年考研数学真题分析
这次的题目，应该说还是延续了前两年的命题风格，但具体的各版块（指高数、线代、概率）难度有所不同。我们先来回顾下08年，这是相对于之前几年来说风格大变的一年，03—07年间，考研真题的特点是高数很灵活，相对较难，线代概率很死板、题目解答套路明显，容易拿分，而到了08年突然一变，高数很基础，线代、概率难度大幅提高，给了许多准备拿到卷子就先搞定线代大题的同学一记闷棍，然后09年呢？我们可以看到，这种版块之间的难度差异在缩小，也就是说高数和线代概率的难度差异没有08年那么大了。今天中午在论坛上看到有人说，腾讯上真题出来了，于是赶紧找来开做，最后自己的总体感觉是，今年的题目是在08年那样的命题趋势延续之后达到的一个较好的平衡，今年的题目，对于那些想平时仅仅通过研究真题把握规律就巧取高分的考生是一次更彻底的打击，当然同时，也对于那些平时扎扎实实从基本知识、基本概念、基本原理出发，全盘复习并且以踏实的心态面对考试的同学，是最好的奖励。
所以，我想要跟命题组说的一句最简单的话就是，请继续，继续你们这样不断琢磨、不断求变、不断出新的命题思路，只有这样，才确确实实让研究生入学的数学考试，作为一门真正考察学生分析问题解决问题能力的重要测试发挥作用。
有人说题目偏、怪，对此种观点我认为应该是一种错觉，仔细看一下数一的23道题目，比较新颖，之前少有人想到过见到过的题目类型，应该是选择第4题、填空第14题、解答第17题、解答第23题，但这些知识点，可都是非常的基础，二重积分的定义、数学
期望的定义、夹逼原理、无偏估计二项分布，只不过出题人找到了一种将其改头换面的方式让你觉得不那么基础而已。其实真正要说偏的就只有选择第3题，考一个带参数的反常积分，但这样一个偏题出现在一套试卷里，完全可以接受啊，以前那么多年，不每年也有个把题目会涉及这些边缘内容嘛，所以就个人感觉而言，我觉得今年的题目出得一点不偏，相反我觉得相当好。
其中出得最好的题目，当属用二重积分定义的选择题，我们平时接触的多的都是定积分定义改写的极限式，这里想到了换个形式来考，但本质没变，微元的长度变成微元的面积，一个上下限变成两个上下限，难度上去了，但我想我们就是需要这样的题目，来拉开仅看到表面和领会内涵的考生的差距。
再来看一下其它题目，是不是都是基础题——高数的，选择里面一个算极限，要用到的是e的那个重要极限，算隐函数偏导，填空里参数方程的二阶偏导，换元算定积分，求
曲线积分，大题里解非齐次方程，用导数判断单调性和极值，求级数和，求曲面积分，哪个不是平时必定要练得滚瓜烂熟的重点类型？线代的，选择两个，都是关于矩阵的秩的基本概念，填空就是初等变换，解答回到了以前的老路，方程组参数讨论和特征值特征向量，可以说今年的线代是最基础的！概率，选择两个够简单吧，解答第一题也是按基本定义来做，知道什么事条件概率密度就行了。嗯，总的来说，今年的概率难度有提升，高数和去年持平，线代难度下降。
最后，最最重要的，我想还是通过这几年的题目看到的给我们的启示，以后的考研复习，一定要从基本概念和基本原理出发，以准确的把握、深入的理解这些基本知识点为目标，一定要先打好基础，再考虑做题技巧，思路上，要对自己进行严格的思维训练，培养严格的思维习惯，只有这样，才能够在考场上见到以往未见过的题型时，运用起自己的数学知识和应变能力冷静的解答。
