高中数学选修2-2第一章教案

主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 变化率问题 教学内容 教材第2,3,4页的内容。 教 学 目 标 知识与能力： 理解平均变化率的概念； 过程与方法： 了解平均变化率的几何意义； 情感态度与价值观： 会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点 平均变化率的概念． 突破方法 通过情境演示的活动，掌握连加、连减算式的计算顺序和理解连加、连减算式的含义。 教 学 过 程 1

一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?  气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关h 43系是V(r)r 3 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)33V 4分析: r(V)33V， 4ot ⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1)r(0)0.62(dm) 气球的平均膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm/L) 10⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)0.16(dm) 气球的平均膨胀率为r(2)r(1)0.16(dm/L) 21可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? r(V2)r(V1) V2V1问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算：0t0.5和1t2的平均速度v h(0.5)h(0)4.05(m/s)； 0.50h(2)h(1)8.2(m/s) 在1t2这段时间里，v2165探究：计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49在0t0.5这段时间里，v⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(65)h(0)， 4965)h(0)所以v490(s/m)， 6504965虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员49h(仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 的平均变化率 2．若设xx2x1, ff(x2)f(x1) (这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样fyf(x2)f(x1)) f(x2)f(x1)表示,x2x1 称为函数f(x)从x1到x22

3． 则平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf xxx2x1x思考：观察函数f(x)的图象 平均变化率ff(x2)f(x1)表示什么? xx2x1三．典例分析 例1．已知函数f(x)=xx的图象上的一点A(1,2)及临近一点2B(1x,2y),则y ． x例2求yx2在xx0附近的平均变化率。 四．课堂练习 1．质点运动规律为·st3，则在时间(3,3t)中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 五．回顾总结 1．平均变化率的概念 2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业 2板 书 设 计 课 后 小 记

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主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016 年 月 日 课 题 导数的概念 教学内容 教材第5,6,7页. 教 学 目 标 知识与能力： 了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 过程与方法： 理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 情感态度与价值观： 会求函数在某点的导数 教学重点 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点 导数的概念． 突破方法 小组合作交流，共同探究。 教 学 过 程 4

一．创设情景 （一）平均变化率 （二）探究：计算运动员在0t65这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(65)h(0)， 4965)h(0)所以v490(s/m)， 6504965虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m)，49h(h 但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． ot 二．新课讲授 1．瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况： 思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？ 结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2 时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1． 从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s 为了表述方便，我们用limh(2t)h(2)13.1 t0t表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1” 小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。2 导数的概念 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: x0limf(x0x)f(x0)flim x0xx我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数，记作f'(x0)或y'|xx，即 0f(x0)limx0f(x0x)f(x0) x说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 （2）xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)lim三．典例分析 2例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数. （2）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为x0f(x)f(x0) xx02f(x)x27x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6) 根据导数定义，f(2x)f(x0)f xx(2x)27(2x)15(227215)x3 x所以f(2)limflim(x3)3 x0xx0同理可得:f(6)5 在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原5

油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升． 注：一般地，f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况． 四．课堂练习 21．质点运动规律为st3，求质点在t3的瞬时速度为． 2．求曲线y=f(x)=x3在x1时的导数． 3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 五．回顾总结 1．瞬时速度、瞬时变化率的概念 2．导数的概念 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记

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主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 导数的几何意义 教学内容 教材第7，8，9，10页内容 教 学 目 标 知识与能力： 1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 过程与方法： 2．理解曲线的切线的概念； 情感态度和价值观： 3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意题； 教学重点 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点 导数的几何意义 突破方法 通过学生自主探究活动，帮助学生理解和掌握加减混合的计算顺序，会计算加减混合式题。 教 学 过 程 7

一．创设情景 （一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f(x0)的几何意义是什么呢？ 二．新课讲授 （一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当P,2,3,4)沿着曲n(xn,f(xn))(n1线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？ 我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？ ⑵切线PT的斜率k为多少？ 容易知道，割线PPn的斜率是kn f(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点Pxnx0x0时，kn无限趋近于切线PT的斜率k，即klimf(x0x)f(x0)f(x0) x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数. （2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义： 函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率， 即 f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)lim点(x0,f(x0))的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程. （二）导函数： 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0) 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y， 即: f(x)ylimx0f(x0x)f(x0)k ，得到曲线在xx0f(xx)f(x) x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数． （三）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。 三．典例分析 2例1:（1）求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程. 2（2）求函数y=3x在点(1,3)处的导数. [(1x)21](121)2xx2lim2, 解：（1）y|x1limx0x0xx所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22(x1)即2xy0 8

