函数的单调性题型归纳之欧阳理创编

函数的单调性

时间：2021.03.05 创作：欧阳理 一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题．

二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用．

三、教学过程： （一）主要知识： 1、函数单调性的定义；

2、判断函数单调性（求单调区间）的方法：

（1）从定义入手（2）从导数入手（3）从图象入手（4）从熟悉的函数入手

（5）从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域

3、函数单调性的证明：定义法；导数法。 4、一般规律

（1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数； （3）互为反函数的两个函数有相同的单调性；

（4）设yfgx是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的

单调性相反，则yfgx在M上是减函数；若f(x)

欧阳阳理创编 2021.03.04

欧阳阳理创编 2021.03.04

与g(x)的单调性相同，则yfgx在M上是增函数。

（二）主要方法：

1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数．

3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用．

（三）例题分析： 例1．（1）求函数

ylog0.7(x23x2)的单调区间；

（2）已知

的单调区间和单调性． （ 令

2

）

f(x)82xx2,若g(x)f(2x2)试确定g(x)解：（1）单调增区间为：(2,),单调减区间为(,1)，

g(x)82(2x2)(2x2)2x42x28，

g(x)4x34x，

g(x)0，得x1或0x1，令

(,1),(0,1)g(x)0，x1或

1x0

∴单调增区间为

(1,),(1,0)．

；单调减区间为

例2．设a0，例3．若

f(x)exaf(x)xae是R上的偶函数．

（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,)上为增函数．

为奇函数，且在(,0)上是减函数，又

f(2)0，则xf(x)0的解集为(,2)(2,)．

例4．已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有

f(x)0,f(2)1，

f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时

欧阳阳理创编 2021.03.04

欧阳阳理创编 2021.03.04

（1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,)上是增函数；（3）解不等式解：（1）令

x1x21f(2x21)2． x1x21，得

f(1)2f(1)，∴

f(1)0，令

，得∴f(1)0，

f(1x)f(1)f(x)f(x)，∴f(x)是偶函数．

∴f(x)（

2）设

x2x10，则

f(x2)f(x1)f(x1∵x2x10，∴

x2xx)f(x1)f(x1)f(2)f(x1)f(2)x1x1x1

xx2f(2)1x1，∴x10，即f(x2)f(x1)0，∴

f(x2)f(x1)

∴f(x)在(0,)上是增函数．

（3）即不等式的解集为例5．函数取值范围．

(1010,)22．

af(x)log9(x8)x在[1,)上是增函数，求a的

ax另解：（用导数求解）令

g(x)x8，函数

af(x)log9(x8)x在[1,)上是增函数，

∴

g(x)x8aag(x)12x在[1,)上是增函数，x1，

∴18a0，且

（四）巩固练习：

a02x在[1,)上恒成立，得1a9．

(0,2) 1、下列函数中，在区间

（ ）

（A）

y1x上递增的是

（B）yx （C）yx1 （D）

yx22x1

欧阳阳理创编 2021.03.04

欧阳阳理创编 2021.03.04

2、设函数

f(x)是减函数，且f(x)0，下列函数中为增

函数的是 （ ）

（A）

y1f(x) （B）y2f(x) （C）

ylog1f(x)2

（D）y[f(x)]2

3、已知yf(x)是定义在

R上的偶函数，且

f(x)在

（0，+∞）上是减函数，如果x10，

x20且|x1||x2|,则有

（A）f(x1)f(x2)0（B）f(x1)f(x2)0 （C）f(x1)f(x2)0（D）f(x1)f(x2)0

4、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,)上为增

f(13)0f(log函数，

，则不等式1x)08的解集为（ ） （A）

(0,12) （B）(2,) （C(1）

2,1)(2,)（D）(0,12)(2,)

变题：设定义在[-2, 2]上的偶函数f(x)在区间[0, 2]上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数

m的取值范围。

5、（1）函数f(x)2x24x3的递增区间为___________；

f(x)log （2）函数

1(x24x3)2的递减区间为_________

变题：已知f(x)loga(2ax)在[0, 1]上是减函数，则实数a欧阳阳理创编 2021.03.04

）（

欧阳阳理创编 2021.03.04

的取值范围是＿＿＿＿。

答案：1、D 2、C 3、C 4、D 变题：5(1),2 (2)1,2 变题：（1,2） 四、小结：

函数单调性或者求函数单调区间的求法。 五、作业：

时间：2021.03.05 创作：欧阳理 11,2

欧阳阳理创编 2021.03.04