数列求和方法带例题和练习题

数列求和主要思路：

1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； 数列求和的常用方法

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：Snn(a1an)n(n1)na1d 22(q1)na1n2、等比数列求和公式：Sna1(1q)a1anq

(q1)1q1q3、 Snk123k1nn1n…n(n1)2 4、

Snk2122232k11n2n(n1)(2n1)

65、 Snkk1n3123333n(n1) n232公式法求和注意事项 （1）弄准求和项数n的值；

（2）等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。 例1．求和1xxx2n2(n2,x0)

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

23n1例2．求和：Sn13x5x7x(2n1)x

例3．求数列

2462n,2,3,,n,前n项的和. 2222三、倒序相加法

如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可用倒序相加发，如等差数列的前n项和就是此法推导的

例4．求sin1sin2sin3sin88sin的值

22222例4变式训练1：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 例4变式训练2： 数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.

例4变式训练3：在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

n例5．已知数列an的通项公式an3n21，求数列an的前n项和Sn。

例5变式训练1： 求1111111111之和. n个1例5变式训练2：求数列的前n项和：13,24,35,例6．求数列的前n项和：11,,n(n2),；

1114,27,,n13n2，… aaa

五、裂项相消法：

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）

1111111() （2）

n(n2)2nn2n(n1)nn1

1111()(2n1)(2n1)22n12n1

（3）

若（4）为等差数列，公差为d，则；

1n1nn1n

(2n)21111() （5）an(2n1)(2n1)22n12n1(6) an1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)n212(n1)n1111nn,则S1 nn(n1)2n(n1)2n2n1(n1)2n(n1)2n(7) an

anf(n1)f(n)

例7．求数列

112,123,,1nn1,的前n项和.

例8．在数列{an}中，an212n，又bn，求数列{bn}的前n项的和.

anan1n1n1n1例8变式训练1：求数列的前n项和：

参：

例2解：x1时

111,,,132435,1,n(n2)；

Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………①

234n设xSn1x3x5x7x(2n1)x………………………. ② （设制错位）

234n1n①－②得 (1x)Sn12x2x2x2x2x(2n1)x （错位相减）

1xn1(1x)Sn12x(2n1)xn

1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x) ∴ Sn

(1x)2x1时 略

例3解：由题可知，{

2n1}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 nn222462n设Sn23n…………………………………①

222212462nSn234n1………………………………② （设制错位） 222221222222n①－②得(1)Sn234nn1 （错位相减）

222222212n 2n1n1

22n2 ∴ Sn4n1

222222例4．解：设Ssin1sin2sin3sin88sin…………. ①

将①式右边反序得

Ssinsin88sin3sin2sin1…………..② （倒序） 又因为 sinxcos(90x),sinxcosx1

①+②得 （反序相加）

22222222S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin2cos2)＝

∴ S＝44.5

例4变式训练1：解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ cosncos(180n) （找特殊性质项） ∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）

 ＝ 0

例4变式训练2：解：设S2002＝a1a2a3a2002

由a11,a23,a32,an2an1an可得

a41,a53,a62,

a71,a83,a92,a101,a113,a122,

……

a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62

∵ a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60 （找特殊性质项） ∴ S2002＝a1a2a3a2002 （合并求和） ＝(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)

(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002

＝a1999a2000a2001a2002 ＝a6k1a6k2a6k3a6k4 ＝5

例4变式训练3：解：设Snlog3a1log3a2log3a10

由等比数列的性质 mnpqamanapaq （找特殊性质项） 和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN 得

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6) （合并求和）

＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6) ＝log39log39log39

＝10

例5．略

1例5变式训练1：解：由于111k个111k9999(101) （找通项及99k个1特征）

∴ 1111111111 n个1＝

11111(101)(1021)(1031)(10n1) （分组求和） 9999＝

19(10110210310n)19(1111) n个1110(10n＝1)n91019 ＝

181(10n1109n) 例5变式训练2：∵n(n2)n22n，

∴S2222n(n1)(2n7)n(123…n)2(123…n)6

例6．解：设S1n(11)(a4)(11a27)(an13n2) 将其每一项拆开再重新组合得

Sn(11a1a12an1)(1473n2) 当a＝1时，S(3n1)n(3n1)nnn2＝2 11当a1时，Sn(3n1)nanaa1n(3n1)n112＝a12 a例7．解：设a1nnn1n1n 则 S11121n23nn1 ＝(21)(32)(n1n) ＝n11