3x23123(x212)limlim3(x1)6 （2）因为y|x1limx1x1x1x1x1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36(x1)即6xy30 （2）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 2y(1x)2(1x)23x 解：xxy(1x)2(1x)2lim(3x)3 f(1)limx0xx0x例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(x)4.9x26.5x10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况． 解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当tt0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降． （2） 当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0，所以，在tt1附近曲线下降，即函数h(x)4.9x6.5x10在tt1附近单调递减． （3） 当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0，所以，在tt2附近曲线下降，即函数h(x)4.9x6.5x10在tt2附近单调递减． 从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢． 例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位：mg/mL)随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）． 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率． 如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此9

22时刻药物浓度瞬时变化率的近似值． 作t0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜为： k0.480.911.4 所以 f(0.8)1.4 1.00.7下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： 四．课堂练习 1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线； 2．求曲线yx在点(4,2)处的切线． 五．回顾总结 1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记

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主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间：2016 年 月 日 课 题 教学内容 几个常用函数的导数 教材第14,15页的内容 知识与能力： 教 学 目 标 教学重点 教学难点 突破方法 使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、yx2、 y1的导数公式； x过程与方法： 掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 情感态度与价值观： 掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 1的导数公式及应用 x12四种常见函数yc、yx、yx、y的导数公式 x四种常见函数yc、yx、yx2、y通过学生自主探究活动，帮助学生理解和掌握加减混合的计算顺序，会计算加减混合式题。 教 学 过 程 一．创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授 1．函数yf(x)c的导数 根据导数定义，因为所以ylimyf(xx)f(x)cc0 xxxy lim00y0表示函数yc图像（图3.2-1）上每一点处的x0xx0切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数yf(x)x的导数因为所以ylimyf(xx)f(x)xxx1 xxxylim11y1表示函数yx图像（图3.2-2）上每一点处的x0xx0切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体 11

做瞬时速度为1的匀速运动 3．函数yf(x)x2的导数因为 yf(xx)f(x)(xx)2x2x22xx(x)2x22xx xxxx所以ylimylim(2xx)2x x0xx0y2x表示函数yx2图像（图3.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．若yx2表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x． 4．函数yf(x)1的导数 x111yf(xx)f(x)xxxx(xx)2因为 x(xx)xxxxxxx所以ylimy11lim(2)2 x0xx0xxxx（2）推广：若yf(x)xn(nQ*)，则f(x)nxn1 三．课堂练习 1．课本P13探究1 2．课本P13探究2 4．求函数y四．回顾总结 五．布置作业 x的导数 板 书 设 计 课 后 小 记

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主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016 年 月 日 课 题 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学内容 教材第16页内容 教 学 目 标 知识与技能： 熟练掌握基本初等函数的导数公式； 过程与方法： 掌握导数的四则运算法则； 情感态度和价值观： 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 教学重点 基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 突破方法 通过多种形式的数学活动和评价，提高学生口算能力和计算正确率。 教 学 过 程 13

一．创设情景 2四种常见函数yc、yx、yx、y1的导数公式及应用 x导数 函数 yc yx yx2 1 y x yf(x)xn(nQ*) 二．新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表 函数 y'0 y'1 y'2x y'1 2x y'nxn1 导数 yc y'0 （二）导数的运算法则 yf(x)xn(nQ*) ysinx ycosx y'nxn1 y'cosx y'sinx y'axlna(a0) yf(x)ax yf(x)ex f(x)logax f(x)lnx 导数运算法则 ''1．f(x)g(x)f(x)g(x) 'y'ex f(x)logaxf'(x) 1(a0且a1)xlnaf'(x)1 x''2．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) 'f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x)0) 3．2g(x)g(x) '（2）推论：cf(x)cf(x) '' （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析 例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价．假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有p(t)1.05ln1.05 所以p(10)1.05ln1.050.08（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）yx2x3 3'10't14

