数列求和例题

数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

n(a1an)n(1、 等差数列求和公式：

Sn2nan1)12d

na1(q1)Sna1(1qn)a12、等比数列求和公式：1qanq1q(q1)

nS1n3、

nkk12n(n1) 4、Sk21nn(n1)(2n1)k16

n5、

S1nk3[n(n1)]2k12

1[例1] 已知

log3xlog23，求xx2x3xn的前n项和.

[例2] 设S)Snn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求

f(n(n32)Sn1的最大值.

1

解：由等差数列求和公式得

Sn11n(n1)Sn(n1)(n2)22， （利用常用公式）

∴

f(n)Snn(n32)Sn1＝n234n

1 ＝

n34(n)2501nn＝50

18 ∴ 当

n81f(n)max8，即n＝8时，50

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：

Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………①

2462n,2,3,,n,2[例4] 求数列222前n项的和.

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).

012nCn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2n[例5] 求证：

2

22222[例6] 求sin1sin2sin3sin88sin的值

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

1114,27,,n13n2aaa，…

[例7] 求数列的前n项和：

11,[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

sin1tan(n1)tannanf(n1)f(n)cosncos(n1)（1） （2）

(2n)2111111an1()an(2n1)(2n1)22n12n1n(n1)nn1（3） （4）

（5）

an1111[]n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)

(6)

ann212(n1)n1111nn,则S1nn(n1)2n(n1)2n2n1(n1)2n(n1)2n

3

1[例9] 求数列12,123,,1nn1,的前n项和.

212nbnananan1，求数列{b}的前n项的和. n1n1n1[例10] 在数列{an}中，，又n

111cos1cos0cos1cos1cos2cos88cossin21 [例11] 求证：

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°的值. [例13] 数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求

1111111111n个1之和.

4

8an,求(n1)(anan1)(n1)(n3)n1[例16] 已知数列{an}：的值.

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