例8．解： ∵ a1nn12n1nnn12 ∴ b211nnn18(nn1) 22∴ 数列{bn}的前n项和

S1111n8[(12)(23)(31)(14n1n1)] ＝8(11n1) ＝ 8nn1 （分组）

（裂项）

（裂项）

（分组求和） （裂项求和） （裂项求和）例8变式训练1：∵

1111n(n2)2(nn2)，

∴S1n2[(113)(1214)(1315)(1n1n2)]1112(12n11n2)．

数列求和练习

一、选择题 1 ．设

an是公差不为0的等差数列,a12且a1,a3,a6成等比数列,则an的前n项和Sn=

（A．n274n4 B．n25nC．n233 23n4 D．n2n

2 ．等比数列

an的前n项和为Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列｡若a1=1,则S4=

（A．7

B．8

C．15

D．16

3 ．数列112,214,318,4116，……的前n项和为

（A．1n2n1n2n1n2n22B．1n2nn 2n2 C．2n21 D．2n12 4 ．已知等差数列an中,a5a9a710,记Sna1a2an,则S13的值为

（A．130

B．260 C．156 D．168

5 ．等差数列

aa2n的前n项和为Sn,已知m1am1am0,S2m138,则m （A．38

B．20 C．10 D．9

6 ．等差数列是5,427,347中,第n项到n+6项的和为Tn,则当Tn最小时,n的值为 （A．6

B．4

C．5

D．3

7 ．等差数列an中，Sn是其前n项和，a12008，

S20072007S200520052，则S2008的值为 A2006 B2006 C2008 D2008

8 ．将二进制数1111162转换成十进制是 （A．2172 B．2162 C．2161

D．2151

9 ．设等比数列{anN*n}的前n项和为Sn,且Sn0(), 则下列等式成立的是

（A．SnS2nS3n B．

SnS2Sn C．

SnSS2nS3nSS2nn D．SnS2nSn

2nnS3nSnS2nSnS3nS2n ）

）

）

）

）

）

）

）

10．已知二次函数yn(n1)x(2n1)x1，当n依次取1,2,3,4,,10时，其图像在x轴上所截得

2的线段的长度的总和为 A．1

B．

2（ ）

10 112C．

n12 11D．

11 12（ ）

11．数列1,12,122,,1222,的前n项和Sn

A．2n B．2nn C．2n1n D．2n1n2

12．等差数列｛an｝和｛bn｝的前n项和分别为Sn与Ｔn，对一切自然数n，都有

Sna2n=，则5等于Tn3n1b5

A．

2 3B．

9 14C．

20 31D．

11 17（ ）

13．数列an的通项公式是an1nn1，若前n项的和为10，则项数n为

A．11 B．99 C．120 D．121 14．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的取值范围是

A．(0,15．数列{

（ ）

15) 2B．(51,1] 2C．[1,15) 2D．(5115,) 22（ ）

1}的前n项和为 2n3n22n12n1A． B．

2n42n2C．

n

2n42mD．

n1

2n2二、填空题

16．等差数列{an}前n项和为Sn｡已知am1+am1-a=0,S2m1=38,则m=_______

17．已知f(1， 1)1，且对任意正整数m、n若f(m， n)k，则f(m， n1)k1，则

f(1， 100)0_____________。

18．数列{an}中，a11,a22且an2an1(1)n，则S100=__________.