（2）y ＝11； 1x1x（3）y ＝x · sin x · ln x； x； 4x1lnx（5）y ＝． 1lnx（4）y ＝（6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex （7） y ＝sinxxcosx cosxxsinx【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为 c(x)5284(80x100) 100x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． 5284'5284'(100x)5284(100x)' c(x)()2100x(100x)'0(100x)5284(1)5284 22(100x)(100x)528452.84，所以，纯净度为90%时，费用(10090)2（1） 因为c(90)'的瞬时变化率是52.84元/吨． （2） 因为c(98)'52841321，所以，纯净度为98%时，费用的2(10090)瞬时变化率是1321元/吨． 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c'(98)25c'(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快． 四．课堂练习 1．课本P92练习 2．已知曲线C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； （y ＝－12 x ＋8） 五．回顾总结 （1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 15

六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记

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主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 教学内容 复合函数的求导法则 教材第17,18内容。 知识与技能： 教 学 目 标 理解并掌握复合函数的求导法则 过程与方法： 理解并掌握复合函数的求导法则 情感态度和价值观： 函数的求导法则的应用 教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积． 教学难点 突破方法 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 一．创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 函数 yc yf(x)xn(nQ*) ysinx ycosx yf(x)ax yf(x)ex f(x)logax f(x)lnx （二）导数的运算法则 教 学 过 程 导数 y'0 y'nxn1 y'cosx y'sinx y'axlna(a0) y'ex f(x)logaxf'(x) 1(a0且a1)xlnaf'(x)1 x 17

导数运算法则 ''1．f(x)g(x)f(x)g(x) ''2．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) ''f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)3．(g(x)0) 2g(x)g(x) '（2）推论：cf(x)cf(x) '' （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yfg(x)。 复合函数的导数 复合函数yfg(x)的导数和函数yf(u)和ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 若yfg(x)，则yfg(x)fg(x)g(x) 三．典例分析 例1求y ＝sin（tan x2）的导数． 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝xax2ax2的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－＝1－12sin2 x 2131（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 444【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′＝4 sin 3322 x cos x ＋4 cos x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin x －cos x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复18

合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－于是切点为P（1，2），Q（－1或x ＝1． 3114，－）， 327过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0． 114|1|327显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为＝2162． 27四．课堂练习 1．求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x；（2）ysin2x;(3)loga(x22) 2x12.求ln(2x23x1)的导数 五．回顾总结 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记

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主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 教学内容 函数的单调性与导数 教材第23,24,25,26,27,28页内容。 知识与技能： 教 学 目 标 了解可导函数的单调性与其导数的关系； 过程与方法： 了解可导函数的单调性与其导数的关系； 情感态度和价值观： 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点 教学难点 突破方法 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数 学 过 程 （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，'h(t)v(t)h(t)0． 即是减函数．相应地， 教 h(t)4.9t26.5t10的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)h(t)9.8t6.5的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，'h(t)v(t)h(t)0． 即是增函数．相应地，' 20

2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 'f(x0)表示函数f(x)在 如图3.3-3，导数 点(x0,y0)处的切线的斜率． 'xxf(x0)0，切线是“左下右上”式的， 0在处，x这时，函数f(x)在0附近单调递增； 'xxf(x0)0，切线是“左上右下”式的， 1在处，x这时，函数f(x)在1附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系 '(a,b)f在某个区间内，如果(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递'f增；如果(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减． 'f说明：（1）特别的，如果(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常函数． 3．求解函数yf(x)单调区间的步骤： （1）确定函数yf(x)的定义域； ''yf(x)； （2）求导数（3）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间； 'f（4）解不等式(x)0，解集在定义域内的部分为减区间． '三．典例分析 'f例1．已知导函数(x)的下列信息： 'f1x4当时，(x)0； 'fx4x1当，或时，(x)0； 'fx4x1当，或时，(x)0 试画出函数yf(x)图像的大致形状． 'f1x4解：当时，(x)0，可知yf(x)在此区间内单调递增； 'fx4x1当，或时，(x)0；可知yf(x)在此区间内单调递减； 'fx4x1当，或时，(x)0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数yf(x)图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． 21

32f(x)x3xf(x)x2x3 （1）； （2）32f(x)sinxxx(0,)f(x)2x3x24x1 （3）； （4）3f(x)x3x，所以， 解：（1）因为'22f(x)3x33(x1)0 3f(x)x3x在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示． 因此，2f'(x)2x22x1f(x)x2x3（2）因为，所以， '2f(x)0f(x)x2x3单调递增； x1当，即时，函数'2f(x)0f(x)x2x3单调递减； x1当，即时，函数函数f(x)x2x3的图像如图3.3-5（2）所示． 'f(x)sinxxx(0,)f（3）因为，所以，(x)cosx10 2 因此，函数f(x)sinxx在(0,)单调递减，如图3.3-5（3）所示． 32f(x)2x3x24x1，所以 ． （4）因为'2f(x)0f(x)x2x3 ； 当，即 时，函数'2f(x)0f(x)x2x3 ； 当，即 时，函数32f(x)2x3x24x1的图像如图3.3-5（4）所示． 函数注：（3）、（4）生练 例3 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解：1B,2A,3D,4C 思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化的快， 这时，函数的图像就比较“陡峭”； 反之，函数的图像就“平缓”一些． 22