当然在这里说到基础，强调了基础，可能有人会问，到底如何才算打好了基础。恩，那我想的话应该是达到这样一个目标，说具体点，即在任何地方任何时候，随便想到任何一个考纲上要求的知识点，你都能够用自己的话准确的说出其含义，以及它的来龙去脉和相关注意事项（如适用条件等）。再退一步说，考虑到要考的东西可能太多，我们一般难以面面俱到，那至少达到80%吧。能做到这一点的话，08、09、10这三年的题目你在考场上拿起来做，绝对不会觉得有多不正常。而且这样一个复习目标应该说也不算太高吧，毕竟数学这样一个体系性的学科，学起来本来就需要把握原理，相互联系，融会贯通的。
在此附上个人对2010年数一真题的解读，供大家参考。
选择：
（1）、中等基本题，但形式比以往新颖，参考书上一般较少出现以多项式为基础构造的e重要极限，这个的话我是分子凑出分母相同的部分，然后写成1+XX，然后求一个e的多少多少次极限。
（2）、基本题，算偏导，直接对F微分即可，然后解出z对x y的偏导数，代入得答案。
（3）、难题，毕竟没多少人重点看反常积分敛散性，注意这里分子是ln(1+x)的2/m次方，分母是x的1/n次方，但分子的话在x充分小时与x的2/m次方是同阶的，所以整个积分内的表达式和x的2/m-1/n次方是同阶的，而后者的反常积分由次数也就是n m决定，所以与n m均有关。
（4）、新颖题，要用二重积分的定义凑极限，注意i j都是从1加到n，所以上下限都是0到1，选D。
（5）、基本题，两个矩阵相乘为单位阵，说明其秩都大于等于m，再结合m是列数和行数，秩也只能小于
等于m，可知都等于m。
（6）、中等基本题，由A*A+A=0知有特征值0、-1，关键接下来判断各自是几重，注意说了A的秩是3，就可以推出A+E的秩小于等于1了，所以-1特征值对应的特征向量至少有3个线性无关解，所以-1是3重。
（7）、简单题，直接算F的左右极限，相减即可。
（8）、简单题，直接按概率密度积分等于1确定。
填空：
（9）、基本题，求参数方程的二阶导数，直接算就是。
（10）、基本题，明显要换元积分，然后分部积分，也不难。
（11）、中等基本题，这题有一定的技巧性，方法得到可节约时间，可以看到曲线积分被积函数可以凑成1/2*(ydx^2+x^2dy)+1/2(x^2dy)，前一个是全微分，故结果只与起点终点有关，为0，后一个由于对称性也为0，迅速得答案为0。
（12）、基本题，求型心坐标，涉及两个三重积分，但计算都不复杂，用柱坐标即可。
（13）、简单题，由条件知向量组秩为2，初等行变换确定参数。
（14）、难题，这题出得有点意思，必须用数学期望的定义，然后还要求一个级数的和，最后答案是2Ce，当然有人提到其实C也可以确定，不知道改卷时会怎么判，如果一定要解出C的话，这题将会成为亮点。现在网上给的答案是2，因为C可以解出等于1/e，代入即是。（补充说明，第一遍做这题时没注意到其实条件给的是个带C参数的泊松分布，要是记得泊松分布的期望方差的话，此题成为简单题。）
解答：
（15）、中等基本题，求非齐次方程的解。首先求齐次通解没有问题，但设特解时要注意，有一重根，所以设的应该是x(Ax+B)e^x，剩下就是计算要仔细了。
（16）、中等基本题，求单调区间，那当然是找驻点，求出一阶导以后，判断使其为零的点仍不明朗，所以这里一个小技巧是，要注意到基本里的e^(-t*t)恒为正，所以必须是上下限相同时积分部分才为0，另外一个可以很容易看出是0，这样找到三个驻点1 -1 0
以后就好办了。
（17）、新颖题，夹逼原理好多年没考了，今年出现一个，这种题目肯定两问是有联系的，第一问用不等式 ln(1+x)<x 可以得到比较，第二问就是用夹逼原理了，该题有一定难度，不容易想到。
（18）、中等基本题，求和函数，这个都知道是必考的了吧，求和展开，考前必须熟悉的典型内容，但涉及到逐项求导积分，这里要消去分母的系数，应先求导再积分，注意计算容易出错，所以是基本中等题，不能算简单题。