Sn19．列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{}的11项和为_____

n20．数列an的前n项和 Snn4n2，则

2a1a2a10 ．

*21．已知等差数列an的前n次和为sn，且S210,S555，则过点P(n,an)和Q(n2,an2)（nN）

的直线方向向量的坐标可以是_____________．

22．已知数列

an的前n项和Sn12nn2，则数列an的前n项和Tn 23．在数列{an}中,an12n2,又bn,则数列{bn}的前n项和为 ； n1n1n1anan124．在等差数列

an中,Sn是其前n项的和,且a12,

1S2009S20072,则数列 的前n项的和是20092007Sn__________｡

25．在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按如图所示的规则

练习数数，数到2008时对应的指头是 。

(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指).

三、解答题 26．设等差数列

an的前n项和为Sn,若

a15,且它的前11项的平均

值是5.

(1)求等差数列的公差d;

(2)求使Sn0成立的最小正整数n.

27．已知数列{an}是等差数列，且a35,a59，Sn是数列{an}的前n项和．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn； (Ⅱ) 若数列{bn}满足bn1，且Tn是数列{bn}的前n项和，求bn与Tn．

SnSn1(an2)228．已知正项数列{an}中，前n项和Sn。

8（1）求证：数列{an}是等差数列； （2）若bn1an30，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值。 2*29．在等比数列{an}中，an0(nN)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，a3与a5的等比中

项为2。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bnlog2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当

SS1S2n最大时，求n的值。 12n30．已知等差数列{an}的首项a11,公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第

二项、第三项、第四项. （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn1n(an3)(nN*),Snb1b2bn,是否存在最大的整数t,使得对任意的

n均有Snt总成立?若存在,求出t；若不存在，请说明理由. 36

专题24 数列求和参

一、选择题 1 ．A 2 ．C 3 ．C 4 ．A 5 ．C 6 ．C 7 ．C 8 ．C 9 ．D 10．B 11．D 12．B 13．C 14．D 15．C 二、填空

题 16．10 17．1000 18．2600 19．-66 20．66 21．2

12nn21n6,nN8nn22．Tn 23． 24． 25．食指

2n1n1n12n72n7,nN三、解答题 26．解:(1)

a15,a1a2a1111a6a65

1111da6a12 61nn12dn26n0

(2)∵Snna1∴n6且nN*,∴使Sn0成立的最小正整数n为7

a3a12d5,解得:27．解：(Ⅰ)设数列{an}的公差为d，由题意可知：a11,d2 a5a14d9∴ana1(n1)d12(n1)2n1 Sn(a1an)n(12n1)nn2. 22(Ⅱ)

bn1111 SnSn1n(n1)nn1Tnb1b2b3bn111111111n ()()()()1.122334nn1n1n128．解：（1）当n2时，anSnSn1an22an12288，

整理得：anan1anan140，∵数列{an}是正项数列，∴anan10， ∴anan140， ∴anan14（n2）， ∴数列{an}是等差数列。

（2）∵a1s12，d4,an4n2，bn2n31

Tnb1bn2nn230nn15225,∴当n15时，Tnmin225。 22229．解：（1）a1a52a1a5a2a825,a32a3a5a525，

又an0,a3a55，

又a3与a5的等比中项为2，a3a54， 而q(0,1),a3a5,a34,a51，

q11,a116,an16()n125n ， 22（2）bnlog2an5n， bn1bn1，

{bn}是以b14为首项，－1为公差的等差数列。

SnSn(9n)9n,n， 2n2SnSS0；当n9时,n0；当n9时,n0， nnnSS1S2S3n最大。 123n2当n8时,当n8或9时,30．解：（I）由题意得(a1d)(a113d)(a14d)，

*整理得2a1dd.a11,解得(d0舍),d2. an2n1(nN).

2（II）bn1n(an3)1111(),

2n(n1)2nn1111111Snb1b2bn[(1)()()]

2223nn111n(1). 2n12(n1)t总成立。 36假设存在整数t满足Sn又Sn1Snn1n10，

2(n2)2(n1)2(n2)(n1)1t1数列{Sn}是单调递增的。 S1为Sn的最小值,故,即t9.

43又tN,适合条件的t的最大值为8。

*