0,b或a,0内的图像“陡峭”如图3.3-7所示，函数yf(x)在， 在b,或,a内的图像“平缓”． y'6x26x126x2x26x1x232y2x3x12x1在区间2,1内是减函数． 例4 求证：函数证明：因为当 x2,1'32y2x3x12x1在区间y02x1即时，，所以函数2,1内是减函数． 说明：证明可导函数（1）求导函数（2）判断fx； 在a,b内的单调性步骤： f'x在f'xa,b内的符号； 为增函数，（3）做出结论：f'x0f'x0为减函数． f(x)4xax2例5 已知函数 实数a的取值范围． 23x(xR)1,1上是增函数，求3在区间'2'fx1,1f(x)42ax2xf解：，因为在区间上是增函数，所以(x)0对x1,12x1,1x1a1 恒成立，即ax20对恒成立，解之得：所以实数a的取值范围为1,1． 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函'f数单调性关系：即“若函数单调递增，则(x)0；若函数单调递减，则f'(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习 1．求下列函数的单调区间 11.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=x+2x 3. f(x)=sinx , x[0,2] 4. y=xlnx 2．课本 练习 五．回顾总结 （1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数yf(x)单调区间 （3）证明可导函数23

fx在a,b内的单调性 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记

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主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 教学内容 函数的极值与导数 教材第28,29,30,31页内容。 知识与技能： 教 学 目 标 理解极大值、极小值的概念； 过程与方法： 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 情感态度和价值观： 掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点 教学难点 突破方法 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 一．创设情景 观察图3.3-8，我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大ta附近函数h(t)的图像，如图3.3-9．可以看出h(a)；在ta，当ta时，函数h(t)单调递增，h(t)0；当ta时，函数h(t)单调递减， 教 学 过 程 h(t)0；这就说明，在ta附近，函数值先增（ta，h(t)0）后减（ta，h(t)0）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，h(t)先正后负，且h(t)连续变化，于是有h(a)0． 对于一般的函数yfx，是否也有这样的性质呢？ 25

附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)h'(t)9.8t6.5的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （3） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数．相应地，v(t)h'(t)0． （4） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数．相应地，v(t)h'(t)0． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数f'(x0)表示函数f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率．在xx0处，f'(x0)0，切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在x0附近单调递增；在xx1处，f'(x0)0，切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在x1附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间(a,b)内，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常函数． 3．求解函数yf(x)单调区间的步骤： （1）确定函数yf(x)的定义域； （2）求导数y'f'(x)； （3）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析 例1．已知导函数f(x)的下列信息： '当1x4时，f(x)0； '''26

当x4，或x1时，f'(x)0； 当x4，或x1时，f'(x)0 试画出函数yf(x)图像的大致形状． 解：当1x4时，f'(x)0，可知yf(x)在此区间内单调递增； 当x4，或x1时，f'(x)0；可知yf(x)在此区间内单调递减； 当x4，或x1时，f'(x)0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数yf(x)图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1）f(x)x33x； （2）f(x)x22x3 （3）f(x)sinxxx(0,)； （4）f(x)2x33x224x1 解：（1）因为f(x)x33x，所以， f'(x)3x233(x21)0 因此，f(x)x33x在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示． （2）因为f(x)x2x3，所以， f'(x)2x22x1 2 当f'(x)0，即x1时，函数f(x)x22x3单调递增； 当f'(x)0，即x1时，函数f(x)x22x3单调递减； 函数f(x)x22x3的图像如图3.3-5（2）所示． （5） 因为f(x)sinxxx(0,)，所以，f'(x)cosx10 因此，函数f(x)sinxx在(0,)单调递减，如图3.3-5（3）所示． （6） 因为f(x)2x33x224x1，所以 ． 当f'(x)0，即 时，函数f(x)x22x3 ； 当f'(x)0，即 时，函数f(x)x22x3 ； 函数f(x)2x3x24x1的图像如图3.3-5（4）所示． 27