（19）、中等基本题，也可算偏难题，把曲面积分和切平面揉和起来出的题，个人感觉角度也算不错，先要几何应用，判断出切面法向量和xoy平面平行，从而得出切点满足关系z=2y，再结合椭球方程
一起，构成轨迹方程。第二问求第二类曲面积分，技巧性较强，要注意到被积函数里的绝对值和根号很有特色，先不要冒然动这部分，观察下题目特点，既然说了是曲线上方部分，说明可投影到xoy平面，这样把ds，偏z偏x，偏z偏y求一下，利用曲面积分投影化为dxdy，发现前面的系数正好可以消掉！最后剩下 根号3+x 在平面椭圆上积分，由对称性只x部分为零，而常熟部分则为面积。总体来说该题如果硬算的话计算量很大，费时间且容易出错，但若方法选择得当将会很有优势。
（20）、基本题，讨论参数对方程组解的影响，这类题以往的真题和辅导书上到处可见，既然有两个解，那就是无穷解，说明矩阵非满秩，行列式为零……然后按部就班解出。
（21）、基本题，题目类型不新，但相比课本上眼熟的典型题稍有变化，破解点还是要注意到Q矩阵的正交性，这样就能把另外两个特征向量定出了，然后立马求得A，第二问证明正定，方法很多，可以从定义，也可以证明特征值都大于零，而且还是比较容易看得出来的。
（22）、中等基本题，给了二维概率密度，求条件概率密度，也就是要先去求一个边缘概率密度，把握好对谁积分，求出来是谁的函数就没问题了，当然这里要先求A，注意题目给的二维密度是可以配方的，这样配出来以后是e^(-x平方)和e^(-(y-x)平方)两个部分，那当然是先对y积分后对x积分，上下限都是无穷，再用到概率积分常数根号pi，反复两次迅速得出A=1/pi，然后如法炮制求条件概率密度，只不过这时候只对二维密度作y积分了。
（23）、难题新颖题，不同于以往的老套路，这次没让求估计，而是先用无偏估计的条件求参数，这涉及到要对N1 N2 N3求期望，可能许多人这里搞不清这三个量到底是啥，不要慌好好看看条件，N1 N2 N3实际上也就是随机变量，所以只要想办法求出它们各自取k时对应的概率就ok了，这相当于要知道分布律，然后再按定义求期望。下一步分析如何求分布律，观察以后发现其实更简单，N1遵循二项分布（因为都是取1或不取1两种可能），直接就可以得到其期望了，N2 N3也一样，第一问搞定！第二问的话是要求方差，那么这里三个N肯定不了，所以不能随便把括号打开，要想办法求它们之间的协方差，这是一种考虑，但略微一想N1 N2 N3协方差好像不那么容易求，先不走这条路，另外考虑间接求法，看能不能变形，按第一问的结果a1=0 a2=1/n a3=1/n，带入后T=(N2+N3)/n，问题转化为求N2+N3的方差，要费点周折，但做到这一步，已经大局在
握了。之后只要再灵光一现想到N1 N2 N3还有个隐含联系 它们加起来必须等于n，这样最终
把要求的量连接到n-N1上，再次套用二项分布的方差，写完收工^^
最后大家可以汇总一下看，这张试卷里真正的难题（新题）有多少？也就在25%左右吧？综合性最强的，难度大，容易在某些点上被卡住就做不下去的大题，一个是高数曲面积分题，一个是概率第二题，然后是夹逼原理那道题，概率第一题，因为一旦没配方计算量就不得了，平心而论另外五道大题就真是基本的典型题了。而我以前也说过，一个选拔性的考试，难题也就是拉开高分和中档差距的题比例占到20%—25%那是相当正常的了，更多的是那些25%的简单题基本题和50%的中等基本题，这些分数拿到手，再加上难题也不可能一个不会，总要拿点分，这样一共大概有120左右，考中等偏上的名校都没问题了。所以说，还是应了那句老话，考研数学，以难题新题分高下，但最重要的是以基础定输赢！
