣3r，
∴﹣＜﹣①当0＜
第 11 页，共 16 页
0＜﹣故y=0；②当﹣故y=1；③＜﹣＜﹣
＜，＜+＜1，
=时，=0，
+=1，
＜1时，
＜0，1＜
+＜，
故y=﹣1+1=0；故函数
故答案为：{0，1}．
【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．
17．【答案】的值域为{0，1}．
34【解析】由题意知sin18．【答案】 4 ．
34430，且cos0，所以cos，则tan.5554【解析】解：由分段函数可知f（）=2×=．f（﹣）=f（﹣+1）=f（﹣）=f（﹣∴f（）+f（﹣）=+故答案为：4．
．
）=f（）=2×=，
三、解答题
19．【答案】 【解析】解：f′（x）=令g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c
第 12 页，共 16 页
函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零点即：﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3则
解得：b=c=﹣a，
令f′（x）＞0得0＜x＜3
所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3），（2）由（1）得：
函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减，∴∴a=2，∴
；
，
，
∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．
20．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）由bn=∴
，且an+1=an+
，得
，
，下面用数学归纳法证明：0＜bn＜1．
①由a1=∈（0，1），知0＜b1＜1，②假设0＜bk＜1，则∵0＜bk＜1，∴
，
，则0＜bk+1＜1．
综上，当n∈N*时，bn∈（0，1）；（Ⅱ）由∴
，可得，
=
，=
．
故；
第 13 页，共 16 页
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：
，
故由
．
知，当n≥2时，
=．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题，训练了放缩法证明数列不等式，对递推式的循环运用是证明该题的关键，考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力，是压轴题．
21．【答案】
【解析】解：（1）由|x－a|＋|x＋b|≥|（x－a）－（x＋b）|＝|a＋b|得，
当且仅当（x－a）（x＋b）≤0，即－b≤x≤a时，f（x）取得最小值，∴当x∈[－b，a]时，f（x）min＝|a＋b|＝a＋b. （2）证明：由（1）知a＋b＝2，
（a＋b）2＝a＋b＋2ab≤2（a＋b）＝4，∴a＋b≤2，
∴f（x）≥a＋b＝2≥a＋b，即f（x）≥a＋b.22．【答案】
【解析】解：（1）f（α）=
=
=﹣tanα；…5（分）（2）∵f（α）=﹣2，
第 14 页，共 16 页
∴tanα=2，…6（分）∴sinαcosα+cos2α====
23．【答案】（1）842【解析】
．…10（分）
．；（2）203考
点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积.24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=∴由2k
≤+
≤2kπ
sincos+cos2=sin（+，k∈Z可解得：4kπ﹣
，4kπ
）
，，k∈Z，
≤x≤4kπ]，k∈Z．
∴函数f（x）单调递增区间是：[4kπ﹣（Ⅱ）∵f（A）=sin（+
）
，
第 15 页，共 16 页
∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB，∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，∴cosB=，又0＜B＜π，∴B=
．
，，）＜1，
∴可得0＜A＜∴∴
＜+
＜
sin（+
故函数f（A）的取值范围是（1，）．
【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．
第 16 页，共 16 页