32注：（3）、（4）生练 例6 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解：1B,2A,3D,4C 思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数yf(x)在0,b或a,0内的图像“陡峭”，在． b,或,a内的图像“平缓”例7 求证：函数y2x3x12x1在区间2,1内是减函数． 32'22证明：因为y6x6x126xx26x1x2 '32当x2,1即2x1时，y0，所以函数y2x3x12x1在区间2,1内是减函数． 说明：证明可导函数fx在a,b内的单调性步骤： （1）求导函数f'x； （2）判断f'x在a,b内的符号； （3）做出结论：f例8 'x0为增函数，f'x0为减函数． 2已知函数 f(x)4xax实数a的取值范围． 23x(xR)在区间1,1上是增函数，求3'解：f(x)42ax2x，因为fx在区间1,1上是增函数，所以f(x)0'21a1 对x1,1恒成立，即xax20对x1,1恒成立，解之得：2所以实数a的取值范围为1,1． 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则'f'(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 28

四．课堂练习 1．求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=1+2x x3. f(x)=sinx , x[0,2] 4. y=xlnx 2．课本P101练习 五．回顾总结 （1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数yf(x)单调区间 （3）证明可导函数fx在a,b内的单调性 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记

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主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 教学内容 函数的最大（小）值与导数 教材第31,32,33页内容。 知识与技能： 教 学 目 标 使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间 a,b上所有点（包括端点a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 过程与方法： 使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 情感态度和价值观： 教学重点 教学难点 突破方法 使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 一．创设情景 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果x0是函数yfx的极大（小）值点，那么在点x0附近找不到比fx0更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果x0 教 学 过 程 是函数的最大（小）值，那么fx0不小（大）于函数yfx在相应区间上的所有函数值． 二．新课讲授 观察图中一个定义在闭区间a,b上的函数f(x)的图象．图中f(x1)与y f(x3)是极小值，f(x2)是极大值．函数f(x)在a,b上的最大值是f(b)，最小值是f(x3)． ax1Ox2x3bx1．结论：一般地，在闭区间a,b上函数yf(x)的图像是一条连续 30

不断的曲线，那么函数yf(x)在a,b上必有最大值与最小值． 说明：⑴如果在某一区间上函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，则 称函数yf(x)在这个区间上连续．（可以不给学生讲） ⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．如函数f(x)1在(0,)内连续，但没有最大值与最小值； x⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断， ⑷函数f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲） 2．“最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． ⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； ⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 ⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 3．利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数f(x)的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 一般地，求函数f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求f(x)在(a,b)内的极值； ⑵将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在a,b上的最值 三．典例分析 例1．（课本例5）求fx13x4x4在0,3的最大值与最小值 3解： 由例4可知，在0,3上，当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为4，又由于f04，f31 3134因此，函数fxx4x4在0,3的最大值是4，最小值是． 3313上述结论可以从函数fxx4x4在0,3上的图象得到直观验证． 3f(2)四．课堂练习 1．下列说法正确的是( ) 31

A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( ) yA.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 123．函数y=141312xxx，在［－1，1］上的最小值为( ) 43213A.0 B.－2 C.－1 D. 1242-41082-24．求函数yx2x5在区间2,2上的最大值与y=x4-2x2+5O24最小值． 5．课本 练习 五．回顾总结 1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点； x2．函数f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件； 3．闭区间a,b上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 4．利用导数求函数的最值方法． 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记

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主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 教学内容 生活中的优化问题举例 教材第36,37,38,39页内容。 知识与技能： 教 学 目 标 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题 过程与方法： 体会导数在解决实际问题中的作用 情感态度和价值观： 提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点 教学难点 突破方法 利用导数解决生活中的一些优化问题 利用导数解决生活中的一些优化问题 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题 建立数学模型 教 学 过 程 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题 33

