必修一函数-值域专题

函数值域和最值（一）

一、课前准备：

【自主梳理】

1在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的值，叫做 ，函数值的集合叫做 2确定函数的值域的原则：

（1）当函数用y=f(x)表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合。

(2）当函数y=f(x)用图象给出给出时，函数的值域是指图象在轴上的投影所覆盖的实数y的值.

（3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域是由函数的 和 确定.

（4）当函数由实际问题给出时，函数的由问题的 确定.

3基本初等函数的值域。

（1） ykxb (k0)的值域为

2（2） y=ax+bx+c a0的值域为

2

（3）

yk(k0)x的值域为

x（4） y= a (a0,a1) 的值域为

（5） ylogax(a0,a1) 的值域为

（6） ysinx,ycosx,ytanx的值域分别为

4求值域的方法： 配方法 换元法 分离常数法 单调性 不等式法 求导法 数形结合法 判别式法

5函数的最值：

设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意实数xI,都有f(x)M (2)存在

x0I, 使得 f(x0)M,那么我们称实数M是函数的 值.

设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意实数xI,都有f(x)M (2)存在

x0I, 使得 f(x0)M,那么我们称实数是M函数的 值.

【自我检测】

1x 2x3的值域为_________ .

1 函数

y

2yx,x2,3的值域为_________. 2函数

3

3 .已知函数

f(x)log3x,x02x,x01f(f())9，则_________.

4 函数 y3的值域为_________.

x5 函数ylog2(x1)的值域为_________.

1x1的值域是__________.

6函数

y二、课堂活动：

【例1】填空题：

求下列函数的值域

2ysinx3sinx4 _________ 1.

xxy938 _________ 2.

2yxx13.

_________

4

4.yx2x1_________ 2x2x3 (2≤x0)，f(x)2x2x3 (0≤x≤3)的值域． 【例2】．求函数

【例3】1求函数

yx3x1的值域 .

2xyx21的值域． 2 求函数

课堂小结

三、课后作业

3x5,x[3,)x1

1

y2ysinxcosx的值域____ 2.函数

3函数

f(x)x21x，(x≤1)的值域是

．

2f(x)x2x3在闭区间0,m上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围4已知函数

为 .

xy1645函数的值域是________．

5

3xyx31的值域是____________． 6函数

2ylg(x1)的值域是____________7函数

.

2yx2的值域是____________8函数

.

xx19设0≤x≤2，求函数f(x)43•21的值域．

10已知函数

f(x)x24ax2a6，xR

（1）求函数的值域为0,时的a的值；

（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)2aa3的值域.

【自主梳理】

1. 函数值 函数值域

2. 定义域 对应法则 实际意义

6

3 基本初等函数的值域：1.R 2.

4acb24acb2a0,,;a0,,4a4a 3.,0(0,) 4 (0,) 5. R 6 1,1，

1,1，R

5 最小值 最大值

【自我检测】

111,,23 2 0,9 3 4 1 4 1, 5 R 6 y/y0

【例1】填空题：

13,2,841 2 3 50,2 4 1,

【例2】解：分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．

作图象如图所示．∵f(1)f(1)4，f(2)3，f(3)0，f(0)3，

7

0] ∴函数的最大值、最小值分别为0和4，即函数的值域为[4，【例3】 1 yRy11) 2 (0，三、课后作业

51,1 1,3 2 4 3 2,4. 4 1,2

5 0,46 0,1 7 0, 8 0,2

xx1x2f(x)4321(23)8， 9解：

∵0≤x≤2，∴≤2x≤4．

x∴当23时，函数取得最小值8；当2x1时，函数取得最大值4，

8

4]． ∴函数的值域为[8，10解(1）∵函数的值域为0,，

32

16a4(2a6)0,2a1,a（2）对一切xR，函数值均非负,∴

3173f(a)(a)21a24 ， 2 ∴

01a32∴a30

19,4∴f(a)的值域为4。