三．典例分析 例1．汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题： （1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ （2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？ 分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G表示每千米平均的汽油消耗量，那么Gw，其中，w表示s汽油消耗量（单位：L），s表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G的最小值的问题． 通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究， 人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的 平均速度v（单位：km/h）之间有 如图所示的函数关系gfv． 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题． wwg 解：因为 Gt svstgg这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看，表示经过原点与曲线上点vv的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90km/h． 因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90km/h．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即f90，约为 L． 例2．磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域． （1） 是不是r越小，磁盘的存储量越大？ （2） r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达Rr。由于每条磁道上的比特数m相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2r。所以，磁盘总存储量 n34

f(r)Rr2r2r(Rr) ×mmnn（1） 它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大． （2） 为求f(r)的最大值，计算f(r)0． f(r)2R2r mn令f(r)0，解得rR 2当rRR时，f(r)0；当r时，f(r)0． 22R2R2因此r时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 2mn4例3．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是 r32432 yfr0.2r0.8r0.8r,0r6 332令fr0.8(r2r)0 解得 r2（r0舍去） 当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0． 当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径r2时，fr0 它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低． （1） 半径为2cm 时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． （2） 半径为6cm时，利润最大． 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？ 有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r3时，利润才为正值． 35

当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小． 四．课堂练习 1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积1.8m3） 5．课本 练习 五．回顾总结 1．利用导数解决优化问题的基本思路： 建立数学模型 优化问题 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题 2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记

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主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 教学内容 定积分的概念 教材第42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52页内容。 知识与技能： 教 学 目 标 通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景； 过程与方法： 借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分； 情感态度和价值观： 理解掌握定积分的几何意义 教学重点 教学难点 突破方法 定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义 定积分的概念、定积分的几何意义 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 一．创设情景 复习： 1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近） 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授 1．定积分的概念 教 学 过 程 a,b]上连续，用分点 一般地，设函数f(x)在区间[a=x0x)dx－被积式。 变量，[a,b]－积分区间，f( 说明：（1）定积分时）记为dx是一个常数，即Sòaf(x)，而不是Sn． bn无限趋近的常数S（n??òabf(x)dx （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[a,b]；②近似代替：取点xiÎb[xi-1,xi]；③求和：åb-af(xi)；④取极限：ni=1nòaf(x)dx=limnåinf(xi)=1b-a n（3）曲边图形面积：S=变力做功W=òabf(x)dx；变速运动路程S=òtt2v(t)dt；1òabF(r)dr 2．定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)³0，那么定积分òaf(x)dx表示由直线 òaf(x)dx的几何意义。bbx=a,x=b(a?b),y0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分说明：一般情况下，定积分bdx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图òaf(x)形以及直线x=a,x=b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号。 分析：一般的，设被积函数y=f(x)，若y=f(x)在[a,b]上可取负值。 考察和式f(x1)Dx+f(x2)Dx+L+f(xi)Dx+L+f(xn)Dx 不妨设f(xi),f(xi+1),L,f(xn)<0 于是和式即为f(x1)Dx+f(x2)Dx+L+f(xi-1)Dx-{[-f(xi)Dx]+L+[-f(xn)Dx]}\\òabf(x)dx=阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积） 思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？ 38

3．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1性质2òabkdx=k(b-a)； bakf(x)dx=k蝌ab12b； f(x)dx(k为常数)（定积分的线性性质）ba性质3性质）； 性质4[f(x)?f(x)]dx蝌af1(x)dx??af(x)dx（定积分的线性2bf(x)dx=蝌aabbcaf(x)dx+?cbf(x)dx(其中a（２）近似代替、求和 取xi=. 例2．计算定积分i(i=1,2,L,n)，则（３）取极限 nò21(x+1)dx 分析：所求定积分是x=1,x=2，y=0与y=即为如图阴影部分面积，面积为即：x+1所围成的梯形面积，y 5。 2ò21(x+1)dx=5 2思考：若改为计算定积分ò2-2(x+1)dx呢？ O 1 2 x -2,2]上 改变了积分上、下限，被积函数在[出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题） 例３．计算定积分ò10(2x-x2)dx 111分析：利用定积分性质有， 利用定积分的定义分别求出值。 四．课堂练习 计算下列定积分 1．2．ò0dx的xdx，òxdx，就能得到ò(2x-x2)200òò501(2x-4)dx ò(2x-4)dx=9-4=5 05-1xdx òxdx=-1111创11+创11=1 223．课本练习：计算ò20x3dx的值，并从几何上解释这个值表示什么？ 五．回顾总结 1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义． 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记

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主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 教学内容 微积分基本定理 教材第57,58,59,60,61页内容。 知识与技能： 教 学 目 标 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼茨公式求简单的定积分。 过程与方法： 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法。 情感态度和价值观： 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化，对立统一的辩证关系，培 教学重点 养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分 教学难点 突破方法 了解微积分基本定理的含义 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 教 学 过 程 一，复习： 定积分的概念及用定义计算 二，引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（v(t)o）， 则物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程可用速度函数表示为T2T1v(t)dt。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在[T1,T2]上的增量S(T1)S(T2)来表达，即  T2T1v(t)dt=S(T1)S(T2) 而S(t)v(t)。 对于一般函数f(x)，设F(x)f(x)，是否也有 baf(x)dxF(b)F(a) 41

若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数（即满足F(x)f(x)）的数 值差F(b)F(a)来计算f(x)在[a,b]上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数F(x)是[a,b]上的连续函数f(x)的任意一个原函数，则 baf(x)dxF(b)F(a) 证明：因为(x)=xaf(t)dt与F(x)都是f(x)的原函数，故 F(x)-(x)=C（axb） 其中C为某一常数。 令xa得F(a)-(a)=C，且(a)=xaaf(t)dt=0 即有C=F(a)，故F(x)=(x)+F(a)  (x)=F(x)-F(a)=令xb，有af(t)dt baf(x)dxF(b)F(a) 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用F(x)|ba表示F(b)F(a)，即 baf(x)dxF(x)|baF(b)F(a) 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1．计算下列定积分： 311（1）dx； （2）(2x2)dx。 1x1x1'解：（1）因为(lnx)， x212所以dxlnx|1ln2ln1ln2。 1x1'12'（2））因为(x)2x,()2， xx33311所以(2x2)dx2xdx2dx 111xx131223x2|1|1(91)(1)。 x332练习：计算解：由于10x2dx 13x是x2的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 31131131312 xdx=x|0=10= 03333例2．计算下列定积分： 0sinxdx,sinxdx,sinxdx。 022由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解：因为(cosx)sinx， 42

'所以 sinxdx(cosx)|(cos)(cos0)2， sinxdx(cosx)|(cos2)(cos)2， sinxdx(cosx)|(cos2)(cos0)0. 02022020可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积； 图1 . 6 一 3 ( 2 ） （3） 当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数； ( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积． 例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？ 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果． 三，课堂小结： 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！ 四，布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记 43

主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 教学内容 定积分的几何应用 教材第63,,65页内容。 知识与技能： 教 学 目 标 通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。 过程与方法： 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。 情感态度和价值观： 探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。 教学重点 应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。 教学难点 突破方法 如何恰当选择积分变量和确定被积函数。 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 教 学 过 程 44

（一） 课前准备： 复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义. （二） 情景引入： 展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 【课件展示】课题：定积分在几何中的简单应用油画图片 问：桥拱的面积如何求解呢？ 答：„„ 【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现解决问题方向——定积分跟面积的关系， （三） 新课讲授： 【热身训练】练习１．计算  224x2dx ２．计算 sinxdx 22 【学生活动】思考口答 【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案. y 0 x 2214xdx22 22sinxdx0 【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积 【学生活动】回忆并口答图1的答案； 引导学生由X为积分变量的定积分类型来发现以Y为积分变量的另一种定积分类型。 【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种类型. 【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程. 【课件展示】 图1 选择X为积分变量，曲边梯形面积为 bbsf1(x)dxf2(x)dxaa图2 选择Y为积分变量，曲边梯形面积为 【问题探究】 【课件展示】探究由曲线所围平面图形的面积解答思路 y g(y)dysg(y)dy－a1bba2A 0 a b X 所围图形的面积． 22yxyx【例题实践】例１．计算由曲线与【师生活动】探究解法的过程. 1. 找到图形----画图得到曲边形. 2. 曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. 45

3. 定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 4. 计算定积分. 【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程. 【课件展示】解答过程 解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积. 2yx解方程组2得到交点横坐标为 yxy yx2 1 C B D A 1 x0及x1 y2x  ss10曲边梯形OABC s曲边梯形OABD -1 O -1 x xdxx2dx 0312012x3 131211x 30333【例题实践】例２．计算由yx4与y22x所围图形的面积. 【师生活动】讨论探究解法的过程 1．找到图形----画图得到曲边形. 2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. 3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 问题：表示不出定积分. 探讨：X为积分变量表示不到，那换成Y为积分变量呢？ 4．计算定积分. 【板书】根据师生探究的思路 板书重要分析过程. 【课件展示】解答过程 解：作出草图，所求面积为 图中阴影部分的面积 46

2yx解方程组2得到交点坐标为(2,-2)及(8,4) yx选ｙ为积分变量 S1(28)62 12ydy18 224【抽象归纳】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤 【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳 【教师简单点评】帮助学生修改、提炼，强调注意注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数 . 【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标． 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数） 4．确定被积函数和积分区间． 5．计算定积分，求出面积. 【巩固练习】 练习４．计算由曲线面积． 【学生活动】学生分组合作完成 【成果展示】邀请同学们把自己的成果展示给大家，发现这道题目有多种解答方法，过程中解决学生在解题过程中暴露出来的各种问题。 y4y2x与yx4及x轴所围平面图形的 y2x 2 S1 S2 4 O 8 2 Ａ 80 yx4y 4 2 O S22 x Ｂ 144 2 8 2 4 Ｃ S1 y2x2x A: ss1s22xdx47

B: ss1s240182xdx2xdx44 2424y1dx C: ss1s2(48)4022【师生活动】此题为一题多解，解体的大方向分为选X做积分变量和选Y做积分变量. 问：遇到一题多解时，你会想到什么？ 答：找最简单的解法. 问：以次题为例，如何寻找最简解法？ 答：我们熟悉X做积分变量的类型； 做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形. 【巩固练习】练习５．计算由曲线ysinx与ycosx及x0、x解得 a2所围平面图形的面积． 4h4h2yx. ，所以抛物线方程为 22bb【教师点评】在投影中与全班同学一起点评学生的练习. 【师生活动】探究、并在投影中完成该题 问：所求图形有什么特点？ 答：左右对称；可以解答一半取2倍. 【成果展示】在黑板上与学生共同完成 bb4h22(2s2hx)dx 设一半的面积为S，则有 20b24h3bb22„„2h(2x)0bh 33b2（四）．互动小结 问：本节课我们做了什么探究活动呢？ 答：用定积分解曲边形面积。 问：如何用定积分解决曲边形面积问题呢？ 答：1.画草图，求出曲线的交点坐标． 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 48

3.根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数） 4.确定被积函数和积分区间． 5.计算定积分，求出面积． 问：解答曲线所围的平面图形面积时须注意什么问题？ 答：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法. 问：体会到什么样的数学研究思路及方法呢？ 答：从问题出发，联系相关知识，探究出解决问题的思路，通过实践的检验得到一般方法，通过练习巩固，通过应用提升。 （五）．作业 板 书 设 计 课 后 小 记

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主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 教学内容 定积分的物理应用 教材第63,,65页内容。 知识与技能： 教 学 目 标 能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功. 过程与方法： 能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功. 情感态度和价值观： 教学重点 教学难点 突破方法 能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功. 定积分的概念及几何意义 定积分的基本性质及运算的应用 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 (一)变速直线运动的路程 1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 ) 教 学 过 程 在时间区间[a，b]上的 定积分 ，即sv(t)dt． ab2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是 （只列式子） 3sintdt．353．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 – t，初始位置v (0) = 1，前2 所走过的路程为 225 ． 3 例1．教材P58面例3。 练习：P59面1。 （二）变力作功 1．如果物体沿恒力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的功W = F（b—a）． 2．如果物体沿与变力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的 功W = 50

baF(x)dx． 例2．教材例4。 课后练习与提高 1、 设物体以速度v(t)3t2t(m/s)作直线运动，则它在0~4s内所走的路程为（ ） A.70m B.72m C.75m D.80m 2、设列车从A点以速度v(t)241.2t(m/s)开始拉闸减速，则拉闸后行驶105m所需时间为（ ） A.5s B.10s C.20s D.35s 3、以初速40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v4010t2,则此物体达到最高时的高度为（ ） A.160804020m B.m C.m D.m 33334、质点由坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度a(t)2t，当初速度v(0)0时，质点出发后6s所走的路程为（ ） A.12 B.54 C.72 D.96 5、如果1N能拉弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，所耗费的功为（ ） A.0.18J B.0.26J C.0.12J D.0.28J 6、一物体在力F(x)3x22x5（力：N；位移：m）作用下沿与力F(x)相同的方向由x5m直线运动到x10m处作的功是（ ） A.925J B.850J C.825J D.800J 7、将一弹簧压缩x厘米，需要4x牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，外力作的功是 8、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度 v(t)5t55（单位：m/s）紧急刹车至停止.求 1t（1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间； （2）紧急刹车后火车运行的路程. 作业 板 书 设 计 课 后 小 记

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